- 2021-06-02 发布 |
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文档介绍
命题角度1-3 数列的单调性与最值-2018年高考数学(理)备考之百强校大题狂练系列
2018届高考数学(理)大题狂练 命题角度3:数列的单调性与最值 1.设数列的前项之积为,且. (1)求数列的通项公式; (2)设,数列的前项之和为.若对任意的,总有,求实数的取值范围. 【答案】(1);(2). 【解析】试题分析:(1)由,再由可得数列的通项公式;(2)先求出,再根据对任意的,可得的取值范围. (2)由,得, 所以, 因为对任意的,故所求的取值范围是...................12分 考点:1.等比数列的通项公式和性质;2.等比数列求和. 2.已知等比数列的公比,且, . (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)设, 是数列的前项和,对任意正整数,不等式恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) . 【解析】试题分析: (Ⅰ)本小题用等比数列的基本量法可求解,即用首项和公比表示出已知条件并解出,可得通项公式; (Ⅱ)由,因此用错位相减法可求得其前项和,对不等式按的奇偶分类,可求得参数的取值范围. 试题解析: (Ⅰ)设数列的公比为,则, ∴ ∵,∴,∴数列的通项公式为. (Ⅱ)解: ∴ ∴ ∴= ∴对任意正整数恒成立,设,易知单调递增. 为奇数时, 的最小值为,∴得, 为偶数时, 的最小值为,∴, 综上, ,即实数的取值范围是. 3.设数列的前项和为,已知. (1)求数列的通项公式; (2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 试题解析:(1)令,解得. 由,有, 两式相减得,化简得(n≥2), ∴ 数列是以首项为1,公比为2 的等比数列, ∴ 数列的通项公式. (2)由≥,整理得k≥, 令,则, n=1,2,3,4,5时,,∴. n=6,7,8,…时,,即. ∵b5=<, ∴的最大值是. ∴实数k的取值范围是. 考点:由和项求通项,根据数列单调性求最值 【方法点睛】给出Sn与an的递推关系求an,常用思路是:一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an. 应用关系式an=时,一定要注意分n=1,n≥2两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起. 4.已知数列是等差数列, (1)判断数列是否是等差数列,并说明理由; (2)如果,试写出数列的通项公式; (3)在(2)的条件下,若数列得前n项和为,问是否存在这样的实数,使当且仅当时取得最大值。若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由。 【答案】(1)数列是以为公差的等差数列.(2). (3)存在或. 【解析】 试题分析:1)设的公差为,确定 ,作出结论. (2)根据 ,, 建立的方程组,首先求得 进一步确定. (3)由已知当且仅当时最大, 得到,建立的不等式组,求得的范围. 试题解析:(1)设的公差为,则 数列是以为公差的等差数列 3 (2) 两式相减: 6分 8分 8 (3)因为当且仅当时最大, 有 即 12 考点:等差数列,一元二次不等式组的解法. 5.已知数列的前项和为,且 ,数列满足,,其前9项和为63. (1)求数列和的通项公式; (2)令,数列的前项和为,若对任意正整数,都有,求的最小值. 【答案】(1);(2). 【解析】 试题分析:(1)由,可变形为,可得数列是等差数列,利用等差数列的通项公式可得,再根据数列的和与通项的关系,即可求解数列的通项公式,由,可得数列为等差数列,利用等差数列的通项公式即可求解;(2)由题意得,可化简,利用“裂项求和”可得:数列的前项和,设,可得数列单调递增,得出,由于对任意正整数,都有,可得,即可求出. (2)由(1)知cn=+=+=2+2(-), 所以Tn=c1+c2+…+cn=2n+2×(1-+-+-+…+-+-) =2n+2(1+--)=3-2 (+)+2n. 所以Tn-2n=3-2(+). 设An=Tn-2n=3-2(+). 因为An+1-An=3-2(+)-[3-2(+)] =2(-)=>0, 所以{An}单调递增,故(An)min=A1=. 因为An=3-2(+)<3,所以≤An<3. 因为对任意正整数n,Tn-2n∈[a,b],所以a≤,b≥3,即a的最大值为,b的最小值为3,所以(b-a)min=3-=. 考点:数列的递推关系;等差数列的通项公式;数列求和的应用. 6.已知数列的前项和为,且(). (1)求的通项公式; (2)设, , 是数列的前项和,求正整数,使得对任意均有恒成立; (3)设, 是数列的前项和,若对任意均有恒成立,求的最小值. 【答案】(1)(2)或5(3) 【解析】试题分析: (1)由 与 之间的关系求出 的通项公式; (2)先求出数列的通项公式,方法一是求出增减情况,正负情况,求出的最大项,方法二是求出的前n项和,再求出,得出的增减性,再求出的最大值; (3)用裂项相消法求出数列的前n项和, ,再求出的范围. 试题解析: 由,得 两式相减,得 ∴ 数列为等比数列,公比 又,得, ∴ (2) , 方法一当时, 因此, ∴ 对任意均有,故或。 (3)∵ ∴ ∵对任意均有成立, ∴, 所以的最小值为 点睛: 本题主要考查了数列有关问题,涉及的知识点有求数列通项公式,用裂项相消法求和,判断数列的增减性等,属于中档题. 查看更多