数学理卷·2017届吉林省长春市高三质量监测（四）（2017

数学理卷·2017届吉林省长春市高三质量监测（四）（2017

吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第四次调研测试 ‎ 数 学（理科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，共150分，考试时间120分钟。‎ 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；‎ ‎2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；‎ ‎3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 设集合，则 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2. 复数（是虚数单位），则复数的虚部为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 已知角终边过点，且, 则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 下列说法正确的是 ‎ A． 命题“”的否定是“”‎ ‎ B． , “”是“成等比数列”的充要条件 ‎ C． 命题“已知若，则或”是真命题 ‎ D． 命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题 ‎5． 右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中 ‎ 的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“MOD”‎ ‎ 表示除以的余数），若输入的,分别为485，135‎ ‎ ， 则输出的 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎6. 随机将5位教师全部分到四所学校任教，每所学校至少分到1名教师，则 ‎ 甲，乙二人都分到校任教的概率为 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎7. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ‎ A． ‎ ‎ B． ‎ ‎ C． ‎ ‎ D． ‎ ‎8． 已知,则 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎9. 已知函数的最小正周期为，且其图像向左平 ‎ 移个单位后得到函数的图像，则函数的图像 ‎ A．关于直线对称 B．关于直线对称 ‎ C．关于点对称 D．关于点对称 ‎10. 函数对有，当时，‎ ‎ ，若,则的值为 ‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ ‎11. 抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点做直线与此抛物 ‎ 线交于两点，若,则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 不等式对任意恒成立，则实数 ‎ 的最大值为 ‎ A. B. 2 C . D. 3‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13. 已知向量，且，则实数 .‎ ‎14. 的展开式中的系数是 .‎ ‎15. 已知实数的满足，若目标函数的最大值为6，‎ ‎ 则实数的值为 .‎ ‎16. 三棱锥中，为边长等于的正三角形，,二面角 ‎ 等于，则此三棱锥外接球的表面积等于 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ ‎ 已知等差数列满足的前项和为. ‎ ‎ （Ⅰ）求及;‎ ‎ （Ⅱ）设，为数列的前项和，求证：.‎ ‎18．（本小题满分12分） ‎ ‎ 某市毕业班调研考试数学成绩统计数据显示：全市10000名理科生数学成绩服从正态分布，现从该市某校理科毕业生中，随机抽取50名同学的数学成绩，进行调研时发现，他们成绩全部介于80分到140分之间，将成绩按如下方式分成六组：第一组，第二组，，第六组，按上述分组方法得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎ （Ⅰ）试估计该校理科毕业生数学平均分；‎ ‎ （Ⅱ）求被抽取的50名同学中，成绩在120分（含120分）以上的人数；‎ ‎ （Ⅲ）从这50名同学成绩在120分（含120分）以上的人中任意抽取2人，该2人 ‎ 中成绩在全市前230名的人数记为，求的数学期望. ‎ 附：若，‎ 则 ‎ = ‎ ‎ =‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ ‎ 如图，四棱锥的底面为平行四边形，.‎ ‎ （Ⅰ）求证：;‎ ‎ （Ⅱ）若, 求二面角的正弦 值.‎ ‎20. （本小题满分12分） ‎ ‎ 已知分别是椭圆的左，右焦点，分别是椭圆的上顶点和右顶点，且，离心率 .‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎ （Ⅱ）设经过的直线与椭圆相交于两点，求的最小值. ‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎ （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎ （Ⅱ）是否存在正整数，使函数在上单调递增，若存在，求出正整数 的所有值，若不存在，说明理由.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.‎ ‎22. （本小题满分10分）‎ ‎ 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为 ‎，直线的参数方程为（为参数），设直线与曲线 相交于两点.‎ ‎ （Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎ （Ⅱ）设点的极坐标为，问：点是否在直线上，若在，求的 值; 若不在，说明理由.‎ ‎23. （本小题满分10分）‎ ‎ 设函数.‎ ‎ （Ⅰ）解不等式;‎ ‎ （Ⅱ）若实数满足，求的最小值. ‎ ‎ ‎ ‎ 命题、校对： 王有富 刘彦学 赵玉楠 孙长青 吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第四次调研测试 ‎ 数 学（理科）参考答案与评分标准 一、选择题： ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A C D C B D B D C A B B ‎12题解答：恒成立，左端为点与点 ‎ 距离平方，因为分别在曲线及直线上，由 ‎ 得，故与平行且与相切的切点为（1,0）所以最小值 ‎ ，所以，解得。故选.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎ 13：4 ； 14：3 ; 15. ； 16. ‎ 三、解答题 ‎17解答：‎ ‎（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，因为，‎ ‎ 所以有，解得， ---------------------------------------------4分 ‎ 所以； ---------------------------------------------5分 ‎ 。 ---------------------------------------------6分 ‎（Ⅱ）由（1）知， ----------------------------------------------9分 ‎ 所以 ‎ ‎ ----------------------------------------------11分 ‎ ----------------------------------------------12分 ‎18解答：‎ ‎(Ⅰ)由直方图，抽取的50名学生的数学平均成绩为：‎ ‎ ， ‎ ‎ 所以，该校理科毕业生的数学平均成绩约为：107.8 -----------------------------3分 ‎（Ⅱ）由直方图知，后两组频率之和为0.2，后两组人数之和为。即这50名理科生中成绩 ‎ 在120分以上（含120分）的有10人。 -----------------------------6分 ‎（Ⅲ），‎ ‎，所 以全市前230名理科生数学成绩在130分以上，这50人中，成绩在130分以上的人数有 ‎ 人，随机变量可以取0,1,2. -----------------------------8分 ‎ ，， -----------------10分 ‎ ---------------------------------12分 ‎19解答：‎ ‎(Ⅰ)证明：取中点，连, -----------2分 ‎ ,,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 面,‎ ‎ 又面 ‎ ---------------5分 ‎（Ⅱ）,‎ ‎ 是等腰三角形，是等边三角形 ‎ ‎ ‎ , ‎ ‎ 以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，-------------------------------------7分 ‎ 则，,‎ ‎ 从而得，, ----9分 ‎ 设平面的法向量，则，即，‎ ‎ 令，得，，‎ ‎ 设平面的法向量，由,得，‎ ‎ 令,得， --------------------------10分 ‎ ， ---------------------------11分 ‎ 设二面角为，。----------------------12分 注：因为两平面法向量选取不同，得到，‎ ‎ 仍然正确 ‎20解答 ‎（Ⅰ）依题意得 ，---------------------------------------------------------------------3分 ‎ 解得， 故所求椭圆方程为 ----------------------------------------------------5分 ‎（Ⅱ）由（1）知，设，的方程为，代入椭圆的方程，‎ ‎ 整理得，， --------------------------------------8分 ‎ ，，， ‎ ‎ ， ------------------------------------------11分 ‎ 当且仅当时上式取等号. 的最小值为。 ----------------------------------------12分 ‎21解答 ‎（Ⅰ）证明：由已知得, ---------------------------------------1分 ‎ 得. --------------------------------------------------2分 ‎ 在处的切线方程为即 ---------------------------4分 ‎（Ⅱ）法一：‎ ‎ 令,依题意在上恒成立, ------------------6分 ‎ . -------------------------------------------------------7分 ‎ ①当时, ,在上单调递增, ‎ ‎ 故符合题意 -------------------------------------------------------------------------9分 ‎ ②当时，由得. 取值变化情况如下表，‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小值 增 ‎ ‎ ‎ 依题意即. -------------------------------------------------------------10分 ‎ 令，则,在上单调递减，‎ ‎ 由,知时,，故此时只有符合题意.‎ ‎ 综上，所求正整数的值有1,2,3. -------------------------------------------------------------12分 法二：‎ ‎ 由在上恒成立，得在上恒成立。---------------------------6分 令，则， ---------------------------7分 令，得在上恒成立， ----------------------------8分 又，‎ 从而，使，即。 -----------------------------------------10分 进而知取值变化情况如下表，‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小值 增 故符合题意的正整数K为1,2,3. -----------12分 ‎22.解答 ‎（Ⅰ）由的极坐标方程得，即；-----------2分 ‎ 将的参数方程消去参数，得的普通方程为。 --------------------------4分 ‎（Ⅱ）由点极坐标得点的直角坐标为，满足的方程，故在上，------------------5分 ‎ 所以的参数方程亦为， ------------------------------------------6分 ‎ 代入曲线的直角坐标方程，整理得， ‎ ‎ ， --------------------------------------------------8分 ‎ 。------------------------------10分 ‎23. 解答 ‎（Ⅰ）原不等式可化为， --------------------------------------------2分 ‎ 解（1）得；解（2）得。‎ ‎ 所以，原不等式的解为或。 --------------------------------------------------------------------4分 ‎（Ⅱ）.‎ ‎ 当同号或至少有一项为零时取等号 --------------------------------------------------------6分 ‎ 由柯西不等式得：,‎ ‎ ,, -------------------------------------------------------------------9分 ‎ 当时取等号，又，且满足同正 ‎ ‎ 的最小值为 -------------------------------------------------------------------------------10分