【数学】2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业

【数学】2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业

‎ 2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 ‎1、如图,是圆上两点,延长至点,满足,过作直线与圆相切于点的平分线交于点.‎ ‎（1）证明:；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎2、如图，是的直径，是的切线，交于点.‎ ‎（1）过做的切线，交与点，证明：是的中点；‎ ‎（2）若，求的大小.‎ ‎3、如图，等边三角形内接于圆，以为切点的圆的两条切线交于点，交圆于点.‎ ‎（1）求证：四边形为菱形；‎ ‎（2）若，求等边三角形的面积.‎ ‎4、如图，是圆内两条弦和的交点，为延长线上一点，切圆于点，且.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，，求.‎ ‎5、如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．‎ ‎（Ⅰ）求∠AEC的大小；‎ ‎（Ⅱ）求AE的长．‎ ‎6、如图，为⊙O的直径，为的中点，为的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：‎ ‎7、‎ 如图，点是圆直径的延长线上一点，是圆的切线，为切点，的平分线与相交于点，与相交于点.‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）若，证明：.‎ ‎8、如图，已知是圆的切线，为切点，是圆的割线，与圆交于，两点，圆心在的内部，点是的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明，，，四点共圆；‎ ‎（Ⅱ）求的大小．‎ ‎9、如图，是圆的切线，是切点，与，割线交圆于两点．‎ ‎（1）证明：，四点共圆；‎ ‎（2）设，求的大小．‎ ‎10、如图，是圆的切线，是切点，于，割线交圆于，两点．‎ ‎（1）证明：，，，四点共圆；‎ ‎（2）设，，求的大小．‎ ‎11、如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F．‎ ‎（１）求证：BC∥DE；‎ ‎（２）若D、E、C、F四点共圆，且，求∠BAC．‎ ‎12、如图，弦与相交于圆内一点，过作的平行线与的延长线交于点，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求长．‎ ‎13、如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎14、如图，是⊙的切线，是⊙的割线，，连接，分别于⊙交于点，点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：．‎ ‎15、如图所示，为圆的直径，，为圆的切线，，为切点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若圆的半径为2，求的值.‎ ‎16、如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F.‎ ‎（1）当时，求的度数；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎17、自圆O外一点P引圆O的两条割线PAB和PDC，如图所示，其中割线PDC过圆心O，.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）分别求线段BC和PA的长度.‎ ‎18、如图，已知是⊙的直径，点是⊙上一点，过点作⊙的切线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点．‎ ‎（1）求证：为等腰三角形；‎ ‎（2）若，求⊙的面积．‎ ‎19、已知中,,是外接圆劣弧AC上的点（不与点重合）,延长至。‎ ‎（1）求证:的延长线平分；‎ ‎（2）若,中边上的高为,求外接圆的面积。‎ ‎20、在中，，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若AC=3，求AP？AD的值．‎ 参考答案 ‎1、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）只需证，利用弦切角等于所夹的弧所对的圆周角，外角等于不相邻的两个内角和，结合题目中是的平分线，可证明；（2）由切割线定理，求得，由（1）可证明，则,故.‎ 试题 ‎（1）由题可,,‎ 故,故.‎ ‎（2）因为与分别为圆的切线和割线,所以,得,又因为直线与圆相切于点,则,则,则,故.‎ 考点：几何证明选讲． 2、答案：（1）见解析；（2）‎ 试题分析：（1）连接，可证是等腰三角形，再证是的外心，即是的中点；（2）由题可知，又，解方程得，可得的大小 试题（1）证明：连接，∵是的切线，也是的切线，‎ ‎∴弦切角，∴是等腰，，‎ ‎∵是的直径，∴.‎ ‎∴是的外心，即是的中点.‎ ‎（2）解：；‎ 中，,；‎ ‎∴；‎ 解方程得，∴锐角.‎ 考点：与圆有关的比例线段 3、答案：（１）证明见解析；（２）．‎ 试题分析：（１）先证四边形为平行四边形，再证明邻边相等即可；（２）利用根据切割线定理得：整理成只含的等式，可求得的值，进而得，可得三角形的面积．‎ 试题（1）证明：∵三角形为等边三角形，∴，‎ 又∵分别为以为切点的圆的切线，‎ ‎∴，且，∴三点共线.‎ ‎∵，∴，又∵四点共圆，∴，‎ ‎∴为等边三角形，∴可得，，‎ ‎∴，，∴四边形为平行四边形，‎ 又∵，∴四边形为菱形.‎ ‎（2）解：∵是圆的切线，根据切割线定理得：‎ 在直角三角形中，，∴.‎ 又∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ 即，解得，‎ ‎∴，∴等边三角形的面积为.‎ 考点：与圆有关的比例线段． 4、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）由切割线定理得到,再由已知条件,证明∽，再根据同位角相等,两直线平行,得证；（2）通过证明∽，求出.‎ 试题（1）证明：∵是圆的切线，∴，‎ ‎∵，∴，即，‎ 又，∴∽，∴‎ 又∵，∴，∴.‎ ‎（2）解：∵，由（1）知，∴，‎ ‎∵，∴在中，.‎ ‎∵，∽，∴.‎ 考点：1.切割线定理；2.三角形相似. 5、答案：（I）；（II）．‎ 试题分析：（I）根据圆的切线性质及可知,因为为等腰三角形，所以,又,所以；（II）过作于，可求得,在直角三角形中，根据勾股定理可得,由相交弦定理即可求得，从而得到的长.‎ 试题（Ⅰ）连接AB，因为∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，‎ 所以：∠AOB=60°；‎ ‎∵OA=OB ‎∴∠AB0=60°；‎ ‎∵∠ABC=∠AEC ‎∴∠AEC=60°．‎ ‎（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，‎ 在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．‎ ‎∵BD？DC=AD？DE，‎ ‎∴DE=．‎ ‎∴AE=DE+AD=．‎ ‎【考点】圆的切线、割线性质及直角三角形中的基本运算. 6、答案：试题分析：（1）连接，因为为的中点，为的中点，利用构造三角形的中位线，即可证明；（2）由为的中点，所以，根据三角形相似的条件，得出，即可得到 试题（1）连接OE，因为D为的中点，E为BC的中点，‎ 所以OED三点共线．‎ 因为E为BC的中点且O为AC的中点，‎ 所以OE∥AB，故DE∥AB．‎ ‎（2）因为D为的中点，所以∠BAD＝∠DAC，‎ 又∠BAD＝∠DCB？∠DAC＝∠DCB．‎ 又因为AD⊥DC，DE⊥CE？△DAC∽△ECD．‎ AD·CD＝AC·CE2AD·CD＝AC·2CE2AD·CD＝AC·BC．‎ 考点：相似三角形的应用． 7、答案：（1）；（2）详见解析 试题分析：（1）∵是圆的切线，∴，又是的角平分线，，∴，∴，又∵是圆的直径，∴，，∵与为对顶角，由此即可求出结果.（2）∵，∴，∴，由此即可求出结果.‎ 试题解：（1）∵是圆的切线，‎ ‎∴，‎ 又是的角平分线，，‎ ‎∴，∴，‎ 又∵是圆的直径，∴，，‎ ‎∵与为对顶角，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即.‎ 考点：与圆有关的比例线段． 8、答案：（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ 试题分析：（Ⅰ）点P是圆的切点，所以,点M是弦BC的中点，所以,可知四边形的对角互补，所以，，，四点共圆；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，四点共圆，所以根据同弧所对的圆周角相等，得到，再根据,易得的大小.‎ 试题（Ⅰ）证明：连结，．‎ 因为与圆O相切于点，所以．‎ 因为是圆O的弦的中点，所以．‎ 于是．‎ 由圆心在的内部，‎ 可知四边形的对角互补，所以，，，四点共圆．‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，，，四点共圆，所以．‎ 由（Ⅰ）得．‎ 由圆心在的内部，可知．‎ 所以．‎ 考点：圆的相关性质 9、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）连接，则，由已知条件利用三角形的射影定理和切割线定理，得出，由此可证明，四点共圆；（2）连接．因为，结合（1）即可求解的大小．‎ 试题（1）连接，则．由射影定理得．‎ 由切割线定理得，故，即．‎ 又，所以，所以．‎ 因此四点共圆．‎ ‎（2）连接．因为，结合（1）得 ‎．‎ 考点：与圆有关的比例线段． 10、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）连结，则．由射影定理得，由切割线定理得，再根据，所以，即可证明；（2）连结．因为，结合（1）的结论，即可求解的大小．‎ 试题（1）连结，则．由射影定理得．‎ 由切割线定理得，故，即，‎ 又，所以，所以．‎ 因此，，，四点共圆．‎ ‎（2）连结．因为，结合（1）得 ‎．‎ 考点：与圆有关的比例线段． 11、答案：（１）详见解析（２）‎ 试题分析：（１）证明直线平行，一般利用角的关系进行证明：由角平分线得∠DAC=∠‎ DAB，再根据四点共圆得∠EDC=∠DAC，∠DAB=∠DCB，最后根据等量关系得证（２）由四点共圆得 ‎∠CFA=∠CED，再由等弧对等角得∠CBA=∠BAC，因此在三角形ACF中，三个内角用∠DAC表示，解得∠BAC=2∠DAC 试题（１）证明：因为∠EDC=∠DAC，∠DAC=∠DAB，∠DAB=∠DCB，‎ 所以∠EDC=∠DCB，所以BC∥DE．‎ ‎（２）解：因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA=∠CED 由（１）知∠ACF=∠CED，所以∠CFA=∠ACF．‎ 设∠DAC=∠DAB=x，因为，所以∠CBA=∠BAC=2x，‎ 所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x，‎ 在等腰△ACF中，π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x，则，所以∠BAC 考点：四点共圆 12、答案：（1）见解析；（2）6.‎ 试题分析：（1）利用平行线的性质即可使问题得证；（2）利用相似三角形的性质可得，然后由已知条件即可求解．‎ 试题（1），‎ 又公用，‎ ‎（2）由（1）知 ‎，‎ 设 由得，‎ ‎，，‎ 为所求．‎ 考点：相似三角形的判定与性质 13、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）借助题设条件运用圆中的内角的关系求解；（2）借助圆中切割线定理求解．‎ 试题 ‎（1）证明：∵是的直径，则，．‎ ‎∵，∴，即，‎ ‎∵切于点，∴，即．‎ ‎（2）由（1）知平面，则，‎ 由，知，∴，‎ 又，∴．‎ 由切割线定理得，‎ ‎∴．‎ 考点：圆幂定理和三角形等有关知识的综合运用． 14、答案：试题分析：（Ⅰ）首先由切割线定理推出，然后结合已知条件即可推出；（Ⅱ）首先由四点共圆的性质推出，然后结合（Ⅰ）即可使问题得证．‎ 试题（Ⅰ）据题意得：．‎ ‎∵，∴，即．‎ 又∵，∴．‎ ‎（Ⅱ）∵四点共圆，∴．‎ 又∵，∴，∴．‎ 考点：1、切割线定理；2、四点共圆的性质． 15、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）是圆的两条切线，又为直径；‎ ‎（2）‎ 由．‎ 试题（1）连接是圆的两条切线，，又为直径，，.‎ ‎（2）由，，∽，‎ ‎，.‎ 考点：1、线线平行；2、三角形的相似. 16、答案：（1）；（2）24.‎ 试题分析：（1）连接,可知,从而得到,进一步得到的值；‎ ‎（2）由（1）可知,所以点四点共圆，那么.‎ 试题（1）连接BC，∵AB是圆O的直径，∴ACB=90°，‎ 又APF=90°，CAB+CBA=EAP+PEC，‎ ‎∴CBA=PEC，∵PEC=60°，∴PDF=CBA=PEC=60°.‎ ‎（2）由（1）知PDF=PEC，‎ ‎∴D、C、E、F四点共圆，∴，‎ ‎∵PC、PA都是圆O的割线，∴，∴.‎ 考点：与圆有关的性质 17、答案：（1）;（2）,BC=1.‎ 试题分析：（1）根据条件建立角的等量关系，是等腰直角三角形，再根据三角形外角定理，,以及,得到,几个式子结合，就得到角C的大小；‎ ‎（2）根据（1）的结论，中，利用正弦定理得到,再利用割线定理，建立R的等式，解得R,即得所求.‎ 试题（1）设圆O的半径为R，∵，‎ ‎∴.（※）‎ ‎∵，‎ 代入（※）式得，解得.‎ ‎（2）在△PAO中，∵，‎ 根据切割线定理有，即 ‎，解得R=1，‎ ‎∴，又由（1）可知，‎ 故△BOC为等边三角形，∴BC=1.‎ 考点：1.割线定理；2.正弦定理. 18、答案：（1）详见解析（2）‎ 试题分析：（Ⅰ）连接线段DB，推出∠DAB=∠BDC，说明BD⊥AE，证明∠CDE=∠AEC，即可．（Ⅱ）说明CD=CE，通过，得到．利用Rt△ABD∽Rt△AEC，故，然后求解⊙O的面积 试题（1）连接线段，因为为⊙的切线，所以，‎ 又因为为⊙的直径，，‎ 所以,‎ 所以，‎ 从而为等腰三角形．‎ ‎（2）由（Ⅰ）知,因为为⊙的切线，所以,7分 所以，即．‎ 又∽，故．‎ 因为，所以，，,‎ 所以⊙的面积为．‎ 考点：与圆有关的比例线段 19、答案：（1）详见解析（2）‎ 试题分析：（1）要证明AD的延长线平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到．（2）求△ABC外接圆的面积．只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积 试题（1）证明:如图,设F为AD延长线上一点,∵A？B？C？D四点共圆．‎ ‎∴∠CDF=∠ABC,‎ 又AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB,‎ ‎∴∠ADB=∠CDF,‎ 对顶角∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF,‎ 即AD的延长线平分∠CDE,‎ ‎（2）设O为外接圆圆心,连接AO并延长交BC于H,‎ ‎∵△ABO△ACO,∴∠BAO=∠CAO,‎ 即AO为等腰三角形△ABC中∠BAC的角平分线，则AH⊥BC,‎ 连接OC,由题意∠OAC=∠OCA=15°,∠ACB=75°,‎ ‎∴∠OCH=60°,‎ 设半径为r,则r+得r=1,‎ ‎∴外接圆面积为π 考点：与圆有关的比例线段 20、答案：试题分析：（1）欲证，由于已知条件，所以只需证明，由于四边形ABCD为圆的内接四边形，根据内对角等于它的外角，所以，又，所以△DPC～△DBA，则，即，所以问题得证。（2）欲求的值，可以通过三角形相似，构造相似比，根据条件及涉及到的边分析，由于AB=AC，所以，则根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，所以，且，所以△APC∽△ACD，则，则。‎ 试题（1）∵∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，∴△DPC～△DBA，‎ ‎∴，又∵AB=AC，∴．‎ ‎（2）∵∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，∴△APC∽△ACD．‎ ‎∴，∴‎ 考点：1.圆内接四边形；2.三角形相似。 ‎