2019九年级数学上册 第二十一章 21一元二次方程

2019九年级数学上册 第二十一章 21一元二次方程

第二十一章 21.1一元二次方程 知识点1：一元二次方程的概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.‎ 一元二次方程满足三个条件:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数为2.判断方程是否是一元二次方程的步骤是:先进行整理,然后按定义进行判断.‎ 一元二次方程与一元一次方程的共同点和不同点:‎ ‎(1)共同点:它们都是整式方程,并且只含有一个未知数.‎ ‎(2)不同点:一元二次方程中未知数的最高次数是2,而一元一次方程中未知数的最高次数是1.‎ 知识点2：一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:‎ ax2+bx+c=0(a≠0).‎ 这种形式叫做一元二次方程的一般形式,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.‎ 归纳整理:(1)一元二次方程的一般形式有两个特点:①等式的左边是二次三项式,右边是0;②二次项系数a≠0,因为a=0时,方程就不是一元二次方程了.‎ ‎(2)任何一个一元二次方程,经过整理都可以化为一般形式.在理解一元二次方程的一般形式时,要注意以下几点:①在求一元二次方程各项的系数时,首先必须把一元二次方程化成一般形式;②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数和常数项都是包括符号的.‎ 知识点3：一元二次方程的根 ‎ 使方程左、右两边相等的未知数的值叫作方程的解.‎ 判断一个未知数的值是不是方程的解,可将这个值代入一元二次方程,如果这个方程左右两边相等,则这个值就是这个方程的解.‎ 一元二次方程若有实数解,则实数解一定是两个.如果这两个解不相等,称原方程有两个不相等的实数根;如果相等,称原方程有两个相等的实数根.‎ 拓展反思:方程的根与方程的解 3‎ 只有一个未知数的方程的解也叫方程的根,如果一个方程含有两个及两个以上的未知数,这样的方程的解不能叫做方程的根. 如一元一次方程和一元二次方程的解也是方程的根,而二元一次方程和三元一次方程的解不能叫做方程的根.‎ 方法:判断一个数是否是一元二次方程的解的方法 由于一元二次方程的解代入方程,能使方程左右两边相等,所以检验一个数是否是一元二次方程的解,将这个数代入方程,如果方程的左右两边相等,则这个数就是方程的解.‎ 知识点4：简单一元二次方程的应用 ‎ 一元二次方程是刻画现实世界的一个有效数学模型,可以把实际问题中语言叙述的数量关系通过设未知数、列一元二次方程来表达.‎ ‎(1)实际问题中有单位的,要注意看单位是否一致,若不一致,要先把单位进行统一.‎ ‎(2)常见的一元二次方程模型有图形的面积、周长公式,增长基数以及平均增长率等问题.从实际问题中抽象一元二次方程的一般步骤:‎ ‎①审题,认真阅读题目,弄清未知量和已知量之间的关系;‎ ‎②设出合适的未知数;‎ ‎③确定相等关系;‎ ‎④根据等量关系列出方程.‎ 考点1：一元二次方程的判定 ‎【例1】 下列关于x的方程:‎ ‎①ax2+3x+2=0;②x2+ -5=0;③x2+5x-6=0;④x2-2+5x3-6=0;⑤3x2+2=3(x-2)2中,是一元二次方程的个数为(　　).‎ A. 1          B. 2         C. 3        D. 4‎ 答案:A.‎ 点拨:由于①中没有指出a≠0;②不满足“整式”;④不满足“二次”;⑤化简后为12x-10=0,所以都不是一元二次方程,只有③满足.‎ 考点2：一元二次方程的系数 ‎【例2】 若方程(a+4)x|a|-2+8x+1=0是一个一元二次方程,求a的值.‎ 解:∵　方程(a+4)x|a|-2+8x+1=0是一个一元二次方程,‎ 3‎ ‎∴　‎ 解得或 第二组解矛盾,应舍去.故a=4.‎ 点拨:由一元二次方程的一般形式可知,未知数的次数为2,二次项系数不等于0,从而求出a的值.‎ 考点3：一元二次方程根的认识 ‎【例3】 已知两个方程x2+px+q=0和x2+qx+p=0有一个公共根,求p+q的值.‎ 解:设a是已知方程的公共根,那么a2+pa+q=0,a2+qa+p=0,‎ 所以a2+pa+q=a2+qa+p,所以(p-q)a=p-q,所以a=1,‎ 把a=1代入x2+px+q=0,得p+q=-1.‎ 点拨:设公共根x=a,则a2+pa+q=0,①‎ a2+qa+p=0,②‎ ‎①-②,得a的值,将a的值代回方程求p+q的值.‎ 考点4：一元二次方程的简单应用 ‎【例4】 某农机厂四月份生产零件50万个,第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是(　　).‎ A. 50(1+x)2=182                B. 50+50(1+x)+50(1+x)2=182‎ C. 50(1+2x)=182                D. 50+50(1+x)+50(1+2x)=182‎ 解:B.　　‎ 点拨:根据题意可知五月份生产零件50(1+x)个,六月份生产零件50(1+x)2个,第二季度是四、五、六三个月的产量的和.‎ ‎ ‎ 3‎