2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§9-6　圆锥曲线的综合问题（讲解部分）

2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§9-6　圆锥曲线的综合问题（讲解部分）

§9.6 圆锥曲线的综合问题 高考数学 考点一　曲线与方程 　　1.“曲线的方程”与“方程的曲线” 在直角坐标系中,如果某曲线(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的 点与一个二元方程 f ( x , y )=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么,这个方程叫做①      曲线的方程     ,这条曲线叫做② 　方程的曲线     . 事实上,曲线可以看作一个点集 C ,以二元方程的解作为坐标的点也组成一 个点集 F .上述定义中,   ⇔ C = F . 考点清单 2.求动点的轨迹方程的步骤 (1) 建系 ——建立适当的坐标系; (2) 设点 ——设轨迹上的任一点 P ( x , y ); (3) 列式 ——列出动点 P 的坐标所满足的关系式; (4) 代换 ——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关 于 x 、 y 的方程式,并化简; (5) 证明 ——证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程. 考点二　定点与定值问题 1.定点问题 定点问题通常情况下要建立含参数的曲线方程,选取合适的坐标(可通过 取参数的不同特殊值及对应的方程组的根的求解来完成),即可说明此坐 标适合该曲线方程且与参数无关. 2.定值问题 (1)定值问题的求解:可先考虑能否用特殊点或特殊值求出定值,再推广到 一般结论. (2)定值问题的证明:可运用函数的思想方法来解决.一般步骤如下:(i)选择 适当的变量;(ii)把要证明的是定值的量表示成上述变量的函数;(iii)把是定 值的量化成与变量无关的形式,从而证明是定值. 考点三　最值与范围问题 　　圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类:一是涉及距离、面积的最值 以及与之相关的一些问题;二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值,以及 当这些元素存在最值时,求解与之有关的一些问题. 对于最值问题,一般可以用数形结合的方法或 转化为函数的最值 问题加以 解决;解决最值范围问题时,应重视曲线的定义、曲线的几何特征、方程的 代数特征在解题中的作用. 知识拓展　1.圆锥曲线中的最值和范围问题的求解方法 求解有关圆锥曲线的最值、参数范围的问题:一是注意题目中的几何特征, 充分考虑图形的性质;二是运用函数思想,建立目标函数,求解最值.在利用 代数法解决最值和范围问题时常从以下五个方面考虑: (1)利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是两个参数 之间建立等量关系; (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围; (5)利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围. 2.求有关圆锥曲线的最值问题时应注意以下几点: (1)圆锥曲线上本身存在最值问题,如(i)椭圆上两点间的最大距离为2 a (长 轴长);(ii)双曲线上两点间的最小距离为2 a (实轴长);(iii)椭圆的焦半径的取 值范围为[ a - c , a + c ], a - c 与 a + c 分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最短与最长 距离;(iv)抛物线的顶点与抛物线的准线距离最近. (2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题,常把两点间的距离转化为区 间上的二次函数的最值问题,有时也用圆锥曲线的参数方程转化为三角函 数的最值问题解决. (3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法. (4)当点在圆锥曲线上时,求相关式子(目标函数)的取值范围,常把参数方程 代入转化为三角函数的最值问题,或根据平面几何知识,或引入一个参数 (有几何意义)转化为函数进行处理. (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系,求直线中或圆锥曲线中某个参 数(系数)的范围,解决方法是把所求参数转化为关于另一变元的函数求解. 考点四　存在性问题 　　1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件,则可先假 设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在;若探究结论,则 应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨 论. 2.反证法与验证法是求解存在性问题的常用方法. 考法一 　有关轨迹方程问题的求法 知能拓展 例1 　已知动圆过定点 A (4,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B (-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P , Q ,若 x 轴是∠ PBQ 的平分线,证明直线 l 过定点. 解析　 (1)如图,设动圆圆心为 O 1 ( x , y ),由题意,知| O 1 A |=| O 1 M |,当 O 1 不在 y 轴上 时,过 O 1 作 O 1 H ⊥ MN 交 MN 于 H ,则 H 是 MN 的中点,∴| O 1 M |=   ,   又| O 1 A |=   ,∴   =   , 化简得 y 2 =8 x ( x ≠ 0). 又当 O 1 在 y 轴上时, O 1 与 O 重合,点 O 1 的坐标(0,0)也满足方程 y 2 =8 x ,∴动圆圆 心的轨迹 C 的方程为 y 2 =8 x . (2)证明:由题意,设直线 l 的方程为 y = kx + b ( k ≠ 0), P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ), 将 y = kx + b 代入 y 2 =8 x ,得 k 2 x 2 +(2 bk -8) x + b 2 =0. 其中 Δ =-32 kb +64>0. 由根与系数的关系得, x 1 + x 2 =   ,   ① x 1 x 2 =   .   ② 因为 x 轴是∠ PBQ 的平分线, 所以   =-   , 即 y 1 ( x 2 +1)+ y 2 ( x 1 +1)=0,∴( kx 1 + b )( x 2 +1)+( kx 2 + b )( x 1 +1)=0, 整理得2 kx 1 x 2 +( b + k )( x 1 + x 2 )+2 b =0,   ③ 将①②代入③并化简得8( b + k )=0,∴ k =- b ,此时 Δ >0,∴直线 l 的方程为 y = k ( x -1),即直线 l 过定点(1,0). 方法总结     求动点轨迹方程常用的方法 ①直接法;②定义法;③几何法;④相关点法(代入法);⑤参数法;⑥交轨法.其 中④⑤⑥统称为间接法,体现了一种转化思想,若解题过程中引入了 n 个参 数,则只需建立( n -1)个方程.在探求轨迹方程的过程中,需要注意的是轨迹 方程的“完备性”和“纯粹性”,因此,在求得轨迹方程之后,要深入地思 考一下:是否还遗漏了一些点;是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在; 在所求得的轨迹方程中, x , y 的取值范围是否有限制. 考法二 　圆锥曲线中的定点、定值问题的求解方法 例2　 已知椭圆 C :   +   =1过 A (2,0), B (0,1)两点. (1)求椭圆 C 的方程及离心率; (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M ,直线 PB 与 x 轴交于点 N .求证:四边形 ABNM 的面积为定值. 解析 　(1)由题意得, a =2, b =1. 所以椭圆 C 的方程为   + y 2 =1. 又 c =   =   ,所以离心率 e =   =   . (2)证明:设 P ( x 0 , y 0 )( x 0 <0, y 0 <0),则   +4   =4. 又 A (2,0), B (0,1),所以,直线 PA 的方程为 y =   ( x -2). 令 x =0,得 y M =-   ,从而| BM |=1- y M =1+   . 直线 PB 的方程为 y =   x +1. 令 y =0,得 x N =-   ,从而| AN |=2- x N =2+   . 所以四边形 ABNM 的面积 S =   | AN |·| BM | =       =   =   =2. 从而四边形 ABNM 的面积为定值. 例3 　椭圆 C :   +   =1( a > b >0)的左、右焦点分别为 F 1 (- c ,0)、 F 2 ( c ,0),过椭 圆中心的弦 PQ 满足| PQ |=2,∠ PF 2 Q =90 ° ,且△ PF 2 Q 的面积为1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 不经过点 A (0,1),且与椭圆交于 M , N 两点,若以 MN 为直径的圆经过 点 A ,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 解析　 (1)由对称性易知四边形 PF 1 QF 2 为平行四边形, 又∠ PF 2 Q =90 ° , 所以 ▱ PF 1 QF 2 为矩形, 所以| F 1 F 2 |=| PQ |=2, 所以 c =1, 因为   =   =1, 所以| PF 1 |·| PF 2 |=2, 又| PF 1 |+| PF 2 |=2 a , | PF 1 | 2 +| PF 2 | 2 =(2 c ) 2 =4, 所以 a 2 =2,所以 b 2 =1, 故所求椭圆方程为   + y 2 =1. (2)由题意知,直线 l 的斜率存在, 设 l : y = kx + m , M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ). 由   得(2 k 2 +1) x 2 +4 kmx +2( m 2 -1)=0, 则 x 1 + x 2 =-   , x 1 x 2 =   ,则 y 1 + y 2 = k ( x 1 + x 2 )+2 m =   , y 1 y 2 = k 2 x 1 x 2 + mk ( x 1 + x 2 )+ m 2 =   . 结合题意知   ·   =( x 1 , y 1 -1)·( x 2 , y 2 -1)=0, 所以 x 1 x 2 + y 1 y 2 -( y 1 + y 2 )+1=0, 所以   +   -   +1=0, 即   =0, 亦即3 m 2 -2 m -1=0. 又直线不过 A (0,1), 所以 m ≠ 1,所以 m =-   , 所以 l : y = kx -   , 故 l 必过定点   . 方法总结 　求解定点定值问题的常用方法:(1)直接推理、计算,并在计算 的过程中消去变量,从而得到定点或定值;(2)从特殊情况入手,求出定点或 定值,再证明定点或定值与变量无关. 考法三 　圆锥曲线中的最值(范围)问题的求解方法 例4     (2017浙江,21,15分)如图,已知抛物线 x 2 = y ,点 A   , B   ,抛物线 上的点 P ( x , y )   .过点 B 作直线 AP 的垂线,垂足为 Q . (1)求直线 AP 斜率的取值范围; (2)求| PA |·| PQ |的最大值. 解析　 (1)设直线 AP 的斜率为 k , k =   = x -   , 因为-   < x <   ,所以直线 AP 斜率的取值范围是(-1,1). (2)解法一:因为 AP ⊥ BQ , 所以直线 BQ 的斜率为-   , 又因为直线 AP , BQ 分别过点 A   , B   , 所以直线 AP 、 BQ 的方程分别为 y -   = k   , y -   =-     . 联立直线 AP 与 BQ 的方程   解得点 Q 的横坐标是 x Q =   . 因为| PA |=     =   ( k +1), | PQ |=   ( x Q - x )=-   , 所以| PA |·| PQ |=-( k -1)( k +1) 3 , 令 f ( k )=-( k -1)( k +1) 3 .因为 f '( k )=-(4 k -2)( k +1) 2 , 所以 f ( k )在区间   上单调递增,   上单调递减,因此当 k =   时,| PA |·| PQ | 取得最大值   . 解法二:如图,连接 BP ,| AP |·| PQ |=| AP |·| PB |·cos∠ BPQ =   ·(   -   )=   ·   -   .   易知 P ( x , x 2 )   , 则   ·   =2 x +1+2 x 2 -   =2 x 2 +2 x +   ,   =   +   = x 2 + x +   + x 4 -   x 2 +   = x 4 +   x 2 + x +   . ∴| AP |·| PQ |=- x 4 +   x 2 + x +     . 设 f ( x )=- x 4 +   x 2 + x +     , 则 f '( x )=-4 x 3 +3 x +1=-( x -1)(2 x +1) 2 , ∴ f ( x )在   上为增函数,在   上为减函数, ∴ f ( x ) max = f (1)=   . 故| AP |·| PQ |的最大值为   . 例5     (2019陕西西安第一次质量检测,20)已知椭圆 C :   +   =1( a > b >0)的 短轴长为2   ,离心率为   ,过右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 M , N .线 段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P (0, y 0 ). (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 y 0 的取值范围. 解析　(1)由题意可得2 b =2   ,   =   , a 2 = b 2 + c 2 , ∴ b =   , a =2, c =1. ∴椭圆 C 的方程为   +   =1. (2)当斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y = k ( x -1), M 的坐标为( x 1 , y 1 ), N 的坐标为 ( x 2 , y 2 ),中点 T 的坐标为( x ', y '),易知 k ≠ 0, 把 y = k ( x -1)代入椭圆方程,得到方程(4 k 2 +3) x 2 -8 k 2 x +4 k 2 -12=0, 则 x 1 + x 2 =   , x 1 x 2 =   ,则 x '=   , y '= k ( x '-1)=   , 则线段 MN 的垂直平分线的方程为 y - y '=-   ( x - x '), 令 x =0,得 y 0 =   x '+ y '=   =   , 当 k >0时,4 k +   ≥ 4   ,则 y 0 ∈   ; 当 k <0时,4 k +   ≤ -4   ,则 y 0 ∈   . 当斜率不存在时,显然 y 0 =0, 综上, y 0 的取值范围是   . 方法总结　 圆锥曲线中的最值(范围)问题的求解方法 1.几何法 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来 解决,找到取最值的特殊位置,此类方法,选择题、填空题中常用到. 2.代数法 根据题目构建关于变量的等式或不等式,从而采用函数思想进行最值或范 围的求解.利用代数法解决求参数范围的问题,考虑先建立目标函数(通常 为二次函数),再求这个函数的最值.求函数最值常见的方法有配方法、判 别式法、基本不等式法、单调性法、导数法、三角换元法等. 考法四 　存在性问题 例6     (2020届广东广雅中学、执信中学、六中、深外四校联考)在平面直 角坐标系 xOy 中,过定点 C (0, p )作直线与抛物线 x 2 =2 py ( p >0)相交于 A , B 两点. (1)已知 p =1,若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求△ ANB 面积的最小值; (2)是否存在垂直于 y 轴的直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为 定值?若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由. 解析　 (1)依题意,得点 N 的坐标为 N (0,-1), 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),直线 AB 的方程为 y = kx +1, 由   消去 y 得 x 2 -2 kx -2=0. 由根与系数的关系得 x 1 + x 2 =2 k , x 1 x 2 =-2, 于是 S △ ABN = S △ BCN + S △ ACN =   × 2| x 1 - x 2 |=   =   =2   . ∴ k =0时,( S △ ABN ) min =2   . (2)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y = a , AC 的中点为 O ', l 与以 AC 为直径 的圆相交于点 P , Q , PQ 的中点为 H , 则 O ' H ⊥ PQ , Q '点坐标为   ,   =2 py 1 . 因为| O ' P |=   | AC |=     =     , | O ' H |=   =   |2 a - y 1 - p |, | PH | 2 =| O ' P | 2 -| O ' H | 2 =   (   + p 2 )-   (2 a - y 1 - p ) 2 =   y 1 + a ( p - a ), 则| PQ | 2 =(2| PH |) 2 =4   , 令 a -   =0,得 a =   , 此时| PQ |= p 为定值. 故满足条件的直线 l 存在,其方程为 y =   , 即抛物线的通径所在的直线.