江苏省启东中学2018高考数学附加题专练习4

江苏省启东中学2018高考数学附加题专练习4

‎1. 已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，‎ ‎（1）求实数a的值； ‎ ‎（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.‎ 解：（1）由=，（2分） ∴. （3分）‎ ‎（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为 ‎ （5分）‎ 令，得矩阵的特征值为与4. （6分）‎ 当时， ‎ ‎∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为; （8分）‎ ‎ 当时， ‎ ‎∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为. （10分）‎ ‎2.已知某圆的极坐标方程为：‎ 求：（1）圆的普通方程和参数方程；‎ ‎（2）圆上所有点（x,y）中xy的最大值和最小值 ‎【解析】（1）原方程可化为：–4ρ[.cos+.sin] +6=0‎ 即：–2–2+6=0 ①‎ ‎∵ 　　∴①可化为：–2 x–2y+6=0‎ 即+=2 此方程即为所求普通方程 设 　=cosθ, =sinθ ‎∴则普通方程又可化为,此方程即为所求参数方程。‎ ‎（2）由①xy=()()=4+2 (cosθ+sinθ) +2 cosθ.sinθ ‎　　　　　　=3+2 (cosθ+sinθ)+ ②‎ 设 t= cosθ+sinθ,则 t=sin(θ+) t∈[-,]‎ ‎∴xy=3+2 t+ =+1‎ 当t=–时的xy最小值为1；当t=时xy最大值为9‎ ‎3.已知抛物线的焦点为，直线过点.‎ ‎（1）若点到直线的距离为，求直线的斜率；（4分）‎ ‎（2）设为抛物线上两点，且不与轴垂直，若线段的垂直平分线恰过点，求证：线段中点的横坐标为定值.（6分）‎ 解：（1）由已知，不合题意.设直线的方程为，‎ 由已知，抛物线的焦点坐标为， ………1分 因为点到直线的距离为，所以， ……2分 解得，所以直线的斜率为 . ………4分 ‎（2）设线段中点的坐标为，，‎ 因为不垂直于轴，则直线的斜率为，直线的斜率为， ‎ 直线的方程为， ………5分 联立方程 ‎ 消去得， ……7分 所以， …………8分 因为为中点，所以，即， ………9分 所以.即线段中点的横坐标为定值. …………………10分 ‎4.已知，‎ ‎（1）若，求的值；（3分）‎ ‎（2）若，求中含项的系数；（3分）‎ ‎（3）证明：．（4分）‎ 解：（1）因为,所以,又,‎ 所以 （1）‎ ‎ （2）‎ ‎（1）-（2）得：‎ 所以： …………………3分 ‎（2）因为，所以 中含项的系数为 …6分 ‎（Ⅲ）设 (1)‎ 则函数中含项的系数为…7分 ‎ (2)‎ ‎(1)-(2)得 中含项的系数，即是等式左边含项的系数，等式右边含项的系数为 ‎ ‎ 所以 …………10分