数学理·【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2017届高三上学期第12次周测理数试题解析（解析版）Word版含解斩

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全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.设集合，集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 考点：1、集合的表示；2、集合的交集及补集.‎ ‎2.已知是虚数单位，复数，则复数的虚部是（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：复数,复数,则复数的虚部: ,故选C. ‎ 考点：1、复数代数形式的乘除运算；2、复数的基本慨念.‎ ‎3.已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足 ‎，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，所以在上单调递减，,解得,故选C. ‎ 考点：1、函数的奇偶性；2、函数单调性的性质.‎ ‎4.函数的图像大致是（ ）‎ ‎【答案】C 考点：1、函数的图象与性质；2、选择题排除法的应用.1‎ ‎5.执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内的正整数的值为（ ）‎ A．7 B．6,7 C．6,7,8 D．8,9‎ ‎【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：模拟执行程序可得,,执行循环体,,不满足条件,执行循环体,；不满足条件,执行循环体,；不满足条件,执行循环体,.此时,应该满足条件,退出循环,输出的值为,所以，判断框内的值满足条件:,则判断框内的正整数的所有可能的值为,故选B. ‎ 考点 1、程序框图；2、循环结构.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎6.向量,满足，且，则，的夹角的余弦值为（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎ 考点：1、向量的运算；2、平面向量的数量积公式.‎ ‎7. 已知等差数列，为数列的前项和，若（），记数列 的前项和为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由等差数列的前项和的性质及其,可得,解得,‎ ‎，故选D. ‎ 考点：1、等差数列的前项和公式；2、裂项相消法求和的应用.‎ ‎8.不透明的袋子内装有相同的5个小球，分别标有1-5五个编号，现有放回的随机摸取三次，则 摸出的三个小球的编号乘积能被10整除的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考点：1、分步相乘计数原理的应用；2、古典概型概率公式.1‎ ‎9.某几何体的三视图如下图所示，且该几何体的体积为，则正视图中的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图可知,几何体一个底面是边长为,一个角是的菱形, 高为的直四棱柱被截去一半得到的几何体,那么，故选D. ‎ 考点：1、几何体的三视图；2、棱柱的体积公式.‎ ‎10.已知函数（），若且在上有且仅有三个零点，‎ 则（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】D 考点：1、函数的零点；2、简单的三角方程.1‎ ‎11.已知点、是双曲线：（，）的左、右焦点，为坐标原点，‎ 点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围 为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为 ，又因为，，‎ ‎，，，故选C. ‎ 考点：1、椭圆的几何性质；2、椭圆的定义及离心率.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的几何性质、椭圆的定义及离心率，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用勾股定理及椭圆的几何性质结合构造出关于的不等式，最后解出的范围的.‎ ‎12.已知定义在内的函数满足，当时，‎ 则当时，方程的不等实数根的个数是（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】C ‎ ‎ 考点：1、分段函数的解析式与图象；2、方程根与函数图象交点之间的关系.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式与图象、方程根与函数图象交点之间的关系，属于难题.判断方程实根的个数的常用方法：(1)转化法：函数零点个数就是则方程实根的个数；(2)零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，本题的解答就利用了方(3).‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.已知，满足约束条件若恒成立，则实数的取值范围 为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.‎ ‎14.设函数且，则当时，的导函数的 极小值为 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：当时，，当时， ，由得时，，设，‎ ‎，在上递减，在上递增，所以的极小值为，故答案为. ‎ 考点：1、利用导数研究函数的单调性及极值；2、分段函数的解析式.‎ ‎15.已知点、分别是椭圆：（）的上顶点和左焦点，若于圆：‎ 相切于点，且点是线段靠近点的三等分点，则椭圆 的标准方程为 ．‎ ‎【答案】‎ 考点：1、椭圆的简单性质；2、椭圆的标准方程.‎ ‎【方法点睛】本题考查了椭圆的概念标准方程与几何性质以及直线与圆的位置关系，意在考查学生理解力、分析判能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力；椭圆一直是考查解析几何知识的重要载体，不管对其如何进行改编与设计，抓住基础知识、考基本技能是不变的话题. 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于的方程组（一定要注意运用这一等量关系），解出，从而写出椭圆的标准方程.‎ ‎16.若数列满足，则称数列为“差递减”‎ 数列．若数列是“差递减”数列，且其通项与其前项和（）满足 ‎（），则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为时， ，两式相减得，是以为公比的等比数列时, 可得，, ，,,故答案为. ‎ 考点：1、数列的通项公式；2、数列的单调性及新定义问题.‎ ‎【方法点睛】本题通过新定义“差递减”主要考查数列的通项公式、数列的单调性，属于难题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题先求出数列的通项公式后，再根据“差递减”数列满足性质，进而得到解得实数的取值范围的.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知向量，，函数．【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎（1）若，，求的值；‎ ‎（2）在△中，角，，的对边分别是，，，且满足，求角的取 值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 弦定理及两角和的正弦公式将化为 ，可得.‎ 试题解析：（1）‎ ‎．‎ ‎∵，∴，又，∴，∴．‎ ‎∴．‎ ‎（2）由得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，∴.‎ 考点：1、平面向量的数量积公式；2、正弦定理及两角和的正弦公式.‎ ‎18.已知五边形由直角梯形与直角△构成，如图1所示，，‎ ‎，，且，将梯形沿着折起，形成如图2所示 的几何体，且使平面平面．‎ ‎（1）在线段上存在点，且，证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的平面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ 标系.求出平面的一个法向量，又知平面的一个法向量为，根据空间向量夹角余弦公式可求得面角的平面角的余弦值.‎ 试题解析：（1）过点作平行交于点，‎ ‎∵，∴，‎ 由题意知，，‎ ‎∴，∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴，又平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ 设是平面的一个法向量，‎ 则 令，得．‎ 易证平面，知平面的一个法向量为，‎ 设二面角的平面角为，则．‎ 易判断二面角为钝二面角，‎ ‎∴二面角的平面角的余弦值为．‎ 考点：1、直线与平面平行的判定；2、空间向量夹角余弦公式.‎ ‎19.在一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下定义域为的函数：‎ ‎，，，，，‎ ‎．‎ ‎（1）现在从盒子中任意取两张卡片，记事件为“这两张卡片上函数相加，所得新函数是奇函数”，求事 件的概率；‎ ‎（2）从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是偶函数则停止抽取，否则继续进行，记停 止时抽取次数为，写出的分布列，并求其数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，.‎ 试题解析：（1）由题意得，是奇函数，，，为偶函数，为非奇非偶函数，所以．‎ ‎（2）由题意可知，的所有可能取值为1,2,3,4，‎ ‎，，，，‎ 所以的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 所以．‎ 考点：1、古典概型概率公式；2、离散型随机变量的分布列、期望与方差.‎ ‎20.已知椭圆：的左焦点为，为椭圆上一点，交轴于 点，且为的中点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线与椭圆有且只有一个公共点，平行于的直线交于，交椭圆 于不同的亮点，，‎ 问是否存在常熟，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在常数.‎ ‎，根据弦长公式可得且 ，进而得.‎ 试题解析：（1）设椭圆的右焦点是，在△中，，∴，‎ ‎∴，∴，，∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）设直线的方程为，解方程组 消去得到，‎ 若，，则，，其中，‎ ‎，‎ 又直线的方程为，直线的方程为，‎ ‎∴点坐标，，‎ ‎∴，，‎ 所以存在常数，使得．‎ 考点：1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、韦达定理及弦长公式以及解析几何中的存在性问题.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、韦达定理及弦长公式以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.‎ ‎21.已知函数．【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎（1）若，求证：；‎ ‎（2）若，，求的最大值；‎ ‎（3）求证：当时，．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.‎ 进而的其最大值也就是的最大值；（3）化简，先根据配方法证明，在利用放缩法可证.‎ 试题解析：（1）证明：设，则，‎ 当时，，函数递减；当时，，函数递增，‎ 所以当时，，‎ ‎∵，∴，∴．‎ ‎（2）解：由，得或（由（1）知不成立舍去），‎ 即．‎ ‎（3）证明：‎ ‎ ‎ ‎．‎ 当时，，∴，‎ 故，等号若成立，则即，由（1）知不成立，故等号不成立，‎ 从而．‎ 考点：1、利用导数研究函数的单调性进一步求最值；2、利用导数证明不等式.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数转化为不等式恒成立问题证明. ‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 解答时请写清题号.‎ ‎22.选修4-1：几何证明选讲 如图，已知为圆的直径，，是圆上的两个点，是劣弧的中点，⊥于，‎ 交于，交于．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ 试题解析：（1）∵是劣弧的中点，∴．‎ 在与中，，‎ ‎∴，又，所以，‎ 从而，在△中，．‎ ‎（2）在与中，，‎ 因此，，由此可得，即．‎ 考点：1、相似三角形的判定及性质；2、等腰三角形及圆的性质.1‎ ‎23.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程式（是参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，且取相同 的长度单位建立极坐标系，圆的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于、两点，若点的直角坐标为，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：（1）直线消去参数，得，‎ 即直线的普通方程为．‎ 由，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆的直角坐标方程为．‎ ‎（2）点在直线上，且在圆内，‎ 把代入，‎ 得，‎ 设两个实根为，，则、两点所对应的参数为，，‎ 则，，‎ ‎∴．‎ 考点：1、简单曲线的极坐标方程；2、直线的参数方程.‎ ‎24.选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若方程有三个不同的解，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：（1）时，‎ ‎∴当时，不合题意；‎ 当时，，解得；‎ 当时，符合题意．‎ 综上，的解集为．‎ ‎（2）设，的图象和的图象如图，【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 易知的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与的图象始终有3个交点，从而．‎ 考点：1、绝对值不等式的解法；2、根的存在性及根的个数判断.‎