数学（文）卷·2018届湖南省衡阳市八中高三（实验班）上学期第一次月考（2017

数学（文）卷·2018届湖南省衡阳市八中高三（实验班）上学期第一次月考（2017

衡阳八中2018届高三上学期第一次月考试卷 文数 考试范围：集合，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，不等式 注意事项：‎ ‎1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第一次月考试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。[第1-8题为文理科必做试题，第9-12题文科考生选做文科试题，理科考生选做理科试题]‎ ‎1.设偶函数f（x）满足f（x）=2﹣x﹣4（x≤0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（　　）‎ A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜﹣2或x＞2}‎ C．{x|x＜0或x＞4}  D．{x|x＜0或x＞6}‎ ‎2.已知sinα=，且tanα＜0，则cos（π+α）=（　　）‎ A．﹣   B．    C．   D．﹣‎ ‎3.复数在复平面上对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎4.已知偶函数f（x）在（0，+∞）上递减，已知a=0.2，b=log0.2，c=0.2，则f（a），f（b），f（c）  大小为（　　）‎ A．f（a）＞f（b）＞f（c）    ‎ B．f（a）＞f（c）＞f（b）       ‎ C．f（b）＞f（a）＞f（c）             ‎ D．f（c）＞f（a）＞f（b）‎ ‎5.已知函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，若数列{an ‎}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），则{an}的前25项之和为（　　）‎ A．0    B．    C．25    D．50‎ ‎6.已知△ABC中，AB=，AC=1，∠CAB=30°，则△ABC的面积为（　　）‎ A．    B．    C．    D．‎ ‎7.已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=（　　）‎ A．0     B．π    C．π2   D．9‎ ‎8.已知函数f（x）=cos（2x+φ），|φ|≤，若f（﹣x）=﹣f（x），则要得到y=sin2x的图象只需将y=f（x）的图象（　　）‎ A．向左平移个单位   B．向右平移个单位 C．向左平移个单位   D．向右平移个单位 ‎9. 若实数x、y满足条件，则z=2x+y的最大值为（　　）‎ A．1    B．     C．2    D．3‎ ‎10. 数列{an}满足an+1=，若a1=，则a2016的值是（　　）‎ A．    B．     C．  D．‎ ‎11.设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=2x2，在（0，+∞）上f′（x）＞2x，若f（2﹣m）+4m﹣4≥f（m），则实数m的取值范围为（　　）‎ A．﹣1≤m≤1  B．m≤1  C．﹣2≤m≤2 D．m≥2‎ ‎12. 已知函数f（x）=|x|•ex（x≠0），其中e为自然对数的底数，关于x的方程有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（　　）‎ A．  B．‎ C．   D．‎ ‎           ‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.函数f（x）=（）x+1，x∈[﹣1，1]的值域是　　．‎ ‎14.已知数列{an}的前n项和Sn满足4an﹣3Sn=2，其中n∈N．则数列{an}的通项公式为　　．‎ ‎15.已知向量，满足||=2||≠0，且函数在f（x）=在R上有极值，则向量，的夹角的取值范围是　　．‎ ‎16.已知函数f（x）=|x+﹣ax﹣b|（a，b∈R），当x∈[，2]时，设f（x）的最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为　　．‎ 三.解答题（共6题，共70分）‎ ‎17.(本题满分10分)‎ 已知P：﹣x2+8x+20≥0，q：﹣x2﹣2x+1﹣m2≤0‎ ‎（Ⅰ）若m＞0，且p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若“￢p”是“￢q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．‎ ‎     ‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=．D为AC延长线上一点，且CD=+1．‎ ‎（Ⅰ）求∠BCD的大小；‎ ‎（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S6=S3+14，a6=10﹣a4，a4＞a3．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）数列{bn}中，bn=log2 an，求数列{an•bn}的前n项和Tn．‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数C，使得对任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且对任意的x∉[a，b]都有f（x）＞C恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“U型”函数．‎ ‎（1）求证：函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|是R上的“U型”函数；‎ ‎（2）设f（x）是（1）中的“U型”函数，若不等式|t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）对一切的x∈R恒成立，求实数t的取值范围；‎ ‎（3）若函数g（x）=mx+是区间[﹣2，+∞）上的“U型”函数，求实数m和n的值．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数f（x）=4sin（ωx﹣）•cosωx在x=处取得最值，其中ω∈（0，2）．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期：‎ ‎（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．若α为锐角．g（α）=，求cosα ‎22.（本题满分12分）‎ 定义：若曲线y=f（x）与y=g（x）都和直线y=kx+b相切，且满足：f（x）≤kx+b≤g（x）或g（x）≤kx+b≤f（x）恒成立，则称直线y=kx+b为曲线y=f（x）与y=g（x）的“内公切线”．已知f（x）=﹣x2，g（x）=ex．‎ ‎（1）试探究曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在“内公切线”？若存在，请求出内公切线的方程；若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）g′（x）是函数g（x）的导设函数，P（x1，g（x1）），Q（x2，g（x2））是函数y=g（x）图象上任意两点，x1＜x2，且存在实数x3，使得g′（x3）=，证明：x1＜x3＜x2．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B C B C D B B D C B D 答案 ‎13.‎ ‎14.an=2•4n﹣1‎ ‎15.（，π）‎ ‎16.‎ ‎17.‎ ‎（1）解﹣x2+8x+20≥0得：﹣2≤x≤10，‎ 若m＞0，则解﹣x2﹣2x+1﹣m2≤0得：1﹣m≤x≤1+m，‎ 若p是q充分不必要条件，‎ 则[﹣2，10]是[1﹣m，1+m]的真子集．‎ ‎∴，‎ 解得：m≥9．‎ ‎（2）∵“非p”是“非q”的充分不必要条件，‎ ‎∴q是p的充分不必要条件．‎ ‎①当m＞0时，由（1）得：，‎ 解得：0＜m≤3．‎ ‎②当m=0时，Q：x=1，符合，‎ ‎③当m＜0时，﹣3＜m≤0，‎ ‎∴实数m的取值范围为﹣3≤m≤3．   ‎ ‎ ‎ ‎18.‎ ‎（Ⅰ）在△ABC中，‎ 因为，，‎ 由正弦定理可得，‎ 即，‎ 所以．‎ 因为∠ACB为钝角，所以．‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可知BD2=CB2+DC2﹣2CB•DC•cos∠BCD，‎ 即，‎ 整理得BD=2．‎ 在△ABC中，由余弦定理可知BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA，‎ 即，‎ 整理得．解得．‎ 因为∠ACB为钝角，所以AC＜AB=2．所以．‎ 所以△ABC的面积．‎ ‎          ‎ ‎19.‎ ‎（Ⅰ）由已知a4+a5+a6=14，∴a5=4，‎ 又数列{an}成等比，设公比q，则+4q=10，‎ ‎∴q=2或（与a4＞a3矛盾，舍弃），‎ ‎∴q=2，an=4×2n﹣5=2n﹣3；‎ ‎（Ⅱ）bn=n﹣3，∴an•bn=（n﹣3）×2n﹣3，‎ Tn=﹣2×2﹣2﹣1×2﹣1+0+…+（n﹣3）×2n﹣3，‎ ‎2Tn=﹣2×2﹣1﹣1×20+0+…+（n﹣3）×2n﹣2，‎ 相减得Tn=2×2﹣2﹣（2﹣1+20+…+2n﹣3）+（n﹣3）×2n﹣2=﹣（2n﹣2﹣）+（n﹣3）×2n﹣2‎ ‎=（n﹣4）×2n﹣2+1，‎ ‎20.‎ ‎（1）当x∈[1，3]时，f1（x）=x﹣1+3﹣x=2，‎ 当x∉[1，3]时，f1（x）=|x﹣1|+|x﹣3|＞|x﹣1+3﹣x|=2‎ 故存在闭区间[a，b]=[1，3]⊆R和常数C=2符合条件，‎ 所以函数f1（x）=|x﹣1|+|x﹣3|是R上的“U型”函数…‎ ‎（2）因为不等式|t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）对一切x∈R恒成立，‎ 所以|t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）min 由（1）可知f（x）min=（|x﹣1|+|x﹣3|）min=2‎ 所以|t﹣1|+|t﹣2|≤2‎ 解得：‎ ‎（3）由“U型”函数定义知，存在闭区间[a，b]⊆[﹣2，+∞）和常数c，使得对任意的x∈[a，b]，‎ 都有g（x）=mx+=c，即=c﹣mx 所以x2+2x+n=（c﹣mx）2恒成立，即x2+2x+n=m2x2﹣2cmx+c2对任意的x∈[a，b]成立…‎ 所以，所以或 ‎①当时，g（x）=x+|x+1|．‎ 当x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）=﹣1，当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）=2x+1＞﹣1恒成立．‎ 此时，g（x）是区间[﹣2，+∞）上的“U型”函数 ‎②当时，g（x）=﹣x+|x+1|．‎ 当x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）=﹣2x﹣1≥1，当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）=1．‎ 此时，g（x）不是区间[﹣2，+∞）上的“U型”函数．‎ 综上分析，m=1，n=1为所求 ‎            ‎ ‎21.‎ ‎（1）化简可得f（x）=4sin（ωx﹣）•cosωx ‎=4（sinωx﹣sinωx）cosωx ‎=2sinωxcosωx﹣2cos2ωx ‎=sin2ωx﹣cos2ωx﹣‎ ‎=2sin（2ωx﹣）﹣，‎ ‎∵函数f（x）在x=处取得最值，‎ ‎∴2ω×﹣=kπ+，解得ω=2k+，k∈Z，‎ 又∵ω∈（0，2），∴ω=，‎ ‎∴f（x）=2sin（3x﹣）﹣，‎ ‎∴最小正周期T=；‎ ‎（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到y=2sin[3（x+）﹣]﹣=2sin（3x﹣）﹣的图象，‎ 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（x﹣）﹣的图象．‎ ‎∵α为锐角，g（α）=2sin（α﹣）﹣=，∴sin（α﹣）=，‎ ‎∴cos（α﹣）==，‎ ‎∴cosα=cos[（α﹣）+]=cos（α﹣）﹣sin（α﹣）‎ ‎=﹣=‎ ‎22.‎ ‎（1）假设曲线与存在“内公切线”，记内公切线与曲线的切点为 ‎        ，则切线方程为：．      ‎ ‎        又由可得：． ‎ ‎    由于切线也和曲线相切，‎ 所以．‎ ‎        ．                           ‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，．‎ ‎  所以，故公切线的方程为：．   ‎ ‎        下面证明就是与内公切线，即证．‎ ‎  ∵，‎ ‎  ∴成立．                   ‎ ‎  设，则．‎ 令，得．  ‎ ‎    当时，，当时，，‎ ‎    ∴在上为减函数，在上为增函数，‎ 所以，即．               ‎ ‎        ∴，即就是曲线与的内公切线．‎ ‎   （2）∵，∴．‎ ‎　　　 要证明：，　‎ ‎  只需证明：，‎ ‎  只需证明：，‎ ‎  只需证明：，及，‎ ‎  只需证明：，及．  ‎ 由（1）知：，所以及成立，‎ ‎∴ ．    ‎