2020届安徽省江淮十校高三第二次联考（11月）数学（理）试题（解析版）

2020届安徽省江淮十校高三第二次联考（11月）数学（理）试题（解析版）

‎2020届安徽省江淮十校高三第二次联考（11月）数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】化简集合，再由交并补的定义，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查集合间的运算，属于基础题.‎ ‎2．下列说法错误的是（ ）‎ A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ B．命题“，”是假命题 C．若命题、均为假命题，则命题为真命题 D．若是定义在R上的函数，则“”是“是奇函数”的必要不允分条件 ‎【答案】B ‎【解析】选项A：按照四个命题的关系，判断为正确；选项B：转化为指数幂比较大小，不等式成立，故判断错误；选项C：根据或且非的真假关系，判断为正确；选项D：根据充分必要条件判断方法，为正确.‎ ‎【详解】‎ 选项A: 命题“若，则”的 逆否命题为“若，则”，故正确；‎ 选项B: ， ，‎ 而，命题“，”‎ 为真，判断错误；‎ 选项C: 若命题、均为假命题，‎ 则命题、均为真命题，‎ 故命题为真命题，判断正确；‎ 选项D: 是定义在R上的函数，‎ 若“是奇函数”则“”正确；‎ 而“”，不一定是奇函数，‎ 如，选项D判断正确.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，涉及到四种命题的关系，全称命题的真假判定，或且非复合命题的真假关系，以及充分必要条件的判断，属于基础题.‎ ‎3．已知函数（e为自然对数的底数），若，，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先比较的大小关系，再根据单调性，比较函数值的大小，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，，，∴‎ 又在R上是单调递减函数，故.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数幂和对数值的大小关系，以及指数函数的单调性，属于中档题.‎ ‎4．已知等差数列的前n项和为，，，，则（ ）‎ A．14 B．15 C．16 D．17‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等差数列的性质，求出，再由前n项和公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴由得，∴.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列性质的灵活应用，以及等差数列的前n项和公式，属于中档题.‎ ‎5．函数的图象大致是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数的解析式，根据定义在上的奇函数图像关于原点对称可以排除，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果 ‎【详解】‎ 当时，‎ 故函数图像过原点，排除 又，令 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有符合要求 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证。‎ ‎6．已知向量，问量为单位向量，且，则与的夹角余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】记，，，，通过求三角形的内角，即可求解 ‎【详解】‎ 记，，，由，，‎ 且知，∴，‎ ‎，，∴为正三角形，‎ ‎，∴，‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的夹角，巧妙了利用向量减法的几何意义，转为为求三角形的内角，或用向量的夹角公式，属于中档题.‎ ‎7．平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O交于点，且，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据三角函数的定义，结合已知条件，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以，‎ 若，，所以不符合，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的定义应用，以及两角和差的公式运用，属于中档题.‎ ‎8．关于函数有下述四个结论：‎ ‎①在单调递增 ②的图像关于直线对称 ‎③的图像关于点对称 ④的值域为R 其中正确结论的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】等价转化为，再用复合函数的单调性判断①正确；同时根据反比例函数值域判断④为正确；计算关系，可判断②③的真假.‎ ‎【详解】‎ 的定义域是，，‎ 令 所以在单调递增，‎ 在单调递增，且值域为R 又因为，‎ 所以，‎ 所以①③④正确，②是错误的.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合函数的性质，涉及到函数的单调性、值域、对称性，属于中档题.‎ ‎9．阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值的动点的轨迹.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则面积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知条件结合余弦定理，可求出，，建立坐标系求出点所在的圆的方程，求出点到距离的最大值，即可求出结论.‎ ‎【详解】‎ 依题意，，得，‎ 即，以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴 建立直角坐标系，则，设，‎ 由，则的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为 ‎，边高的最大值为，‎ ‎∴.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查正、余弦定理解三角形，考查轨迹方程的求法，以及三角形的面积最值，属于中档题.‎ ‎10．在中，，的平分线交于D，且有.若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由B、C、D三点共线，可得的值，求出关系，再利用 是角平分线，结合面积公式，求出边长，用余弦定理求出.‎ ‎【详解】‎ 由B、C、D三点共线知，,‎ ‎，即，‎ ‎，‎ ‎，所以，由余弦定理得.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点共线的条件关系，考查角平分线的性质，以及余弦定理，属于中档题.‎ ‎11．已知函数在区间上单调，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】化简，利用单调区间，得到关于不等式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 化简得 因为在区间上单调，所以即 令 所以或或 所以的取值范围是.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，属于中档题.‎ ‎12．已知与的图像至少有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】与的图像至少有三个不同的公共点,转化为方程至少有三个不同的解，转化为，换元，得到，转化为研究的图像特征，以及一元二次方程根的分布，即可求出结论.‎ ‎【详解】‎ 方程至少有三个不等的实根 令得①‎ 冈为，所以在上单调递增，‎ 在上单调递减且的最大值，x轴是的渐近线.‎ 所以方程①的两个根，的情况是：‎ ‎（ⅰ）若且，则与的图像有四个不同的公共点 则无解 ‎（ⅱ）若且或，‎ 则与的图像有三个不同的公共点，则a无解 ‎（ⅲ）若且，则与的图像有三个不同的公共点 令 则.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查函数零点的个数与方程解的个数的关系，利用换元，结合求导方法，转化为求一元二次方程的根的分布，属于较难题.‎ 二、填空题 ‎13．曲线在点处的切线方程为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求导函数，求出，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，∴，又 故在处的切线方程为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，属于基础题.‎ ‎14．是等比数列的前n项和，，，则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据等比数列的性质，求出公比及，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为为等比数列，所以，‎ 即，∴‎ ‎∴.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的性质，以及通项公式的基本量运算，考查等比数列的前 项和，属于基础题.‎ ‎15．函数，且对任意实数x都有，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得关于对称，根据三角函数的对称关系，当时，取得最值，亦为最值，得到，求出的三角函数值，进而求出结论.‎ ‎【详解】‎ 依题意为极值点，，∴‎ ‎∴，∴.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的对称性，转化为函数的极值，利用求导的方法达到求值的目的，属于中档题.‎ ‎16．已知实数，满足，，其中e是自然对数的底数，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】把已知等式取对数，得到两个关系，抽象成一个方程的解，再根据方程的解的唯一性，得到，关系，进而求出结论.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，即，‎ 所以，均为方程的根，‎ 又因为方程的根唯一，‎ 所以.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数与方程的关系，解题的关健要把两个条件式子化为结构一致，然后构造出一个方程，考查抽象概括能力，属于难题.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）若的最小值是2，求a；‎ ‎（2）把函数图像向右平移个单位长度，得到函数图像，若时，求使成立的x的取值集合.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）化简，求出最小值，即可求解；‎ ‎（2）根据平移关系求出，再解关于三角不等式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵‎ ‎∴，∴‎ ‎（2）∵ ‎ 由知，‎ ‎∴‎ 解得， ‎ ‎∴满足的x取值的集合为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简、性质；考查三角函数的平移关系以及解三角不等式，属于中档题.‎ ‎18．已知定义在R上的偶函数和奇函数满足.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）‎ ‎【解析】（1）利用，的奇偶性，用解方程的方法求出，的解析式，即可求证结论；‎ ‎（2）分离参数a，转化为求函数的最值，可求得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意①，‎ 又为偶函数，为奇函数 ‎∴，即② ‎ ‎∴由①②得，‎ ‎∴得证；‎ ‎（2）原不等式可化为 ‎∴当时，成立，其中 ‎∴当时，‎ 当且仅当时取最小值 ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用方程的思想求函数的解析式，利用基本不等式求恒成立问题，属于中档题.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求的极值；‎ ‎（2）若在内有且仅有一个零点，求在区间上的最大值、最小值.‎ ‎【答案】（1）详见解析 （2）最大值为5，最小值为-27‎ ‎【解析】（1）求，对分类讨论，即可求出结论；‎ ‎（2）根据零点与图像的关系，求出的值，进而求出在区间上的最大值、最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 当时，，‎ ‎∴在R上是单调增函数，故无极值.‎ 当，此时，当或时，‎ 时，‎ ‎∴，‎ 当时，，当或，‎ ‎，‎ ‎∴， ‎ 综上，当时，无极值，‎ 当时，，，‎ 当时，，‎ ‎（2）若在内有且只有一个零点 由（1）知，且 即，∴∴‎ 又当时，，‎ ‎，∴，‎ 故在上的最大值为，最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三次函数的极值、最值，以及零点问题，解题的关键要熟练掌握三次函数的图像特征，属于中档题.‎ ‎20．已知数列中，，，且.‎ ‎（1）判断数列足否为等比数列，并说明理由；‎ ‎（2）若，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）是，理由见解析 （2）‎ ‎【解析】（1）对n分类讨论，化简递推公式，即可得证；‎ ‎（2）求出的通项公式，进而求出的通项公式，用裂项相消法可求出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）是等比数列 依题意知当n为偶数时， ‎ ‎∴，又 ‎∴数列为公比是3的等比数列 ‎（2）当n为奇数时，‎ 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列 ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差、等比数列的判定以及通项公式，考查裂项相消法求数列的前项和，解题的关键是对递推公式的分类讨论，属于中档题.‎ ‎21．已知钝角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中A为钝角，若 ‎，且.‎ ‎（1）求角C；‎ ‎（2）若点D满足，且，求的周长.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）由正弦定理化边为角，化切为弦，结合已知条件求出关系，利用三角形的内角和关系结合两角和的正弦公式化简，求出角，进而求出角；‎ ‎（2）由（1）结论结合余弦定理可得，利用的向量的模长关系，即可求出三边长；或再利用余弦定理再找一个关于的关系式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，∴，又，‎ ‎∴，∴ ‎ 又A为钝角，∴为锐角，‎ ‎∴即 又，∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∵，∴B为锐角，故，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，∴ ‎ ‎（2）∵，∴，又，由余弦定理知 ‎，∴，∴ ‎ 法一：∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴即 ‎∴‎ ‎∴的周长为 ‎ 法二：∵，∴，又，由余弦定理得 ‎，∴①‎ 在中，‎ ‎∴②‎ 联立①②得， ‎ 故的周长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简，求值，涉及到正弦定理、余弦定理、两角和的公式、诱导公式，考查向量的模长公式，属于中档题.‎ ‎22．已知函数 ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) ‎ ‎【解析】（1）先求导数，再讨论导函数零点，最后根据区间导函数符号确定单调性，‎ ‎（2）结合函数单调性以及零点存在定理分类讨论零点个数，即得结果 ‎【详解】‎ 解（1） ‎ ‎（ⅰ）时，当时，；当时，，‎ 所以f(x)在单调递减，在单调递增； ‎ ‎（ⅱ）时 若，则，所以f(x)在单调递增； ‎ ‚若，则，故当时，， ，；所以f(x)在单调递增，在单调递减； ‎ ƒ若，则，故当，， ，；所以f(x)在单调递增，在单调递减；‎ 综上：时，f(x)在单调递减，在单调递增；‎ 时，f(x)在单调递增；‎ 时，f(x)在单调递增，在单调递减；‎ 时，f(x)在单调递增，在单调递减；‎ ‎（2）（ⅰ）当a>0,则由（1）知f(x)在单调递减，在单调递增，‎ 又，，取b满足，且，‎ 则，所以f(x)有两个零点 ‎ ‎（ⅱ）当a=0,则，所以f(x)只有一个零点 ‎ ‎（ⅲ）当a<0,若,则由（1）知，f(x)在单调递增．又当时，，故f(x)不存在两个零点 ‚，则由（1）知，f(x)在单调递减，在单调递增，又当，f(x)<0,故f(x)不存在两个零点 综上，a的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数单调性以及函数零点，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属难题.‎