命题角度1-3 数列的单调性与最值-2018年高考数学(理)备考之百强校大题狂练系列

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命题角度1-3 数列的单调性与最值-2018年高考数学(理)备考之百强校大题狂练系列

‎2018届高考数学(理)大题狂练 命题角度3:数列的单调性与最值 ‎1.设数列的前项之积为,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,数列的前项之和为.若对任意的,总有,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】试题分析:(1)由,再由可得数列的通项公式;(2)先求出,再根据对任意的,可得的取值范围.‎ ‎(2)由,得,‎ 所以,‎ 因为对任意的,故所求的取值范围是...................12分 考点:1.等比数列的通项公式和性质;2.等比数列求和.‎ ‎2.已知等比数列的公比,且, .‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设, 是数列的前项和,对任意正整数,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析:‎ ‎(Ⅰ)本小题用等比数列的基本量法可求解,即用首项和公比表示出已知条件并解出,可得通项公式;‎ ‎(Ⅱ)由,因此用错位相减法可求得其前项和,对不等式按的奇偶分类,可求得参数的取值范围.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)设数列的公比为,则, ‎ ‎∴‎ ‎∵,∴,∴数列的通项公式为. ‎ ‎(Ⅱ)解: ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴=‎ ‎∴对任意正整数恒成立,设,易知单调递增. ‎ 为奇数时, 的最小值为,∴得, ‎ 为偶数时, 的最小值为,∴, ‎ 综上, ,即实数的取值范围是.‎ ‎3.设数列的前项和为,已知.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ 试题解析:(1)令,解得. ‎ 由,有, ‎ 两式相减得,化简得(n≥2),‎ ‎∴ 数列是以首项为1,公比为2 的等比数列,‎ ‎∴ 数列的通项公式. ‎ ‎(2)由≥,整理得k≥,‎ 令,则, ‎ n=1,2,3,4,5时,,∴. ‎ n=6,7,8,…时,,即. ‎ ‎∵b5=<, ∴的最大值是.‎ ‎∴实数k的取值范围是. ‎ 考点:由和项求通项,根据数列单调性求最值 ‎【方法点睛】给出Sn与an的递推关系求an,常用思路是:一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an. 应用关系式an=时,一定要注意分n=1,n≥2两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起.‎ ‎4.已知数列是等差数列,‎ ‎(1)判断数列是否是等差数列,并说明理由;‎ ‎(2)如果,试写出数列的通项公式;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若数列得前n项和为,问是否存在这样的实数,使当且仅当时取得最大值。若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由。‎ ‎【答案】(1)数列是以为公差的等差数列.(2).‎ ‎(3)存在或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:1)设的公差为,确定 ‎,作出结论.‎ ‎(2)根据 ,,‎ 建立的方程组,首先求得 进一步确定.‎ ‎(3)由已知当且仅当时最大,‎ 得到,建立的不等式组,求得的范围.‎ 试题解析:(1)设的公差为,则 数列是以为公差的等差数列 3‎ ‎ (2) ‎ 两式相减: 6分 ‎ 8分 ‎ 8‎ ‎ (3)因为当且仅当时最大,‎ 有 即 ‎ 12‎ 考点:等差数列,一元二次不等式组的解法.‎ ‎5.已知数列的前项和为,且 ,数列满足,,其前9项和为63.‎ ‎(1)求数列和的通项公式;‎ ‎(2)令,数列的前项和为,若对任意正整数,都有,求的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由,可变形为,可得数列是等差数列,利用等差数列的通项公式可得,再根据数列的和与通项的关系,即可求解数列的通项公式,由,可得数列为等差数列,利用等差数列的通项公式即可求解;(2)由题意得,可化简,利用“裂项求和”可得:数列的前项和,设,可得数列单调递增,得出,由于对任意正整数,都有,可得,即可求出.‎ ‎(2)由(1)知cn=+=+=2+2(-), ‎ 所以Tn=c1+c2+…+cn=2n+2×(1-+-+-+…+-+-)‎ ‎=2n+2(1+--)=3-2 (+)+2n. ‎ 所以Tn-2n=3-2(+).‎ 设An=Tn-2n=3-2(+). ‎ 因为An+1-An=3-2(+)-[3-2(+)]‎ ‎=2(-)=>0,‎ 所以{An}单调递增,故(An)min=A1=.‎ 因为An=3-2(+)<3,所以≤An<3. ‎ 因为对任意正整数n,Tn-2n∈[a,b],所以a≤,b≥3,即a的最大值为,b的最小值为3,所以(b-a)min=3-=. ‎ 考点:数列的递推关系;等差数列的通项公式;数列求和的应用.‎ ‎6.已知数列的前项和为,且().‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)设, , 是数列的前项和,求正整数,使得对任意均有恒成立;‎ ‎(3)设, 是数列的前项和,若对任意均有恒成立,求的最小值.‎ ‎【答案】(1)(2)或5(3)‎ ‎【解析】试题分析: (1)由 与 之间的关系求出 的通项公式; (2)先求出数列的通项公式,方法一是求出增减情况,正负情况,求出的最大项,方法二是求出的前n项和,再求出,得出的增减性,再求出的最大值; (3)用裂项相消法求出数列的前n项和, ,再求出的范围. ‎ 试题解析: 由,得 两式相减,得 ‎∴ ‎ 数列为等比数列,公比 又,得, ∴ ‎ ‎(2) ‎ ‎, ‎ 方法一当时, ‎ 因此, ‎ ‎∴ 对任意均有,故或。 ‎ ‎ ‎ ‎(3)∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵对任意均有成立, ‎ ‎∴,‎ 所以的最小值为 点睛: 本题主要考查了数列有关问题,涉及的知识点有求数列通项公式,用裂项相消法求和,判断数列的增减性等,属于中档题.‎ ‎ ‎
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