全国高考文科数学立体几何综合题型汇总

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全国高考文科数学立体几何综合题型汇总

新课标立体几何常考证明题汇总 ‎1、已知四边形是空间四边形,分别是边的中点 (1) 求证:EFGH是平行四边形 A H G F E D C B (2) 若BD=,AC=2,EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。‎ 证明:在中,∵分别是的中点∴‎ 同理,∴∴四边形是平行四边形。‎ ‎(2) 90° 30 °‎ 考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角 ‎2、如图,已知空间四边形中,,是的中点。‎ 求证:(1)平面CDE;‎ A E D B C ‎(2)平面平面。 ‎ 证明:(1)‎ 同理,‎ 又∵ ∴平面 ‎(2)由(1)有平面 又∵平面, ∴平面平面 考点:线面垂直,面面垂直的判定 A1‎ E D1‎ C1‎ B1‎ D C B A ‎3、如图,在正方体中,是的中点,‎ 求证: 平面。‎ 证明:连接交于,连接,‎ ‎∵为的中点,为的中点 ‎∴为三角形的中位线 ∴‎ 又在平面内,在平面外 ‎∴平面。 ‎ 考点:线面平行的判定 ‎4、已知中,面,,求证:面.‎ 证明:° ‎ ‎ 又面 ‎ ‎ 面 ‎ ‎ ‎ 又面 ‎ 考点:线面垂直的判定 ‎5、已知正方体,是底对角线的交点.‎ 求证:(1) C1O∥面;(2)面. ‎ 证明:(1)连结,设,连结 ‎∵ 是正方体 是平行四边形 ‎∴A1C1∥AC且 ‎ 又分别是的中点,∴O1C1∥AO且 是平行四边形 ‎ 面,面 ∴C1O∥面 ‎ ‎(2)面 ‎ 又, ‎ 同理可证, 又 面 ‎ 考点:线面平行的判定(利用平行四边形),线面垂直的判定 ‎6、正方体中,求证:(1);(2).‎ 考点:线面垂直的判定 A1‎ A B1‎ B C1‎ C D1‎ D G E F ‎7、正方体ABCD—A1B‎1C1D1中.(1)求证:平面A1BD∥平面B1D‎1C;‎ ‎ (2)若E、F分别是AA1,CC1的中点,求证:平面EB1D1∥平面FBD.‎ 证明:(1)由B1B∥DD1,得四边形BB1D1D是平行四边形,∴B1D1∥BD,‎ ‎ 又BD Ë平面B1D‎1C,B1D1平面B1D‎1C,‎ ‎ ∴BD∥平面B1D‎1C.‎ ‎ 同理A1D∥平面B1D‎1C.‎ ‎ 而A1D∩BD=D,∴平面A1BD∥平面B1CD.‎ ‎ (2)由BD∥B1D1,得BD∥平面EB1D1.取BB1中点G,∴AE∥B‎1G.‎ ‎ 从而得B1E∥AG,同理GF∥AD.∴AG∥DF.∴B1E∥DF.∴DF∥平面EB1D1.∴平面EB1D1∥平面FBD.‎ 考点:线面平行的判定(利用平行四边形)‎ ‎8、四面体中,分别为的中点,且,‎ ‎,求证:平面 ‎ 证明:取的中点,连结,∵分别为的中点,∴‎ ‎,又∴,∴在中,‎ ‎ ∴,∴,又,即,‎ ‎ ∴平面 ‎ 考点:线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形 ‎9、如图是所在平面外一点,平面,是的中点,是上的点,‎ ‎(1)求证:;(2)当,时,求的长。‎ 证明:(1)取的中点,连结,∵是的中点,‎ ‎∴,∵ 平面 ,∴ 平面 ‎ ‎∴是在平面内的射影 ,取 的中点,连结 ,∵∴,又,∴[来源:学§科§网]‎ ‎ ∴,∴,由三垂线定理得 ‎ (2)∵,∴,∴,∵平面.∴,且 ‎,∴‎ 考点:三垂线定理 ‎10、如图,在正方体中,、、分别是、、的中点.求证:平面∥平面.‎ 证明:∵、分别是、的中点,∥‎ 又平面,平面∥平面 ‎∵四边形为平行四边形,∥‎ 又平面,平面∥平面 ‎,平面∥平面 考点:线面平行的判定(利用三角形中位线)‎ ‎11、如图,在正方体中,是的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求证:平面平面.‎ 证明:(1)设,‎ ‎∵、分别是、的中点,∥‎ 又平面,平面,∥平面 ‎(2)∵平面,平面,‎ 又,,平面,平面,平面平面 考点:线面平行的判定(利用三角形中位线),面面垂直的判定 ‎12、已知是矩形,平面,,,为的中点.‎ ‎(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成的角.‎ 证明:在中,,‎ ‎∵平面,平面,‎ 又,平面 ‎(2)为与平面所成的角 在,,在中,‎ 在中,,‎ 考点:线面垂直的判定,构造直角三角形 ‎13、如图,在四棱锥中,底面是且边长为的菱形,侧面是等边三角形,且平面垂直于底面.‎ ‎(1)若为的中点,求证:平面;‎ ‎(2)求证:;‎ ‎(3)求二面角的大小.‎ 证明:(1)为等边三角形且为的中点,‎ 又平面平面,平面 ‎(2)是等边三角形且为的中点,‎ 且,,平面,‎ 平面,‎ ‎(3)由,∥,‎ 又,∥,‎ 为二面角的平面角 在中,,‎ 考点:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法)‎ ‎14、如图1,在正方体中,为 的中点,AC交BD于点O,求证:平面MBD.‎ 证明:连结MO,,∵DB⊥,DB⊥AC,, ‎ ‎∴DB⊥平面,而平面 ∴DB⊥. ‎ 设正方体棱长为,则,.‎ 在Rt△中,.∵,∴. ‎ ‎∵OM∩DB=O,∴ ⊥平面MBD.‎ 考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直 ‎15、如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,‎ 作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:AH⊥平面BCD.‎ ‎ 证明:取AB的中点F,连结CF,DF.‎ ‎ ∵,∴. ‎ ‎ ∵,∴.‎ ‎ 又,∴平面CDF.‎ ‎ ∵平面CDF,∴.‎ ‎ 又,, ‎ ‎ ∴平面ABE,.‎ ‎ ∵,,,‎ ‎∴ 平面BCD.‎ 考点:线面垂直的判定
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