专题20+平面向量的数量积（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题20+平面向量的数量积（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

‎1.已知正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，F为CD的中点，则·=　(　　)‎ A.-1 B‎.0 ‎ C.1 D.2‎ ‎【答案】B.如图.以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，‎ B(2，0)，E(2，1)，F(1，2)，所以=(2，1)，=(-1，2)，所以·=-2+2=0.‎ ‎2.已知e1，e2是单位向量，m=e1+2e2，n=5e1-4e2，若m⊥n，则e1与e2的夹角为　(　　)‎ A. B. C.π D.π ‎【解析】选B.因为m⊥n，|e1|=|e2|=1，‎ 所以m·n=(e1+2e2)·(5e1-4e2)‎ ‎=5e12+6e1·e2-8e22=-3+6e1·e2=0.‎ 即e1·e2=.‎ 设e1与e2的夹角为θ，则cosθ==.‎ 因为θ∈【解析】0，π ，所以θ=.‎ ‎3.若向量a=(1，2)，b=(1，-1)，则‎2a+b与a-b的夹角等于　(　　)‎ A.- B. C. D.‎ ‎【答案】C.因为‎2a+b=(3，3)，a-b=(0，3)，‎ 设‎2a+b与a-b的夹角为α，‎ 所以cosα===.又α∈【解析】0，π ，故α=.‎ ‎4.如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB=1，AC=3，<>=60°，则||=　(　　)‎ A.1 B.2‎ C. D.5‎ ‎【答案】C.根据题意，O为BC中点，‎ 所以=(+)，‎ ‎||2=(+2·+)‎ ‎=(12+2×1×3×cos60°+32)=;‎ 所以||=.‎ ‎5.已知平面向量m，n的夹角为，且|m|=，|n|=2，在△ABC中，=‎2m+2n，‎ ‎=‎2m-6n，=，则||=　(　　)‎ A.2 B‎.4 ‎ C.6 D.8‎ ‎【答案】A.因为=，‎ 所以点D为BC的中点，‎ 所以=(+)=‎2m-2n，‎ 又因为|m|=，|n|=2，平面向量m，n的夹角为，‎ 所以||=2|m-n|= ‎=2=2.‎ ‎6.在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，若|+|=，α∈(0，π)，则与的夹角为　(　　)‎ A. B. C.π D.π ‎【答案】A.由题意，得+=(3+cosα，sinα)，‎ 所以|+|=‎ ‎==，‎ 即cosα=，‎ 因为α∈(0，π)，所以α=，C.‎ 设与的夹角为θ，‎ 则cosθ===.‎ 因为θ∈【解析】0，π ，所以θ=.‎ ‎7.已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A，B两点，且AB=，则·的值是　(　　)‎ A.- B. C.- D.0‎ ‎【答案】A.取AB的中点C，连接OC，AB=，‎ 则AC=，又因为OA=1，‎ 所以sin=sin∠AOC==，‎ 所以∠AOB=120°，‎ 则·=1×1×cos120°=-.‎ ‎8.在△ABC中，AB=4，AC=3，·=1，‎ 则BC=　(　　)‎ A. B. C.2 D.3‎ ‎【答案】D.设∠A=θ，‎ 因为=-，AB=4，AC=3，‎ 所以·=-·=9-·=1.‎ 所以·=8.cosθ===，‎ 所以BC==3.‎ ‎9．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝(　　)‎ A．－　　 　 B．0‎ C． D．3‎ ‎【答案】A　【解析】依题意有a·b＋b·c＋c·a＝＋＋＝－. ‎ ‎10．已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为 (　　)‎ A．－ B．－3 C． D．3 ‎【答案】C　【解析】因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影为||cos〈，〉＝＝＝. ‎ ‎11．若向量a＝(2，－1)，b＝(3－x,2)，c＝(4，x)满足(6a－b)·c＝8，则x等于(　　)‎ A．4　　 B．5 C．6　　　　D．7‎ ‎【答案】D　【解析】因为6a－b＝(9＋x，－8)，所以(6a－b)·c＝36＋4x－8x＝8，‎ 解得x＝7，故选D. ‎ ‎12．已知O为坐标原点，向量＝(3sin α，cos α)，＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且⊥，则tan α的值为(　　) ‎ A．－ B．－ C． D． ‎【答案】A　【解析】由题意知6sin2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0，上述等式两边同时除以cos2α，得6tan2α＋5tan α－4＝0，由于α∈，则tan α<0，解得tan α＝－，故选A． ‎ ‎13．已知两点A(－1,1)，B(3,5)，点C在曲线y＝2x2上运动，则·的最小值为(　　)‎ A．2 B． C．－2 D．－ ‎【答案】D　【解析】设C(x0,2x)，因为＝(4,4)，＝(x0＋1,2x－1)，所以·＝8x＋4x0＝8－≥－，‎ ‎14．若非零向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)⊥(3a－b)，则a与b夹角的余弦值为________．‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】由(a＋b)⊥(3a－b)可得(a＋b)·(3a－b)＝0，又|a|＝1，|b|＝2，则可得a·b＝，设a，b的夹角为θ，θ∈【解析】0，π ，则cos θ＝＝. ‎ ‎15．已知向量a＝，＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为________. ‎ ‎【答案】1　【解析】由题意得，|a|＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以⊥，||＝||.由⊥得(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，‎ 由||＝||得|a－b|＝|a＋b|，所以a·b＝0.‎ 所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，‎ 所以||＝||＝，故S△OAB＝××＝1. ‎ ‎16.若两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|=2|a|，则向量a+b与a的夹角为　　　　.‎ ‎【解析】由|a+b|=|a-b|，得a2+‎2a·b+b2=a2‎-2a·b+b2，即a·b=0，所以(a+b)·a=a2+‎ a·b=|a|2.‎ 故向量a+b与a的夹角θ的余弦值为 cosθ==.又0≤θ≤π，所以θ=.‎ ‎【答案】‎ ‎17.已知圆O的半径为2，AB是圆O的一条直径，C，D两点都在圆O上，且||=2，则|+|=　　　　.‎ ‎【解析】如图，连接OC，OD，‎ 则=+=+，‎ 因为O是AB的中点，‎ 所以+=0，‎ 所以+=+，‎ 设CD的中点为M，连接OM，‎ 则+=+=2，‎ 显然△COD是边长为2的等边三角形，‎ 所以||=，‎ 故|+|=|2|=2.‎ ‎【答案】2‎ ‎18.已知平面向量a，b满足|a|=，|b|=1，‎ ‎(1)若|a-b|=2，试求a与b的夹角的余弦值.‎ ‎(2)若对一切实数x，|a+xb|≥|a+b|恒成立，求a与b的夹角.‎ ‎【解析】(1)因为|a|=，|b|=1，|a-b|=2.‎ 所以|a-b|2=4，即a2‎-2a·b+b2=4，2‎-2a·b+1=4，所以a·b=-.‎ 设a与b的夹角为θ，‎ 则cosθ===-.‎ ‎(2)令a与b的夹角为θ.‎ 由|a+xb|≥|a+b|，得(a+xb)2≥(a+b)2，‎ 化为(x2-1)|b|2+(2x-2)|a|·|b|cosθ≥0，‎ 因为|a|=，|b|=1，‎ 所以(x2-1)+(2x-2)cosθ≥0，‎ 当x=1时，式子显然成立; ‎ 当x>1时，cosθ≥-=-，‎ 由于-<-，故cosθ≥-;‎ 当x<1时，cosθ≤-=-，‎ 由于->-，故cosθ≤-，‎ 所以cosθ=-，解得θ=.‎ ‎19．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.‎ ‎(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；‎ ‎(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．‎ ‎【解析】由已知得，a·b＝4×8×＝－16.‎ ‎(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.‎ ‎②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，‎ ‎∴|4a－2b|＝16.‎ ‎(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，‎ ‎∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，‎ 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.‎ 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．‎ ‎20.如图431，已知O为坐标原点，向量＝(3cos x,3sin x)，＝(3cos x，sin x)，＝(，0)，x∈.‎ 图431‎ ‎(1)求证：(－)⊥；‎ ‎(2)若△ABC是等腰三角形，求x的值．‎ ‎【解析】(1)证明：－＝(0,2sin x)，‎ ‎∴(－)·＝0×＋2sin x×0＝0，‎ ‎∴(－)⊥.‎ ‎(2)若△ABC是等腰三角形，则AB＝BC，‎ ‎∴(2sin x)2＝(3cos x－)2＋sin2x，‎ 整理得2cos2x－cos x＝0，‎ 解得cos x＝0，或cos x＝.‎ ‎∵x∈，∴cos x＝，x＝.‎ ‎21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·. ‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．‎ ‎【解析】　(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C．‎ 根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，‎ 所以sin Acos B＝sin(C＋B)，‎ 即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)因为|－|＝，所以||＝，‎ 即b＝，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，‎ 即ac≤3(2＋)，‎ 故△ABC的面积 S＝acsin B≤，‎ 即△ABC的面积的最大值为.‎ ‎ ‎