数学卷·2018届河北省衡水第一中学高三上学期分科综合考试数学（文）试题（解析版）

数学卷·2018届河北省衡水第一中学高三上学期分科综合考试数学（文）试题（解析版）

‎2017～2018学年度高三分科综合测试卷 文科数学 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为 ，，所以，故选B.‎ ‎2. 已知为虚数单位，，且的共轭算数为，则在复平面内对应的点在( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】，则在复平面内对应的点为，在第一象限，故选A.‎ ‎3. 已知向量，，，若，则( )‎ A. 5 B. C. 10 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为向量，，，所以得，所以，解得，故，则，故选B.‎ ‎4. 圆与圆的公切线的条数是( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆圆心 ，半径为，圆的圆心 ，半径为，两圆的圆心距，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆相外切，故公切线的条数为，故选C.‎ ‎5. 已知命题“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】为“方程没有实根”，由为真命题可得，解之得，由为真命题的充分不必要条件为，可得，解之得，故选B.‎ ‎6. 已知实数满足，则的最小值为( )‎ A. 0 B. -1 C. -3 D. -5‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出可行域：所以当取B时目标函数取得最小值-4-1=-5‎ ‎7. 若表示不超过的最大整数，则如图所示的程序框图运行之后输出的结果为( ) ‎ A. 48920 B. 49660 C. 49800 D. 51867‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意：表示不超过的最大整数，且所以该程序运行后输出的结果中是：39个0与40个1,40个2,40 个3，……，40个49，个50的 和，所以输出的结果为 ‎8. ‎2017年3月22日，习近平出访俄罗斯，在俄罗斯掀起了中国文化热．在此期间，俄罗斯某电视台记者， 在莫斯科大学随机采访了7名大学生，其中有3名同学会说汉语，从这7人中任意选取2人进行深度采访，则这2人都会说汉语的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设名不会说汉语的同学为，另外名会说汉语的同学为，则从中抽取人的不同抽取方法有，共种情况，其中人都会说汉语的不同情况有，共种情况，故所求概率为，故选D.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，属于容易题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次 ….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.‎ ‎9. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图可知，该几何体是一个圆柱的，故表面积为，故选C.‎ ‎10. 已知函数的最小正周期为，且，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，其中，由可得，即的图象关于直线对称，而直线与直线的距离为的个周期，故，故选B.‎ ‎11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，，双曲线的离心率为，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，可知，由双曲线的定义可得，即，由双曲线的离心率可得双曲线的焦距为，在中，由勾股定理可得，解之得，故选B.‎ ‎12. 已知函数，若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则的图象和直线有四个交 点，作出函数的图象，由题意知点在直线的下方，，解得，再根据当直线和相切时，设切点横坐标为，根据导数的几何意义及斜率公式可得，此时 ，的图象和直线有三个交点，不满足条件，故要求的的取值范围是，故选D.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、方程与函数思想以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 在锐角中，角所对边的长分别为，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用正弦定理化简已知等式得，为锐角，原式，故答案为 ‎ ‎14. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以AD,DC,DD1建立空间直角坐标系，则： ‎ 得直线和所成角的余弦值等于 ‎15. 已知，则曲线在点处的切线方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线在点处的切线斜率为曲线在点处的切线方程为，即，故答案为.‎ ‎16. 若都是正数，且，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设都是正数，且，则 ，当且仅当时取等号，故答案为.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17. 已知数列满足， ． ‎ ‎（1）求证：数列为等差数列；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据数列的递推关系，利用构造法，由可得 ‎，结合等差数列的定义即可证明是等差数列；（2）根据（1）求出数列的通项公式，利用错位相减法，结合等比数列求和公式进行求解即可.‎ 试题解析：（1）证明：因为（常数），‎ ‎，所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列．‎ ‎（2）解：由（1）可知，，所以，‎ 所以， ①‎ ‎， ②‎ ‎①-②得，‎ 所以 ，‎ 所以 ．‎ ‎【易错点晴】本题主要考查数列的递推关系、等差数列的定义及等比数列的求和公式，“错位相减法”求数列的和，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.‎ ‎18. 如图，在四棱锥中，平面，平面，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求三棱锥的高．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）2.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由线面垂直的性质可得，结合条件，由线面垂直的判定定理可得平面，从而由线面垂直的性质可得；（2）先分别求出三棱锥与四棱锥的体积，利用切割法求出三棱锥的体积，利用平面几何知识求出的面积，利用“等积变换”可得结果.‎ 试题解析：（1）证明：因为平面，平面，所以，‎ 所以在同一平面内．‎ 而平面，所以，‎ 又平面，所以平面，‎ 又平面，所以.‎ ‎（2）解：三棱锥的体积为 ，‎ 四棱锥的体积为 ，‎ 所以三棱锥的体积为.‎ 而，‎ 所以，则，‎ 所以的面积为 .‎ 设三棱锥的高为，则，即，即三棱锥的高为2.‎ ‎19. 中国神舟十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，引起全国轰动．开学后，某校高二年级班主任对该班进行了一次调查，发现全班60名同学中，对此事关注的占，他们在本学期期末考试中的物理成绩（满分100分）如下面的频率分布直方图：‎ ‎（1）求“对此事关注”的同学的物理期末平均分（以各区间的中点代表该区间的均值）．‎ ‎（2）若物理成绩不低于80分的为优秀，请以是否优秀为分类变量，‎ ‎①补充下面的列联表：‎ 物理成绩优秀 物理成绩不优秀 合计 对此事关注 对此事不关注 合计 ‎②是否有以上的把握认为“对此事是否关注”与物理期末成绩是否优秀有关系？‎ 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）；（2）列联表见解析，没有.‎ ‎【解析】试题分析：（1）各小矩形中点横坐标与纵坐标的乘积的和即是对此事关注的同学的物理期末平均分；（2）根据直方图求出列联表所需数据，即可完成列联表，利用公式求得 ，与邻界值比较，即可得到结论.‎ 试题解析：（1）对此事关注的同学的物理期末平均分为 ‎ （分）．‎ ‎（2）①补充的列联表如下：‎ 物理成绩优秀 物理成绩不优秀 合计 对此事关注 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 对此事不关注 ‎8‎ ‎32‎ ‎40‎ 合计 ‎16‎ ‎44‎ ‎60‎ ‎②由①中的列联表可得 ‎ ，‎ 所以没有以上的把握认为“对此事是否关注”与物理期末成绩是否优秀有关系．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及独立性检验，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）‎ ‎20. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形面积为，圆的方程为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过原点作直线与圆交于两点，若，求直线被圆截得的弦长．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由离心率为可得，结合得，根据以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形面积为可得，从而求的，得到椭圆和圆的方程；（2）设出直线的方程，整理方程组，由判别式求出直线斜率的范围，韦达定理得到坐标的关系，根据向量数量积的坐标表示列出方程，求的斜率.‎ 试题解析：（1）设椭圆的焦距为2c，左、右焦点分别为，由椭圆的离心率为可得，即，所以 以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为，即，‎ 所以椭圆的方程，圆的方程为 ‎（2）①当直线的斜率不存时，直线方程为，与圆C相切，不符合题意 ‎②当直线的斜率存在时，设直线方程，‎ 由可得，‎ 由条件可得，即 设，，则，‎ 而圆心C的坐标为（2，1）则 ，‎ 所以，‎ 即 所以解得或 或 考点：圆、椭圆的标准方程及其几何性质，直线与圆的位置关系.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了圆、椭圆的标准方程及其几何性质，直线与圆的位置关系.，属于中档题.根据椭圆的离心率和三角形的面积列出的方程，求出椭圆和圆的方程；题中给出了直线与圆的两个交点与定点之间的关系，所以直线与圆的位置关系采用方程法处理，转化为研究它们交点坐标的关系，通过平面向量的数量积运算求解.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若的图像在处的切线与轴平行，求的极值；‎ ‎（2）若函数在内单调递增，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）极大值，无极小值；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出，由求得，研究函数的单调性，即可求得的极值；（2）化简，可得，对求实数分三种情况讨论，分别利用导数研究函数的单调性，验证函数在内是否单调递增即可得结果. ‎ 试题解析：（1）因为，所以．‎ 由条件可得，解之得，所以，‎ ‎ ．‎ 令可得或（舍去）．‎ 当时，；当时，，‎ 所以在内单调递增，在内单调递减，‎ 故有极大值，无极小值；‎ ‎（2），则 ．‎ 设，‎ ‎①当时，，当时，，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，不满足条件；‎ ‎②当时，是开口向下的抛物线，方程有两个实根，设较大实根为．当时，有，即，所以在内单调递减，故不符合条件；‎ ‎③当时，由可得在内恒成立，‎ 故只需或，即或，解之得．‎ 综上可知，实数的取值范围是．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22. 已知直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，圆的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线被圆截得的弦长；‎ ‎（2）若点的坐标为，直线与圆交于两点，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）7.‎ ‎【解析】试题分析：（1）将直线的参数方程消去参数，化为普通方程得，圆的极坐标方程化为普通方程可得，圆心到直线的距离，由勾股定理能求出 直线被圆截得的弦长；（2）把代入，得，由根据直线参数方程的几何意义结合韦达定理能求出的值.‎ 试题解析：（1）将直线的参数方程化为普通方程可得，而圆的极坐标方程可化为，化为普通方程可得，‎ 则圆心到直线的距离为，‎ 故直线被圆截得的弦长为．‎ ‎（2）把代入，可得 ‎（*）．‎ 设是方程（*）的两个根，则，故．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23. 已知函数（为常数）．‎ ‎（1）若，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若的值域为，且，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由可得，然后分段去绝对值解不等式即可（2）根据三角绝对值不等式可得函数最大值 ，又所以只需解出即可 试题解析：‎ ‎（1）由可得，即.（*）‎ ‎①当时，（*）式可化为，解之得，所以；‎ ‎②当时，（*）式可化为，即，所以；‎ ‎③当时，（*）式可化为，解之得，所以.‎ 综上知，实数的取值范围为 .‎ ‎（2）因为 ，所以，‎ 由条件只需即，‎ 解之得，即实数的取值范围是.‎ ‎ ‎