数学（理）卷·2017届山西省榆社中学高三5月适应性考试（2017

数学（理）卷·2017届山西省榆社中学高三5月适应性考试（2017

‎ 2017年5月高考适应性调研考试 理科数学 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.设全集U是实数集R,已知集合，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于复平面内的 ‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 ‎3.已知数列为等比数列，且，则的值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”即是面积.意思是说如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等.已知某不规则几何体与如图（1）所对应的几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（图（1）中的网格纸中的小正方形的边长为1）‎ ‎ A. 20 B. 16 C.8 D. 4‎ ‎5.阅读如图（2）所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 ‎ A.2 B.4 C.6 D. 8‎ ‎6.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为 ‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎7.已知实数满足，若使得目标函数取最大值的最优解有无数个，则实数a的值是 ‎ A. 2 B. -2 C. 1 D.-1‎ ‎8.若圆始终平分圆的周长，则的最小值为 ‎ A. 3 B. C. 6 D. 9‎ ‎9.下列命题中，真命题的个数为①对任意的，是的充要条件；②在中，若，则；③非零向量，若，则向量与向量的夹角为锐角；④‎ ‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎10. 已知是上的两个随机数，则到点的距离大于其到直线的距离的的概率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，O为坐标原点，A为右顶点，P为双曲线左支上一点，若存在最小值为，则双曲线一三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数的图象上有且只有四个不同的点关于直线的对称点在直线上，则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知数据的取值如下表：‎ 从散点图可知，y与x呈线性相关关系，已知第四组数据在回归直线上，则的取值为 . ‎ ‎14.在的展开式中，的系数为 .‎ ‎15.在平面四边形中，，则的最大值为 .‎ ‎16.表面积为的球面上有四点，且为等边三角形，球心到平面的距离为，若平面平面，则三棱锥的体积的最大值为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和 ‎ （1）求数列, 的通项公式；‎ ‎ （2）求数列的前项和.‎ ‎18.（本题满分12分）‎ ‎ 如图，在四棱锥中，是的中点，底面为矩形，，且平面平面，平面与棱交于点，平面与平面交于直线 ‎ （1）求证：;‎ ‎ （2）求与平面所成角的正弦值为 ‎，求二面角的余弦值.‎ ‎19.（本题满分12分）‎ ‎ 在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对 “使用微信交流”赞成的人数如下表：（注：年龄单位：岁）‎ ‎ ‎ ‎（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？‎ ‎ ‎ ‎（2）若从年龄在的别调查的人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成“使用微信交流”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.‎ ‎20.（本题满分12分）‎ ‎ 已知椭圆的右焦点在直线上，且椭圆上任意两个关于原点对称的点与椭圆上任意一点的连线的斜率之积为.‎ ‎ （1）求椭圆的方程；‎ ‎ （2）若直线经过点，且与椭圆有两个交点，是否存在直线（其中）使得到的距离满足恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎21.（本题满分12分）‎ ‎ 已知函数 ‎ （1）讨论函数在上零点的个数；‎ ‎ （2）若有两个不同的零点，求证：.‎ ‎ （参考数据：取2.8，取0.7，取1.4）‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。‎ ‎22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 ‎ 在平面直角坐标系中，直线，以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线,将曲线上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍得到曲线，又直线与曲线交于两点.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设定点，求的值.‎ ‎23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的最小值为5时，求的值，并求的最小值.‎ ‎2017年5月高考适应性调研考试 数学（理）测试题参考答案及评分标准 　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎ A卷：1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．C 7．D 8．D 9．C 10．A 11．A 12．B ‎ B卷：1．C 2．D 3．D 4．B 5．B 6．B 7．D 8．A 9．C 10．A 11．A 12．C 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ ‎13． 14． 15． 16． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（1）又，‎ ‎ ……………2分 ‎ ，‎ 当时， ……………4分 ‎ 当时，，不满足上式，故……………5分 ‎ ‎（2）令，……………6分 ‎ 当时， ……………7分 ‎ 当时， ‎ ‎∴ ‎ ……………10分 ‎ ……………11分 ‎ 而满足上式，故……………12分 ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（1）矩形中，∥，‎ ‎∵面，平面，‎ ‎∴∥平面，……………2分 又平面，‎ 平面平面，∴∥，……………3分 ‎ 又平面平面，∴∥，……………4分 ‎∴∥． ……………5分 ‎（2）取中点，连接，∵，∴，‎ 又平面平面，且平面平面，‎ ‎∴平面，连接，则为在平面内的射影，‎ ‎∴为与平面所成角，∴，‎ ‎∴，由题，∴……………7分 取中点，连接，以为坐标原点，分别以的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系：‎ 则：，，，，则，‎ ， 设平面的法向量为，‎ 于是，‎ 令，则， ‎∴平面的一个法向量， ……………8分 同理平面的一个法向量为， ……………9分 ‎∴ ……………11分 可知二面角为钝二面角 所以二面角的余弦值为． ……………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（1）列联表：‎ 年龄不低于岁的人数 年龄低于岁的人数 合计 赞成 不赞成 合计 ‎……………2分 由表可得：……………4分 所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关” ……………5分 ‎（2）由题知：所有可能取值为：，，， 则：； ；‎ ；．……………9分 所以的分布列为：‎ ‎……………10分 所以的数学期望为：．……………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（1）设椭圆焦距为，右焦点为，‎ ‎∵直线与轴的交点坐标为 ∴. ……………1分 设椭圆上任意一点和关于原点对称的两点，‎ 则有， ∴ ……………2分 又∵即 ∴ ……………3分 又，∴。‎ ‎∴椭圆的方程为。 ……………5分 ‎（2）存在符合题意，理由如下：‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设 联立，得 恒成立 ……………7分 不妨设， ‎ ‎ ∴ ……………9分 ‎∴ ，整理得，即满足条件……11分 当直线的斜率不存在时，显然满足条件 综上，时符合题意。 ……………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（1）由题得， ， ……………1分 当时，单调递增；‎ 当时，单调递减。‎ 当时， ……………2分 ① 当即时无零点，故在上无零点。 ‎ ‎……………3分 ‎②当即时，由单调性可知在上有唯一零点为。 ……………4分 ‎③当即时，由于, ‎ (i)若即显然 由单调性可知在上有两个零点。 ‎ ‎(ii)若即,由单调性可知在上只有一个零点。‎ ‎ ……………5分 ‎ 综上，当时，在上无零点；‎ 当或时，在上有唯一零点；‎ 当时，在上有两个零点。 ……………6分 ‎（2）由题知，‎ 两式相加得，‎ 两式相减得即 ……………7分 ‎∴ 即……………8分 不妨设，，令，‎ 则 ∴在上单调递增，‎ 则 ∴即 ‎∴ ……………9分 又 ‎……………10分 ‎∴，即： ……………11分 令 ∴，∴在上单调递增，‎ 又 ‎∴，即．……………12分 请考生在第22,23题中任选一题作答。注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题后的方框涂黑。‎ ‎22．（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ 解：（1）由题：，∵，∴得……………2分 设上任一点坐标为 ‎ 所以曲线的直角坐标方程为： ……………5分 ‎（2）在上，设的参数方程为：（为参数），将其代入椭圆方程，整理得：……………6分 …………8分 ．……………10分 ‎23. （本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）‎ 解：（1） 或或，……………3分 解得或……………5分 ‎（2） ‎ ……………7分 ．……………9分 当且仅当时取得最小值．……………10分