天津市武清区杨村一中2020届高三下学期开学考数学试题

天津市武清区杨村一中2020届高三下学期开学考数学试题

天津市武清区杨村一中2020届高三第二学期网上测试 数学试卷 一、选择题(本大题共9个小题，每小题5分，共45分)‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别解出两个集合，注意集合中元素全为整数，然后求出交集.‎ ‎【详解】解，即，所以，‎ 解，所以 所以 故选：D ‎【点睛】此题考查解一元二次不等式和指数不等式，易错点在于漏掉集合中的限制条件.‎ ‎2.已知命题：，，则为( )‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.‎ ‎【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题：，，‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.‎ ‎3.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简函数，然后根据三角函数图象变换的知识选出答案.‎ ‎【详解】依题意，故只需将函数图象向左平移个单位.所以选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.‎ ‎4.已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列且，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可得：，‎ ‎，则：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎5.设在内单调递增，，则是（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将命题中函数单增转化为在上恒成立，求出参数 取值范围，即可求解 ‎【详解】对函数求导可得，，‎ ‎∵在内单调递增，则在上恒成立．即恒成立，从而，∴，‎ 又，显然是的必要不充分条件 故选B ‎【点睛】本题考查命题必要不充分条件判断，考查了利用导数研究函数单调性的方法，属于基础题 ‎6.已知函数，设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断的奇偶性，再证明单调性，判断出对应自变量的大小关系，利用单调性比，即可得出答案.‎ ‎【详解】∵，∴‎ ‎，∴，∴，‎ ‎∴函数是奇函数，∴当时，易得 为增函数，‎ 故在上单调递增，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，∴.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性，单调性及单调性的应用，困难在于要想到证明函数奇偶性，属于中档题.‎ ‎7.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 该题属于有限制条件的排列问题，在解题的过程中，需要分情况讨论，因为“数”必须排在前三节，这个就是不动的，就剩下了五个不同的元素，所以需要对“数”的位置分三种情况，对于相邻元素应用捆绑法来解决即可.‎ ‎【详解】当“数”排在第一节时有排法；‎ 当“数”排在第二节时有种排法；‎ 当“数”排在第三节时，当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有种排法，当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有种排法，‎ 所以满足条件的共有种排法，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】在解决问题时一是注意对“数”的位置分三种情况，二是在“数”排在第三节时，要对两个相邻元素的位置分类讨论，再者还要注意“数”排在第二节时，两个相邻元只能排在后四节.‎ ‎8.的内角，，的对边为，，，若，且的面积为，则的最大值为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理，以及题中三角形的面积，得到，求出，再由，结合基本不等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】由余弦定理可得：，又，‎ ‎，因此，故.‎ 所以，‎ 即 ‎，即，当且仅当时，等号成立，故的最大值为4. ‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查解三角形，以及基本不等式求最值，熟记余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.‎ ‎9.已知函数为上的偶函数，当时，函数，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数的图像，设，从而可化条件为方程 有两个根，利用数形结合可得，，根据韦达定理即可求出实数a的取值范围.‎ ‎【详解】由题意，作出函数的图像如下，‎ 由图像可得， ‎ 关于的方程有且仅有6个不同的实数根，‎ 设，‎ 有两个根，不妨设为；‎ 且， ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.‎ 二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)‎ ‎10.已知复数：z满足（i为虚数单位），则z的虚部为________；‎ ‎【答案】-1；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的值再判断即可.‎ ‎【详解】,故的虚部为 故答案：‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与虚部的定义,属于基础题型.‎ ‎11.若a0+ a1x+…+a2019x2019（x∈R），则++…+的值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：令等式中得；再令,则,所以,故应填.‎ 考点：二项式定理与赋值法的综合运用．‎ ‎12.已知四棱锥P﹣ABCD满足PA＝PB＝PC＝PD＝AB＝2，且底面ABCD为正方形，则该四棱锥的外接球的体积为_____．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出四棱锥的外接球半径，由球的体积公式： 即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由已知，四棱锥为正四棱锥，设外接球半径为，‎ 作底面 ‎ ‎，‎ ‎ ‎ 同理可得 ‎ 所以 ‎ 所以外接球的体积为，‎ 故答案为： ‎ ‎【点睛】本题主要考查立体几何的内切外接问题，解此题的关键找到外接球的球心和半径，同时要熟记球的体积公式，属于中档题.‎ ‎13.已知实数x，y满足，，且，则的最小值为________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 变形，则，利用基本不等式，建立关于的一元二次不等式，求解即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 当且仅当时，取等号.‎ 上式可化为，‎ 解得，‎ 所以的最小值为3.‎ 故答案为：3‎ ‎【点睛】本题主要考查了均值不等式，一元二次不等式，考查了变形推理运算能力，属于难题.‎ ‎14.已知抛物线的焦点为，点 是抛物线上一点，以为圆心的圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为 ，若，则_______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得出关于、的方程组，求出和的值，利用抛物线的定义可求得.‎ ‎【详解】由题意，在抛物线上，则，则，①‎ 由抛物线的性质可知，，‎ 则，‎ 被直线截得的弦长为，则，‎ 由，在中，，‎ 即，代入整理得，②‎ 由①②，解得，，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线焦半径的计算，涉及抛物线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎15.已知函数，若集合只含有3个元素，则实数的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，由，可得，再根据只有3个解可得，即可得解.‎ ‎【详解】由题意，‎ ‎，，‎ 又集合只含有3个元素，且，‎ ‎，解得，‎ 实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数图象和性质的应用以及辅助角公式的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.‎ 三、解答题：(本大题共5个小题，共75分)‎ ‎16.已知函数－‎ ‎（1）求的最小正周期及其对称中心；‎ ‎（2）如果三角形ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对角为x，试求x的范围及此时函数的值域．‎ ‎【答案】（1）；对称中心；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）首先利用三角函数的二倍角公式及两角和与差的三角函数公式将函数化成只含一个角的三角函数，从而利用三角函数的性质求的最小正周期及其对称中心；‎ ‎（2）先利用余弦定理求出的范围，再由余弦函数的单调性求出的范围，最后利用（1）的结果求出函数的值域．‎ 试题解析：解：（1）‎ ‎=．‎ 的最小正周期为 ‎ 的对称中心为． ‎ ‎（2）． ‎ 又 ‎ 而 由，得 ‎．‎ 考点：1、三角函数的恒等变形；2、三角函数的图象及性质；3、余弦定理．‎ ‎17.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且．‎ ‎（1）求证：平面;‎ ‎（2）求二面角的正弦值;‎ ‎（3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由面面垂直的性质可得直线平面，建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，求出平面的一个法向量，直线的方向向量，由即可得证；‎ ‎（2）求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用，再利用同角三角函数的平方关系即可得解；‎ ‎（3）设，由题意即，解出后即可得解.‎ ‎【详解】（1）证明：平面平面，平面平面，平面，，‎ 直线平面，‎ 由题意，以点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，‎ 依题意易得是平面的一个法向量，‎ 又，，‎ 又直线平面，平面；‎ ‎（2），，，‎ 设为平面的一个法向量，‎ 则，即，令可得，‎ 设为平面的一个法向量，‎ 则，即，令 可得，‎ ‎，二面角的正弦值为；‎ ‎（3）设，则，又，‎ ‎，即，‎ ‎，解得或（舍去）．‎ 故所求线段的长为．‎ ‎【点睛】本题考查了利用空间向量证明线面平行、求解二面角、表示异面直线所成的角，属于中档题.‎ ‎18.各项均为正数的数列的前n项和为，且满足．各项均为正数的等比数列满足．‎ ‎（1）求证为等差数列并求数列、的通项公式；‎ ‎（2）若,数列的前n项和．‎ ‎①求；‎ ‎②若对任意,均有恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）,（2）①; ②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用已知条件转化求解数列是等差数列,求解首项公差,利用等比数列求数列的首项和公比．‎ ‎(2)①化简,利用错位相减法求解数列的前n项和．‎ ‎②转化求出m与n的不等式,利用最值求解m的范围即可．‎ ‎【详解】(1)∵,∴.‎ ‎∴,‎ ‎∴,又各项为正,‎ ‎∴,‎ ‎∴开始成等差,‎ 又, ∴,‎ ‎∴ ∴为公差为3的等差数列,‎ ‎∴,,‎ ‎∴．‎ ‎(2),‎ ‎①,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎​∴．‎ ‎②恒成立,‎ ‎∴,‎ 即恒成立,‎ 设,‎ ‎,‎ 当时,;‎ 当时,‎ ‎∴,‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用,数列通项公式的求法,数列求和,以及数列与不等式的关系,考查函数思想的应用,属于中档题.‎ ‎19.已知椭圆:的离心率为，左、右焦点分别为，点在椭圆上，的周长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线l经过点，且与椭圆交于不同的两点，若（为坐标原点）成等比数列，判断直线的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）直线的斜率为定值，该定值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线的方程为，设，，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，再由，求得k的值，即可得到结论．‎ ‎【详解】（1）由题意，得，解得，故椭圆的方程为． ‎ ‎（2）由题意，可设直线的斜率为，则直线的方程为，设，．‎ 联立方程，得，‎ 消去，整理得，‎ 由根与系数关系，得，‎ 由，得， ‎ 因为成等比数列，所以，‎ 所以，即，‎ 即，‎ 所以，‎ 整理得，所以，‎ 因为，所以，‎ 故直线的斜率为定值，该定值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．‎ ‎20.已知函数，‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）当，讨论的零点个数；‎ ‎【答案】（1）单调递减区间为：，；单调递增区间为：，；（2）当时，在上有2个零点，当时，在上无零点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先判断为偶函数，再利用导数研究上的单调性，根据偶函数的对称性，得到答案.（2）先求出导函数，然后对按照，，进行分类讨论，当，得到在单调递增，结合，判断出此时无零点，当，得到单调性，结合，的值，以及偶函数的性质，得到零点个数.‎ ‎【详解】解：∵∴为偶函数，‎ 只需先研究 当，，当，，‎ 所以在单调递增，在，单调递减 所以根据偶函数图像关于轴对称，‎ 得在单调递增，在单调递减，‎ ‎.故单调递减区间为：，；单调递增区间为：，‎ ‎（2）‎ ‎①时，在恒成立 ‎∴在单调递增 又，所以在上无零点 ‎②时，，‎ 使得，即.‎ 又在单调递减，‎ 所以，，，‎ 所以，单调递增，，单调递减，‎ 又，‎ ‎（i），即时 在上无零点，‎ 又为偶函数，所以在上无零点 ‎（ii），即 在上有1个零点，‎ 又为偶函数，所以在上有2个零点 综上所述，当时，在上有2个零点，当时，在上无零点.‎ ‎【点睛】本题考查偶函数的性质，利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数的零点个数问题，涉及分类讨论的思想，属于中档题.‎