专题06+数列、不等式（第02期）-备战2018年高考数学（文）优质试卷分项版

专题06+数列、不等式（第02期）-备战2018年高考数学（文）优质试卷分项版

‎【备战2018高考高三数学全国各地优质模拟试卷分项精品】‎ 专题 数列、不等式 一、选择题 ‎1．【2018黑龙江佳木斯一中调研】等比数列中， ， ，则（ ）‎ A. 8 B. 9 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎2．【2018湖北咸宁】在公比为整数的等比数列中， ， ，则的前5项和为（ ）‎ A. 10 B. C. 11 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】， ，‎ ‎，即 解得或舍去，则 故选 ‎3．【2018湖北八校联考】已知数列满足（），将数列中的整数项按原来的顺序组成新数列，则的末位数字为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由（），可得此数列为： ， 的整数项为,∴数列的各项依次为： ，末位数字分别是，∵，故的末位数字为2，故选B．‎ 点睛：本题考查了递推式的应用、观察分析猜想归纳数列通项公式、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；由通项公式可得数列的前几项，故而可求出数列的前几项，由此可观察出数列为以4为周期的周期数列，从而可求出结果.‎ ‎4．【2018湖北八校联考】已知正项等比数列的前项和为，且,与的等差中项为，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎5．【2018湖北咸宁重点高中联考】等差数列的前项和为，若， ，则的公差为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 本题选择C选项. ‎ ‎6．【2018华大新高考联盟质检】在等比数列中，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎7．【2018河南中原名校联考】设是等比数列的前项和，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等比数列首项为，公比为， ，，则，， ，，选D. ‎ ‎8．【2018豫西南高中联考】已知正项等比数列的公比为2，若，则的最小值等于（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】正项等比数列， ，故得到， ‎ 故结果为C。‎ ‎9．【2018湖北重点高中联考】已知数列满足， ，则数列 的前40项的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛：这个题目考查的是数列的求和问题。首先数列求和选用的方法有，裂项求和，主要用于分式能够通过写成两项相减的形式从而消掉中间的项；分组求和，用于相邻两项之和是定值，或者有规律的；错位相减求和，用于一个等差一个等比乘在一起求和的数列。‎ ‎10．【2018山东德州联考】在等差数列{an}中，a1＞0，a2012+a2013＞0，a2012•a2013＜0，则使Sn＞0成立的最大自然数n是（　　）‎ A. 4025 B. 4024 C. 4023 D. 4022‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵为等差数列， ，a2012+a2013＞0，a2012•a2013＜0‎ ‎∴， ‎ ‎∴‎ ‎∵， ‎ ‎∴‎ ‎∵， ‎ ‎∴‎ ‎∴使Sn＞0成立的最大自然数n是4024，故选B.‎ ‎11．【2018湖南株洲两校联考】数列的前2017项的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 点睛：此题考查了数列求和的方法，在分式中求和，常用的方法就是裂项法；裂项求和所满足的特点是：分母能够因式分解，分解后的因式相减后是分子的常数倍，这样通常情况下可以考虑这种方法。‎ ‎12．【2018河北衡水武邑中学调研】己知数列与的前项和分别为、， ，且，若恒成立，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时，，解得或，由得，由，得，两式相减得，，，即数列是以为首项，为公差的等差数列，，，，要使恒成立，只需，即的最小值是，故选B. ‎ ‎【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；‎ ‎② ；③；‎ ‎④ ；此外，一些有关三角函数、等比数列的求和题型，也可以利用裂项相消法求解.‎ ‎13．【2018山西两校联考】等差数列的前项和为,若,则（ ）‎ A. 18 B. 27 C. 36 D. 45‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等差数列的性质， ，而，所以， ，故选B.‎ ‎14．【2018河南天一联考】已知数列满足，，其前项和为，则下列说法正确的个数为（ ）‎ ‎①数列是等差数列；②；③.‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎15．【2018贵州黔东南州联考】已知等差数列的前3项依次为，前项和为，且，则的值为（ ）‎ A. 9 B. 11 C. 10 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】由成等差数列得： ，解得，所以，所以，解得，故选C.‎ ‎16．【2018安徽五校联考】在关于的不等式的解集中至多包含个整数，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛：本题主要考查了不等式解集中整数解的存在性问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，元素与集合的关系等知识点的综合应用，试题比较基础，属于基础题，同时着重考查了分类讨论思想的应用，解答中正确求解不等式的解集是解答的关键.‎ ‎17．【2018安徽五校联考】已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 因为正项等比数列满足，所以，‎ 即，解得，‎ 因为存在两项使得，所以，‎ 整理，得，所以，‎ 所以，‎ 当且仅当时，即等号成立，故选B.‎ ‎18．【2018黑龙江齐齐哈尔八中二模】已知变量满足则的最大值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示， 代表点和可行域中的点连成的直线斜率，结合图形易知当时，斜率最大，最大值为2. ‎ 本题选择C选项.‎ ‎19．【2018衡水联考】若实数， 满足不等式组则的最大值为（ ）‎ A. 12 B. 10 C. 7 D. 1‎ ‎【答案】B 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或 边界上取得.‎ ‎20．【2018黑龙江齐齐哈尔一模】设，若恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于，则= ‎ 当2m=1-2m即m=时取等号；‎ 所以恒成立，转化为的最小值大于等于，即 ‎ 故选D ‎ ‎21．【2018北京大兴联考】若满足且有最大值，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎22．【2018黑龙江海林朝鲜中学联考】已知实数， 满足若目标函数的最小值的7倍与的最大值相等，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 二、填空题 ‎23．【2018安徽五校联考】对于数列，定义数列为数列的“倍差数列”，若的“倍差数列”的通项公式为，则数列的前项和__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得，可得，且，‎ ‎ 则，所以数列表示首项为，公差的等差数列，‎ ‎ 所以，所以，‎ ‎ 则 ‎ ‎ ，‎ ‎ 两式相减可得，‎ ‎ 解得. ‎ ‎24．【2018湖北咸宁联考】在数列中，且， ，则的通项公式为__________．‎ ‎【答案】‎ 点睛：本题主要考查了由数列的递推式求数列的通项公式，以及运用了累加法对数列进行求和，属中档题。其解题的一般方法，对于形如求数列的通项公式，常用方法就是累加法，即将个等式相加即可得出数列的通项公式。‎ ‎25．【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】观察如下规律： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，则该组数据的前项和为__________．（计算结果用带分数表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，分母为1的1个，分母为3的3个，分母为5的5个，···，‎ 所以，即，得最大的整数，‎ 此时共有1936项，还剩余81项，分母为89，‎ 所以前2017项的和为。‎ ‎26．【2018河南中原名校质检】已知数列满足， .记，则数列的前项和_______.‎ ‎【答案】‎ ‎27．【2018华大新高考联盟联考】设等差数列的前项和满足，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，‎ 所以，从而.‎ ‎28．【2018黑龙江齐齐哈尔一模】已知数列的通项公式为（表示不超过的最大整数），为数列的前项和，若存在满足，则的值为__________．‎ ‎【答案】108‎ ‎【解析】，‎ 当时， ，显然不存在；‎ 当时， ，显然不存在；‎ 当时， ，解得： k=108‎ 故答案为：108‎ ‎29．【2018安徽十大名校联考】在数列中， ， .记是数列的前项和，则的值为__________．‎ ‎【答案】130‎ ‎【解析】 由题意知，当为奇数时， ，又，所以数列中的偶数项是以为首项， 为公差的等差数列，所以；‎ 当为偶数时， ，又，所以数列中的相邻的两个奇数项之和均等于，所以，‎ 所以.‎ 点睛：本题主要考查了数列求和问题，其中解答中涉及到等差数列的判定、等差数列的前项和公式，以及数列的并项求和等知识点的综合应用，解答中根据题意，合理根据为奇数和为偶数分成两个数列求解是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.‎ ‎30．【2018河南漯河中学三模】已知等差数列的前项和为，若，则取最大值的是__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎31．【2018江西宜春六校联考】已知等差数列的公差，且， ， 成等比数列，若， 为数列的前项和，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于， ， 成等比数列，所以,即,解得所以.‎ 三、解答题 ‎32．【2018安徽五校联考】已知等比数列的所有项均为正数，首项，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，数列的前项和，若，求实数的值.‎ ‎【答案】（1） .（2）.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设数列的公比为，‎ 由条件可知成等差数列，‎ 所以，解得或，‎ 因为，所以，所以数列的通项公式为 .‎ ‎（2）由（1）知， ，‎ 因为，所以，‎ 所以，所以.‎ 点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式和数列中和的关系的应用，其中解答中涉及到等比数列中基本量的运算，以及数列和的关系求解数列的通项等知识点综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中注意数列和的关系的应用是解答的关键.‎ ‎33．【2018安徽五校联考】是等差数列的前项和，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和，求.‎ ‎【答案】(1) .（2）.‎ 试题解析：‎ 设等差数列的首项为，公差为，因为，‎ 所以，得，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）因为， ，所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎34．【2018湖南五市十校联考】已知等差数列中， .‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求证： .‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由即可求公差，进而得通项公式；‎ ‎（2）由，利用裂项求和即可得，令，由函数的图象关于点对称及其单调性可得，进而得证.‎ 试题解析：‎ ‎（2）由（1）知， ，‎ ‎∴ ，‎ 令，由函数的图象关于点对称及其单调性知，‎ ‎， ，∴，‎ ‎∴.‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎35．【2018湖北咸宁重点高中联考】已知数列中， ， .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ ‎（1）由可得，‎ 又由，∴是公差为2的等差数列，‎ 又，∴，∴.‎ ‎（2） ，‎ ‎ .‎ 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ ‎36．【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知正项等比数列的前项和为，且， .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，所以， ，故，写出通项公式；（2）错位相减法的步骤求得，由求得。‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为， ，所以或（舍去）.‎ 又，故，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（Ⅰ）知，∴，①‎ ‎∴，②‎ ‎②①得，∴.‎ ‎37．【2018辽宁鞍山一中二模】已知数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎（2）由（1）得到数列的通项公式，采用乘公比错位相减法求解数列的和.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时， ，即，解得.‎ 当时， ，‎ 即，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.‎ 所以.‎ ‎（2）因为，‎ 所以 ‎ ‎ .‎ ‎38．【2018河南中原名校联考】为数列的前项和，已知，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，记数列的前项和为，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ 试题解析：‎ ‎（1） ，‎ 两式作差得： ‎ ‎ ， 成等差数列 又当时， ． ‎ ‎（2）由可知 则 故．‎ ‎【点睛】当数列提供与之间的递推关系时，常规方法是把原式中的n替换为n+1得到另一个式子，然后两式作差，从而把与的关系转化为 与的关系，然后在求通项公式，第二步为数列求和问题，常规方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法.‎ ‎39．【2018安徽十大名校联考】已知数列满足： .‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ 试题解析:‎ ‎（1）∵，∴，∴，则数列是以1为首项，2为公比的等比数列. ‎ ‎（2）由（1）知， ，∴，∴.‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎，∴.‎ ‎40．【2018江苏常州武进区联考】已知数列中， ，前项和满足（）．‎ ‎⑴ 求数列的通项公式；‎ ‎⑵ 记，求数列的前项和；‎ ‎⑶ 是否存在整数对（其中， ）满足？若存在，求出所有的满足题意的整数对；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】(1) ;(2) ;(3) ， ， ．‎ ‎【解析】试题分析： 当时,可得（），而当时，‎ ‎（），可得到数列是首项为，公比也为的等比数列，从而可求数列的通项公式；‎ 由知，代入，对通项公式进行裂项，即可求得数列的前项和；‎ 要求出所有的满足题意的整数对，根据题目意思表达出关于的表达式，‎ 然后进行讨论。‎ 解析：⑴ 当时， 与相减，‎ 得，即（）， ‎ 在中，令可得， ，即； ‎ 故（），‎ 故数列是首项为，公比也为的等比数列，其通项公式为；‎ ‎⑵由⑴ 知， ‎ ‎， ‎ 则． ‎ ‎⑶，即，‎ 即， ‎ 若存在整数对，则必须是整数，其中只能是的因数，‎ 可得时， ； 时， ； 时， ； ‎ 综上所有的满足题意得整数对为， ， ． ‎ ‎ ‎