专题02+平面向量与复数（仿真押题）-2018年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

专题02+平面向量与复数（仿真押题）-2018年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

1．已知向量 a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】由题意得 a＋b＝(2,2＋m)，由 a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，解得 m＝－6，则 m＝－6 时，a＝ (－1,2)，a＋b＝(2，－4)，所以 a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选 A. 【答案】A 2．在梯形 ABCD 中，AD∥BC，已知 AD＝4，BC＝6，若CD → ＝mBA → ＋nBC → (m，n∈R)，则m n ＝( ) A．－3 B．－1 3 C.1 3 D．3 【答案】A 3．(2017·湖南湘中名校联考)已知向量 a＝(x， 3)，b＝(x，－ 3)，若(2a＋b)⊥b，则|a|＝( ) A．1 B. 2 C. 3 D．2 【解析】因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0，即(3x， 3)·(x，－ 3)＝3x2－3＝0，解得 x＝±1，所以 a＝(±1， 3)，|a|＝ ± 1 2＋ 3 2＝2，故选 D. 【答案】D 4．已知向量 a＝(m,1)，b＝(m，－1)，且|a＋b|＝|a－b|，则|a|＝( ) A．1 B. 6 2 C. 2 D．4 【解析】∵a＝(m,1)，b＝(m，－1)，∴a＋b＝(2m,0)，a－b＝ (0,2)，又|a＋b|＝|a－b|，∴|2m|＝2，∴m＝±1， ∴|a|＝ m2＋12＝ 2.故选 C. 【答案】C 5．已知 A(－1，cosθ)，B(sinθ，1)，若|OA → ＋OB → |＝|OA → －OB → |(O 为坐标原点)，则锐角θ＝( ) A.π 3 B.π 6 C.π 4 D. π 12 【答案】C 6．在 △ ABC 中，AB＝AC＝3，∠BAC＝30°，CD 是边 AB 上的高，则CD → ·CB → ＝( ) A．－9 4 B.9 4 C.27 4 D．－27 4 【解析】依题意得|CD → |＝3 2 ，CD → ·AB → ＝0，CD → ·CB → ＝CD → ·(CA → ＋AB → )＝CD → ·CA → ＋CD → ·AB → ＝CD → ·CA → ＝|CA → |·|CD → |·cos60° ＝3×3 2×1 2 ＝9 4 ，故选 B. 【答案】B 7．已知平面向量 a，b 的夹角为π 3 ，则|a|＝1，|b|＝1 2 ，则 a＋2b 与 b 的夹角是( ) A.π 6 B.5π 6 C.π 4 D.3π 4 【解析】法一 因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1×1 2×cosπ 3 ＝3，所以|a＋2b|＝ 3，又(a＋2b)·b＝a·b ＋2|b|2＝1×1 2×cosπ 3 ＋2×1 4 ＝1 4 ＋1 2 ＝3 4 ，所以 cos〈a＋2b，b〉＝ a＋2b· b |a＋2b||b| ＝ 3 4 3×1 2 ＝ 3 2 ，所以 a＋2b 与 b 的 夹角为π 6.故选 A. 法 二 设 a ＝ ( 1,0) ， b ＝ 1 2cosπ 3 ，1 2sinπ 3 ＝ 1 4 ， 3 4 ， 则 (a ＋ 2b)·b ＝ 3 2 ， 3 2 · 1 4 ， 3 4 ＝ 3 4 ， |a ＋ 2b| ＝ 3 2 2＋ 3 2 2＝ 3，所以 cos〈a＋2b，b〉＝ a＋2b· b |a＋2b||b| ＝ 3 4 3×1 2 ＝ 3 2 ，所以 a＋2b 与 b 的夹角为π 6 ，故选 A. 【答案】A 8．若 O 为 △ ABC 所在平面内任一点，且满足(OB → －OC → )·(OB → ＋OC → －2OA → )＝0，则 △ ABC 的形状为( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 9． △ ABC 是边长为 2 的等边三角形，向量 a，b 满足 AB＝2a，AC →＝2a＋b，则向量 a，b 的夹角为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 【解析】设向量 a，b 的夹角为θ，BC → ＝AC → －AB → ＝2a＋b－2a＝b，∴|BC → |＝|b|＝2，|AB → |＝2|a|＝2，∴|a|＝1， AC → 2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝8＋8cosθ＝4，∴cosθ＝－1 2 ，θ＝120°. 【答案】C 10．称 d(a，b)＝|a－b|为两个向量 a，b 间的“距离”．若向量 a，b 满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的 t∈R， 恒有 d(a，tb)≥d(a，b)，则( ) A．a⊥b B．b⊥(a－b) C．a⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b) 【解析】由于 d(a，b)＝|a－b|，因此对任意的 t∈R，恒有 d(a，tb)≥d(a，b)，即|a－tb|≥|a－b|，即(a－tb)2≥(a －b)2，t2－2ta·b＋(2a·b－1)≥0 对任意的 t∈R 都成立，因此有(－2a·b)2－4(2a·b－1)≤0，即(a·b－1)2≤0，得 a·b －1＝0，故 a·b－b2＝b·(a－b)＝0，故 b⊥(a－b)． 【答案】B 11．在等腰直角 △ ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与 A，C 重合)为 AC 边上的两个动点，且满 足|MN → |＝ 2，则BM → ·BN → 的取值范围为( ) A. 3 2 ，2 B. 3 2 ，2 C. 3 2 ，2 D. 3 2 ，＋∞ 【答案】C 12．已知 e1，e2 是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且 mn≠0，若 a∥b，则m n 等于( ) A．－1 2 B.1 2 C．－2 D．2 【解析】∵a∥b，∴a＝λb，即 me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则 λn＝m －λ＝2 ，故m n ＝－2. 【答案】C 13.如图，在等腰直角三角形 ABO 中，OA＝OB＝1，C 为 AB 上靠近点 A 的四等分点，过点 C 作 AB 的垂线 l，P 为垂线上任一点，则OP→ ·(OB→ －OA→ )＝( ) A．－1 2 B.1 2 C．－3 2 D.3 2 【答案】A 14．设向量 a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若 a⊥b，则 tan α－π 4 ＝( ) A．－1 3 B.1 3 C．－1 D．0 【解析】由已知可得，a·b＝2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，tan α－π 4 ＝tan α－1 1＋tan α ＝1 3 ，故选 B. 【答案】B 15.如图，在半径为 1，圆心角为 90°的直角扇形 OAB 中，Q 为 AB 上一点，点 P 在扇形内(含边界)，且OP→ ＝ tOA→ ＋(1－t)·OB→ (0≤t≤1)，则OP→ ·OQ→ 的最大值为( ) A.1 2 B. 2 2 C.3 4 D．1 【解析】解法一 ∵OP→ ＝tOA→ ＋(1－t)OB→ ，∴B，P，A 三点共线，且BP→＝tBA→，又 0≤t≤1，∴P 在线段 BA 上 运动，∵Q 为 AB 上一点，设∠POQ＝θ，∴OP→ ·OQ→ ＝|OP→ |·|OQ→ |·cos θ≤1×1×1＝1，即当 P，Q 两点重合且位 于点 A 或点 B 处时，OP→ ·OQ→ 取得最大值 1，故选 D. 解法二 特殊位置法，取 t＝1，得点 P 与点 A 重合，又取点 Q 与点 A 重合，∴OP→ ·OQ→ ＝OA→ 2＝1，对比选项 A，B，C 的值都比 1 小，故选 D. 【答案】D 16．设复数 z 满足z－i z＋i ＝i(i 为虚数单位)，则 z2 016＝( ) A．21 008 B．21 008i C．－21 008 D．－21 008i 【解析】由z－i z＋1 ＝i 得 z－i＝zi＋i，z＝ 2i 1－i ＝ 2i 1＋i 1－i 1＋i ＝－1＋i，则 z2＝(－1＋i)2＝－2i，从而 z2 016 ＝(z2)1 008＝(－2i)1 008＝21 008×i1 008＝21 008×(i4)252＝21 008.故选 A. 【答案】A 17．如图在复平面内，复数 z1，z2 对应的向量分别是OA  、OB  ，则复数 1 2 z z 的值是（ ） A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i 【答案】A 18．设复数 iiz 510)2(  （i 为虚数单位），则 z 的共轭复数 z 为（ ） A． i43 B． i43 C． i43 D． i43 【答案】C 【解析】因为 10 5 10 5 2 3 42 2 2 i i iz ii i i          ，所以 3 4z i  . 19．复数 z 满足 1+ ) | 3 |i z i （ ，则 =z （ ） A．1+i B．1 i C． 1 i  D． 1+i 【答案】A. 【解析】由题意得， 2 11z ii    ，∴ 1z i  ，故选 A． 20.函数 y＝tan π 4x－π 2 的部分图象如图所示，则(OA→ ＋OB→ )·AB→＝( ) A.4 B.6 C.1 D.2 【解析】由条件可得 B(3，1)，A(2，0)， ∴(OA→ ＋OB→ )·AB→＝(OA→ ＋OB→ )·(OB→ －OA→ )＝OB→ 2－OA→ 2＝10－4＝6. 【答案】B 21.已知 a，b 均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－3 3 2 ，则向量 a，b 的夹角为( ) A.π 6 B.π 4 C.3π 4 D.5π 6 【解析】因为 a，b 均为单位向量，所以(2a＋b)·(a－2b)＝2－2－3a·b＝－3 3 2 ，解得 a·b＝ 3 2 ，所以 cos〈a， b〉＝ a·b |a||b| ＝ 3 2 ，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝π 6. 【答案】A 22.已知两个非零向量 a，b 的夹角为 60°，且|a|＝|b|＝3，c＝ta＋(1－t)b，若 b⊥c，则 t＝________. 【答案】2 23. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，且 AC＝BC＝3，点 M 满足BM→ ＝2MA→ ，则CM→ ·CB→＝________. 【解析】法一 如图，建立平面直角坐标系. 【答案】3 24.已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，若动点 P 满足OP→ ＝OA→ ＋λ AB→ |AB→|cos B ＋ AC→ |AC→|cos C ，λ∈(0，＋∞)， 则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填重心、垂心、内心或外心). 【解析】由条件，得AP→＝λ AB→ |AB→|cos B ＋ AC→ |AC→|cos C ， 从而AP→·BC→＝λ AB→·BC→ |AB→|cos B ＋ AC→·BC→ |AC→|cos C ＝λ |AB→||BC→|cos（180°－B） |AB→|cos B ＋|AC→|·|BC→|cos C |AC→|cos C ＝λ(－|BC→|＋|BC→|)＝0，得AP→⊥BC→，则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心. 【答案】垂心 25.已知向量 a＝ cos 3x 2 ，sin 3x 2 ，b＝ cos x 2 ，－sin x 2 ，且 x∈ 0，π 2 . (1)求 a·b 及|a＋b|； (2)若 f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－3 2 ，求λ的值. 26．设复数 z=a+i（i 是虚数单位，a∈R，a＞0），且|z|= ． （Ⅰ）求复数 z； （Ⅱ）在复平面内，若复数 + （m∈R）对应的点在第四象限，求实数 m 取值范围． 【答案】（Ⅰ）3 i ；（Ⅱ） 5 1m   . 【解析】（Ⅰ） , 10z a i z   ， 2 1 10z a    ，即 2 9a  ，解得 3a   ，又 0a  ， 3a  ， 3z i   ； （Ⅱ） 3 ,z i  则 3z i  ，       1 5 131 1 1 2 2 m i im i m mz i ii i i             ， 又复数  1 m iz M Ri   对应的点在第四象限， 5 02 1 02 m m     得 5 1 m m     ， 5 1m   . 27．已知平面上三个向量 , ,a b c   ，其中 (1,2)a  ． （1）若 3 5c  ，且 //a c  ，求 c 的坐标； （2）若 3 5b  ，且 (4 ) (2 )a b a b      ，求 a 与b 夹角 的余弦值． 【答案】（1） (3,6),( 3, 6)c    ；（2） 1cos 6   28．已知椭圆 的离心率为 ，直线 l：y=x+2 与以原点 O 为圆心，椭圆的短轴 长为直径的圆 O 相切． （1）求椭圆 C 的方程； （2）求椭圆 C 与直线 y=kx（k＞0）在第一象限的交点为 A． ①设 ，且 OA OB= 6  ，求 k 的值； ②若 A 与 D 关于 x 的轴对称，求△AOD 的面积的最大值． 【答案】（1） （2）① 2 ② 6 2 【解析】 解：（1）由题设可知，圆 O 的方程为 x2+y2=b2， 因为直线 l：x﹣y+2=0 与圆 O 相切，故有 ， 所以 ． 因为 ，所以有 a2=3c2=3（a2﹣b2），即 a2=3． 所以椭圆 C 的方程为 ． 29．(1)向量 a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且 a⊥c，b∥c，求|a＋b|和 a＋b 与 c 的夹角； (2)设 O 为△ABC 的外心，已知 AB＝3，AC＝4，非零实数 x，y 满足AO→ ＝xAB→＋yAC→，且 x＋2y＝1，求 cos ∠BAC 的值． 【解析】(1)∵a⊥c，∴2x－4＝0，x＝2， ∵b∥c，∴－4－2y＝0，y＝－2. ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)， ∴|a＋b|＝ 32＋ －1 2＝ 10. 设 a＋b 与 c 的夹角为θ，则 cos θ＝ a＋b· c |a＋b|·|c| ＝3×2＋ －1× －4 10× 20 ＝ 2 2 . ∵0≤θ≤π，∴θ＝π 4 ，即 a＋b 与 c 的夹角为π 4. (2)设 AC 的中点为 D，连接 OD(图略)， ∵AO→ ＝xAB→＋yAC→＝xAB→＋2yAD→ ， 又 x＋2y＝1，∴O，B，D 三点共线． 由 O 为△ABC 外心，知 OD⊥AC，BD⊥AC， 在 Rt△ADB 中，AB＝3，AD＝1 2AC＝2，所以 cos ∠BAC＝AD AB ＝2 3. 30．已知向量 a＝(1， 3sin ωx)，b＝(cos2 ωx－1，cos ωx)(ω>0)，设函数 f(x)＝a·b 的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)求函数 f(x)在 0，2π 3 上的单调区间． 20．已知△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，向量 m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)， 且 m⊥n. (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝ 3，求 a＋c 的取值范围． (2)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－ a＋c 2 2＝3 4(a＋c)2，当且仅 当 a＝c 时取等号， ∴(a＋c)2≤4，∴a＋c≤2， 又 a＋c>b＝ 3，∴a＋c∈( 3，2]．