专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件-2018年高考数学（文）热点题型和提分秘籍

专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件-2018年高考数学（文）热点题型和提分秘籍

‎1．理解命题的概念 ‎2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系 ‎3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义 热点题型一 四种命题及其真假判断 例1、 (1)已知命题α：如果x＜3，那么x＜5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3。关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是(　　)‎ ‎①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题。‎ ‎②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题。‎ ‎③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题。‎ A．①③　　 B．②‎ C．②③ D．①②③‎ ‎(2)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)。‎ ‎①“若log2a＞0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；‎ ‎②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；‎ ‎③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题。‎ ‎【答案】(1)A (2)②‎ ‎【解析】(1)逆命题是互换原命题的条件与结论，否命题是把原命题的条件和结论都否定，逆否 ‎【提分秘籍】‎ 在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系。要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可。对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(　　)‎ A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题 B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题 C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题 D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题 ‎【答案】D 热点题型二 充分条件、必要条件的判断 例2、【2017天津，文2】设，则“”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】，则，，则， ，据此可知：“”是“”的的必要的必要不充分条件，本题选择B选项.‎ ‎【提分秘籍】 充要条件的三种判断方法 ‎(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断。‎ ‎(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断。‎ ‎(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的(　　)‎ A．充分而不必要条件　B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0，但方程x＋y－1＝0有无数多个解，不能确定x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l上”的充分而不必要条件。‎ 热点题型三 充分条件、必要条件的应用 例3．已知集合M＝{x|x＜－3或x＞5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}。‎ ‎(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件；‎ ‎(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分但不必要条件；‎ ‎(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个必要但不充分条件。‎ ‎【提分秘籍】‎ 与充要条件有关的参数问题的求解方法 解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系，并由此列出关于参数的不等式(组)求解。‎ ‎【举一反三】 ‎ 原命题为“若＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)‎ A．真，真，真　　　　　B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 ‎【答案】A ‎【解析】从原命题的真假入手，由于＜an⇔an＋1＜an⇔{an}为递减数列，即原命题和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A。‎ ‎ ‎ ‎1.【2017天津，文2】设，则“”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎1.【2016高考天津文数】设，，则“”是“”的（ ）‎ ‎（A）充要条件 （B）充分而不必要条件 ‎ ‎（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】,所以充分性不成立；，必要性成立，故选C ‎2.【2016高考上海文科】设，则“”是“”的（ ） ‎ （A） 充分非必要条件 （B）必要非充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】，所以“”是“”的充分非必要条件，选A.‎ ‎1.【2015高考山东，文5】设,命题“若,则方程有实根”的逆否命题是( )‎ ‎（A）若方程有实根，则 ‎(B) 若方程有实根，则 ‎(C) 若方程没有实根，则 ‎(D) 若方程没有实根，则 ‎【答案】D ‎【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D.‎ ‎2.【2015高考湖北，文3】命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为，，故应选C.‎ ‎1．（2014·安徽卷） 命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)‎ A．∀x∈R，|x|＋x2<0 ‎ B．∀x∈R，|x|＋x2≤0‎ C．∃x0∈R，|x0|＋x<0 ‎ D．∃x0∈R，|x0|＋x≥0‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】易知该命题的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x<0”．‎ ‎2．（2014·福建卷） 命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　)‎ A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0 ‎ B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0‎ C．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0 ‎ D．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0”，故选C.‎ ‎3．（2014·湖北卷） 命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是(　　)‎ A．∀x∈/R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝x C．∃x0∈/R，x≠x0 D．∃x0∈R，x＝x0‎ ‎【答案】D　‎ ‎4．（2014·湖南卷） 设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则綈p为(　　)‎ A．∃x0∈R，x＋1＞0 B．∃x0∈R，x＋1≤0‎ C．∃x0∈R，x＋1＜0 D．∀x∈R，x2＋1≤0‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】由全称命题的否定形式可得綈p：∃x0∈R，x＋1≤0.‎ ‎5．（2014·天津卷） 已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为(　　)‎ A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1‎ B. ∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1‎ C. ∀x＞0，总有(x＋1)ex≤1‎ D. ∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】含量词的命题的否定，先改变量词的形式，再对命题的结论进行否定．‎ ‎ 1．若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的(　　)‎ A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】f(x)在R上为奇函数⇒f(0)＝0；f(0)＝0 f(x)在R上为奇函数，如f(x)＝x2，故选A.‎ ‎2．下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是(　　)‎ A．a>b＋1 B．a>b－1‎ C．a2>b2 D．a3>b3‎ ‎【答案】A ‎【解析】由a>b＋1，得a>b＋1>b，即a>b，而由a>b不能得出a>b＋1，因此，使a>b成立的充分不必要条件是a>b＋1，选A.‎ ‎3．给定下列三个命题：‎ p1：函数y＝ax＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；‎ p2：∃a，b∈R，a2－ab＋b2<0；‎ p3：cosα＝cosβ成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z)．‎ 则下列命题中的真命题为(　　)‎ A．p1∨p2 B．p2∨綈p3‎ C．p1∨綈p3 D．綈p2∧p3‎ ‎【答案】D ‎4．“(m－1)(a－1)>0”是“logam>0”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎5．若集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x||x－a|<1}，则“a∈(2,3)”是“B⊆A”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由题意知A＝{x|1b”是“f(a)>f(b)”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】因为f(x)＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a>b>0时，f(a)>f(b)；反之，当f(a)>f(b)时，a>b.故选B.‎ ‎7．已知p：x≥k，q：<1，若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是(　　)‎ A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)‎ C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵q：<1，∴－1<0，∴<0.‎ ‎∴(x－2)·(x＋1)>0，∴x<－1或x>2.‎ 因为p是q的充分不必要条件，所以k>2，故选B.‎ ‎8．已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】∵f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2，且f(x)＝(ax＋b)2为偶函数，∴2a·b＝0，即a·b＝0，所以a⊥b；若a⊥b，则有a·b＝0，∴f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2＝a2x2＋b2为偶函数，∴“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件，故选C.‎ ‎9．“若a，b∈R＋，a2＋b2<1”是“ab＋1>a＋b”的(　　)‎ A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎10．在△ABC中，设p：＝＝；q：△ABC是正三角形，那么p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】若p成立，即＝＝，由正弦定理，‎ 可得＝＝＝k.‎ ‎∴∴a＝b＝c.‎ 则q：△ABC是正三角形，成立．‎ 反之，若a＝b＝c，则∠A＝∠B＝∠C＝60°，‎ 则＝＝.‎ 因此p⇒q且q⇒p，即p是q的充要条件．故选C. ‎ ‎11．以下四个命题中，真命题的个数是(　　)‎ ‎①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题．‎ ‎②存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lga＋lgb.‎ ‎③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”．‎ ‎④在△ABC中，∠A<∠B是sinA0)，命题q：实数m满足方程＋＝1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．‎ ‎【答案】[，]‎ ‎【解析】由a>0，m2－7am＋12a2<0，得3a0.‎ 由＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2－m>m－1>0，‎ 解得1

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