浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题 含解析

浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题 含解析

浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题 一、选择题（本大题共10小题）‎ 1. 已知集合P={x|x2=1}，Q={x|x2-x=0}，那么P∪Q=（　　）‎ A. B. C. 0, D. ‎ 2. 函数f（x）=-的定义域是（　　）‎ A. R B. C. D. ‎ 3. 函数f（x）=log（2-x）的单调递增区间是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 已知函数f（x）=，则f（x）的最大值是（　　）‎ A. B. C. D. 1‎ 5. 函数y=x+a与y=ax，其中a＞0，且a≠1，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 若实数a，b满足loga（a-b）＞1，其中a＞0，且a≠1，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 已知实数x0是函数f（x）=-的一个零点，若0＜x1＜x0＜x2，则（　　）‎ A. , B. , C. , D. ,‎ 8. 设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）=（）x+2x+b（其中b为实数），则f（1）的值为（　　）‎ A. B. C. 1 D. 3‎ 1. 若函数f（x）=在区间[2019，2020]上的最大值是M，最小值是m，则M-m（　　）‎ A. 与a无关,但与b有关 B. 与a无关,且与b无关 C. 与a有关,但与b无关 D. 与a有关,且与b有关 2. 已知函数f（x）=2019x+ln（+x）-2019-x+1，则关于x的不等式f（2x-1）+f（2x）＞2的解集为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共7小题）‎ 3. 已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={1，2，5}，则A∩B=______，（∁UA）∪B=______．‎ 4. 已知f（x）=x2+（b-2）x是定义在R上的偶函数，则实数b=______，此函数f（x）的单调增区间为______．‎ 5. 已知幂函数f（x）的图象经过点（4，2），则函数f（x）=______，若f（2-a）＞f（a-1），则实数a的取值范围是______．‎ 6. 设函数f（x）=，则f（f（0））=______，使得f（a）≥‎4a的实数a的取值范围是______．‎ 7. 已知函数f（x）=|lgx|+2，若实数a，b满足b＞a＞0，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是______．‎ 8. 已知实数a，b满足logab-3logba=2，且aa=bb，则a+b=______．‎ 9. 已知集合P={1，2，3，4，5}，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为______．‎ 三、解答题（本大题共5小题）‎ 10. 已知A={x|＞0}，B={x|（x-1-a）（x-1+a）≤0}． （Ⅰ）当a=2时，求A∩B； （Ⅱ）当a＞0时，若A∪B=B，求实数a的取值范围． ‎ 11. 已知函数f（x）=（x-a）（2x+3）-6 （Ⅰ）若a=-1，求f（x）在[-3，0]上的最大值和最小值； （Ⅱ）若关于x的方程f（x）+14=0在（0，+∞）上有两个不相等实根，求实数a的取值范围． ‎ 12. 已知实数a＞0，定义域为R的函数是偶函数，其中e为自然对数的底数． （Ⅰ）求实数a值； （Ⅱ）判断该函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明； （Ⅲ）是否存在实数m，使得对任意的t∈R，不等式f（t-2）＜f（2t-m）恒成立．若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ 1. 已知函数f（x）=log3． （Ⅰ）若m=4，n=4，求函数f（x）的定义域和值域； （Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，值域为[0，2]，求实数m，n的值． ‎ 2. 已知函数f（x）=，其中e为自然对数的底数． （Ⅰ）求f（f（））的值； （Ⅱ）写出函数F（x）=|f（x）-1|的单调递减区间（无需证明）； （Ⅲ）若实数x0满足f（f（x0））=x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f（x）的二阶不动点的个数． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵P={-1，1}，Q={0，1}， ∴P∪Q={-1，0，1}． 故选：C． 可以求出集合P，Q，然后进行并集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解：函数f（x）=-中， 令， 解得， 所以函数f（x）的定义域是[-1，0）∪（0，+∞）． 故选：D． 根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 本题考查了求函数定义域的应用问题，是基础题． 3.【答案】A ‎ ‎【解析】解：2-x＞0，得到x＜2，且t=2-x在（-∞，2）上递减， 而在（0，+∞）上递减， 由复合函数单调性同增异减法则，得到在（-∞，2）上递增， 故选：A． 求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求解即可． 本题考查复合函数的单调性的判断与性质的应用，是基本知识的考查． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：当x＜0时，， 当x≥0时，f（x）max=f（0）=-1，而， 所以， 故选：B． 利用否定函数，分段求解函数的最值然后推出结果． 本题考查分段函数的最值的求法，是基本知识的考查． 5.【答案】D ‎ ‎【解析】解：①0＜a＜1，则，y=ax为减函数，y=x+a为增函数且与y轴交点位于y正半轴交点纵坐标小于1，所以A、B、C错； ②a＞1则，y=ax为增函数，y=x+a与y轴交点位于y正半轴，D正确； 故选：D． 分0＜a＜1和a＞1两种情况进而求解． 考查指数函数，一次函数的图象的增减性，与坐标轴的关系． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：当a＞1时，a-b＞a，得到b＜0，所以（a-1）b＜0． 当0＜a＜1时，0＜a-b＜a，得到b＞0，所以（a-1）b＜0， 故选：C ‎． 分类讨论底数的范围，得出结论． 本题主要考查对数的运算性质，解对数不等式，属于基础题． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解：函数f（x）=-在（0，+∞）上递增，且f（x0）=0，由图象可知， 当0＜x1＜x0＜x2时，有f（x1）＜0，f（x2）＞0， 故选：B． 由题意利用函数的单调性和零点，得出结论． 本题主要考查函数的单调性和零点，属于基础题． 8.【答案】C ‎ ‎【解析】解：f（x）为定义在R上的奇函数，且x≤0时，，则： f（0）=1+b=0，得到b=-1，则f（1）=-f（-1）=-（‎2-2-1‎）=1． 故选：C． 根据f（x）是定义在R上的奇函数可得出f（0）=0，从而求出b=-1，即得出x≤0时，，从而根据f（1）=-f（-1）即可求出f（1）． 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，以及已知函数求值的方法． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：，令， 则y=2019t2+bt+a的最大值是M，最小值是m，而a是影响图象的上下平移，此时最大和最小值同步变大或变小，故M-m与a无关， 而b是影响图象的左右平移，故M-m与b有关， 故选：A． 令，则y=2019t2+bt+a，进而求解． 考查转化思想，二次函数图象的理解． 10.【答案】C ‎ ‎【解析】解：可证明f（x）+f（-x）=2019x+ln（+x）-2019-x+1+2019-x+ln（-x）-2019x+1=2， 且f（x）在R上递增， 原不等式等价于f（2x-1）＞2-f（2x）=f（-2x），则2x-1＞-2x， 得到， 故选：C． 利用函数的单调性以及函数的奇偶性通过f（x）+f（-x）=2，转化求解即可． 本题考查函数的单调性的应用，函数的奇偶性的判断与应用，是基本知识的考查． 11.【答案】{1}   {1，2，4，5} ‎ ‎【解析】解：全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={1，2，5}， 则A∩B={1}， ∁UA={2，4，5}， ∴（∁UA）∪B={1，2，4，5}． 故答案为：{1}，{1，2，4，5}． 利用交集、补集、并集定义直接求解． 本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． ‎ ‎12.【答案】2   （0，+∞） ‎ ‎【解析】解：f（x）=x2+（b-2）x是定义在R上的偶函数，对称轴为y轴，则b=2， 于是f（x）=x2，单调增区间为（0，+∞）． 故答案为：2，（0，+∞） f（x）=x2+（b-2）x是定义在R上的偶函数，对称轴为y轴，进而求解． 考查二次函数图象的理解，偶函数的性质． 13.【答案】   1≤a＜ ‎ ‎【解析】解：设幂函数f（x）=xα，由f（4）=4α=2，得到α=，于是． 若f（2-a）＞f（a-1），则，即2-a＞a-1≥0，所以，1≤a＜， 故答案为：1≤a＜． 设幂函数f（x）=xα，由f（4）=2，得到α的值，可得函数的解析式，再根据f（2-a）＞f（a-1）以及单调性，求得实数a的取值范围． 本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题． 14.【答案】4   （-∞，4] ‎ ‎【解析】解：函数f（x）=， ∴f（f（0））=f（1）=4； 当a＜1时，f（a）=（a+1）2≥‎4a，得到a＜1； 当a≥1时，，得到a=1， 所以a≤1． 故答案为：4；（-∞，4]． 直接利用分段函数的解析式求解f（f（0）），通过a的范围，列出不等式求解实数a的取值范围． 本题考查分段函数的应用，函数值的求法以及不等式的解法，考查计算能力． 15.【答案】（3，+∞） ‎ ‎【解析】解：由已知可知0＜a＜1＜b，且|lga|=|lgb|， 于是lga=-lgb，则， 所以， 所以a+2b的取值范围是（3，+∞）． 故答案为：（3，+∞）． 由已知可知0＜a＜1＜b，且|lga|=|lgb|，然后结合基本不等式即可求解． 本题主要考查了对数函数图象的变换的应用及对数的运算的简单应用，属于基础试题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由logab-3logba=2得，，解得logab=3或-1，则b=a3或， ①当b=a3时，，则a=‎3a3，而a＞0，解得， ∴； ②当时，，则，而a＞0，解得a无解， ∴． 故答案为：． 可由logab-3logba=2解出logab=3或-1，从而得出b=a3或，从而得出：b=a3时，得出a=‎3a3，根据a＞0即可解出a，b，从而求出a+b=；时，得出，显然此时a无解，最后便得出a+b的值． 考查对数的换底公式，指数的运算，以及指数函数是单调函数． ‎ ‎17.【答案】49 ‎ ‎【解析】解：根据题意，分4种情况讨论： 当A中的最大数为1，即A={1}时，B={2}，{3}，{4}，{5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，{2，3，4，5}，即{2，3，4，5}的非空子集的个数为24-1=15个； 当A中的最大数为2，即A={2}，{1，2}时，B={3}，{4}，{5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，{3，4，5}，即2×（23-1）=14个； 当A中的最大数为3，即A={3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B={4}，{5}，{4，5}，即4×3=12个； 当A中的最大数为4，即A={4}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}时，B={5}，即{1，2，3}的子集的个数为23=8个； 所以总共个数为15+14+12+8=49个； 故答案为：49． 根据题意，按集合A的情况分4种情况讨论，分析集合B的个数，由加法原理计算可得答案． 本题考查分类计数原理的应用，涉及集合的子集关系，属于基础题． 18.【答案】解：（Ⅰ）A={x|2＜x＜6}，当a=2时，B={x|（x-3）（x+1）≤0}={x|-1≤x≤3}， ∴A∩B={x|2＜x≤3}； （Ⅱ）若A∪B=B，则A⊆B， ∵a＞0， ∴B={x|（x-1-a）（x-1+a）≤0}={x|1-a≤x≤a+1}，则，得到a≥5， ∴实数a的取值范围为[5，+∞）． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）可以求出A={x|2＜x＜6}，a=2时可以求出集合B，然后进行交集的运算即可； （Ⅱ）根据A∪B=B即可得出A⊆B，由a＞0即可得出B={x|1-a≤x≤a+1}，从而得出，解出a的范围即可． 考查描述法、区间的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，交集的运算，并集的定义及运算，子集的定义． 19.【答案】解析：（Ⅰ）若a=-1，， 其中x∈[-3，0]，则由图象可知函数f（x）在[-3，-]上单调递减，在（-，0]上单调递增， ∴f（x）max=f（-3）=0，； 函数f（x）的最大值0、最小值为-； （Ⅱ）关于x的方程f（x）+14=0在（0，+∞）上有两个不相等实根， 转化为2x2+（3‎-2a）x‎-3a+8=0有两个不相等实根， 则，∴ 得到． 故实数a的取值范围（）． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）将a的值代入，对二次函数f（x）配方，找到对称轴，结合所给区间，求出函数f（x）的最大值和最小值； （Ⅱ）化简方程f（x）+14=0，根据方程f（x）+14=0在（0，+∞）上有两个不相等实根，列出关于a的不等式组，求出实数a的取值范围． 本题考查了二次函数的图象和最值的性质，考查了配方法、韦达定理根与系数的关系，属于中档题． 20.【答案】解：（Ⅰ）定义域为R的函数是偶函数，则f（-x）=f（x ‎）恒成立， 即，故恒成立，因为ex-e-x不可能恒为0，所以，而a＞0，所以a=1． （Ⅱ）该函数在（0，+∞）上递增，证明如下： 设任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则 =， 因为0＜x1＜x2，所以，且， 所以，即f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）， 故函数在（0，+∞）上递增． （III）由（Ⅱ）知函数f（x）在（0，+∞）上递增，而函数f（x）是偶函数，则函数f（x）在（-∞，0）上递减． 若存在实数m，使得对任意的t∈R，不等式f（t-2）＜f（2t-m）恒成立．则|t-2|＜|2t-m|恒成立，即|t-2|2＜|2t-m|2， 即3t2-（‎4m-4）t+m2-4＞0对任意的t∈R恒成立，则△=（‎4m-4）2-12（m2-4）＜0，得到（m-4）2＜0，m∈∅，所以不存在． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）由偶函数的定义得到关于x恒成立的表达式进而求解； （Ⅱ）根据函数单调性的定义，对函数值作差，将其分子分母化成因式乘积的形式，判断每一个因式的正负即可； （Ⅲ）根据函数的单调性和奇偶性，将函数符号f去掉，得到关于t的不等式，由恒成立问题求解即可． 本题很好地考查了函数的奇偶性、单调性的基本定义及应用，应用这些性质求解抽象不等式及其恒成立问题是重点题型，有一定的难度． 21.【答案】解析：（Ⅰ）若m=4，n=4，则，由，得到x2+2x+1＞0，得到x≠-1，故定义域为{x|x≠-1}， 因为，下面求f（x）的值域， 当x=0时，f（x）=log34， 当x≠0且x≠-1时，当，而，所以， 令t=，f（x）=log3t 的值域为（-∞，log34）∪（log34，log38]， 所以f（x）的值域为（-∞，log38]． （Ⅱ）由于函数f（x）的定义域为R，则恒成立，则，即m＞0，mn＞16， 令，化简得（t-m）x2-8x+t-n=0，由于f（x）的值域为[0，2]，则t∈[1，9]， 由函数f（x）的定义域为R，所以△=64-4（t-m）（t-n）≥0，即t2-（m+n）t+mn-16≤0的解集为[1，9]， 故t=1和t=9是方程t2-（m+n）t+mn-16=0的两个根，由韦达定理m+n=10，mn-16=9，又m＞0，mn＞16，所以． ‎ ‎【解析】（I）考察求函数的定义域和值域；（II）函数的恒成立问题，转化为不等式，根据韦达定理求出m，n （I）注意换元法和复合函数求定义域和值域；（II）用到函数的恒成立问题，不等式求解，韦达定理的应用，中档题 22.【答案】解：（Ⅰ）因为＞1，所以，所以． （Ⅱ）F（x）=|f（x）-1|，递减区间为，[1，e]． （III）根据题意，，f（f（x））=ln（2-2x），当＜x＜1，f（f（x））=4x-2，当1≤x≤e，f（f（x））=2-2lnx， 当时，由f（f（x））=ln（2-2x）=x，记g（x）=ln（2-2x）-x，则g（x）在上单调递减，且g（0）=ln2＞0，， 故g（x）在上有唯一零点x1，即函数f（x）在上有唯一的二阶不动点x1． 当时，由f（f（x））=4x-2=x，得到方程的根为，即函数f（x ‎）在上有唯一的二阶不动点． 当1≤x≤e时，由f（f（x））=2-2lnx=x，记h（x）=2-2lnx-x，则h（x）在[1，e]上单调递减，且h（1）=1＞0，h（e）=-e＜0， 故h（x）在[1，e]上有唯一零点x3，即函数f（x）在[1，e]上有唯一的二阶不动点x3． 综上所述，函数f（x）的二阶不动点有3个． ‎ ‎【解析】（I）分段函数求值，根据x的范围代入即可；（II）考察函数单调性；（III）写出f（f（x））分段函数，根据f（f（x））=x，求出解的个数 （I）这是分段函数求值，基础题；（II）含绝对值的函数单调性的判断，比较容易；（III）这道题难点是要写出f（f（x））分段函数，根据f（f（x））=x，求出解的个数，一定注意x的范围． ‎