【数学】2020届一轮复习人教版（理）第2章第10讲导数的概念及运算作业

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第2章第10讲导数的概念及运算作业

A组　基础关 ‎1．设f(x)＝ln (3－2x)＋cos2x，则f′(0)＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　因为f′(x)＝·(－2)－2sin2x＝－2sin2x，所以f′(0)＝－.‎ ‎2．(2019·宁夏中卫月考)函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 答案　B 解析　由条件知f′(5)＝－1，又在点P处的切线方程为y－f(5)＝－(x－5)，∴y＝－x＋5＋f(5)，即y＝－x＋8，∴5＋f(5)＝8，‎ ‎∴f(5)＝3，∴f(5)＋f′(5)＝2.‎ ‎3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－3t2＋8t，那么速度为零的时刻是(　　)‎ A．1秒末 B．1秒末和2秒末 C．4秒末 D．2秒末和4秒末 答案　D 解析　速度v＝s′＝′＝t2－6t＋8，由t2－6t＋8＝0，解得t＝2或4，所以速度为零的时刻是2秒末和4秒末．‎ ‎4．设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a等于(　　)‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ 答案　D 解析　∵y′＝aeax－，‎ ‎∴当x＝0时，切线的斜率为a－1.‎ 又∵此切线的方程为2x－y＋1＝0，‎ ‎∴a－1＝2，故a＝3.‎ ‎5．已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x ‎)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　)‎ A．01时，f(x)＝xe2－x，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程是________．‎ 答案　x＋y＝0‎ 解析　因为f(1－x)＋f(1＋x)＝2，所以函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，‎ 当x>1时，f(x)＝xe2－x，‎ 当x<1时，取(x，y)关于点(1,1)对称的点(2－x,2－y)，则2－x>1，代入f(x)＝xe2－x，‎ 得到y＝2－(2－x)ex，‎ 所以当x<1时，y＝2－(2－x)ex，所以y′＝(x－1)ex，‎ 当x＝0时，y′＝－1；当x＝0时，y＝0，‎ 所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程是y＝－x，即x＋y＝0.‎ ‎4．已知函数f(x)＝x3＋x－16.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；‎ ‎(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．‎ 解　(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.‎ 所以切线的方程为y＋6＝13(x－2)，即y＝13x－32.‎ ‎(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率k为f′(x0)＝3x＋1，y0＝x＋x0－16，所以直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.‎ 又因为直线l过原点(0,0)，‎ 所以0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，‎ 整理得，x＝－8，所以x0＝－2，‎ 所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标为(－2，－26)，k＝3×(－2)2＋1＝13.‎ 所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．‎ ‎5．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．‎ 解　(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.‎ 当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，‎ 于是解得 故f(x)＝x－.‎ ‎(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋，‎ 知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝(x－x0)，‎ 即y－＝(x－x0)．‎ 令x＝0，得y＝－，‎ 从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.‎ 令y＝x，得y＝x＝2x0，‎ 从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．‎ 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6.‎ 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.‎