高考数学难点突破16__三角函数式的化简与求值

高考数学难点突破16__三角函数式的化简与求值

高中数学难点 16 三角函数式的化简与求值 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简 和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解 题效果，做到事半功倍. ●难点磁场 (★★★★★)已知 2  ＜β ＜α ＜ 4 3 ,cos(α －β )= 13 12 ,sin(α +β )=－ 5 3 ,求 sin2α 的值 _________. ●案例探究 ［例 1］不查表求 sin220°+cos280°+ 3 cos20°cos80°的值. 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较 高.属于★★★★级题目. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错. 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简 单更精妙，需认真体会. 解法一：sin220°+cos280°+ sin220°cos80° = 2 1 (1－cos40°)+ 2 1 (1+cos160°)+ sin20°cos80° =1－ cos40°+ cos160°+ sin20°cos(60°+20°) =1－ cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+ sin20°(cos60°cos20° －sin60°sin20°) =1－ cos40°－ 4 1 cos40°－ 4 3 sin40°+ sin40°－ 2 3 sin220° =1－ 4 3 cos40°－ 4 3 (1－cos40°)= 解法二：设 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80° y=cos220°+sin280°－ 3 cos20°sin80°，则 x+y=1+1－ sin60°= 2 1 ，x－y=－cos40°+cos160°+ sin100° =－2sin100°sin60°+ sin100°=0 ∴x=y= 4 1 ，即 x=sin220°+cos280°+ sin20°cos80°= 4 1 . ［例 2］设关于 x 的函数 y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为 f(a)，试确定满足 f(a)= 2 1 的 a 值，并对此时的 a 值求 y 的最大值. 命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维 能力.属★★★★★级题目 知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错. 技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、 分类讲座等. 解：由 y=2(cosx－ 2 a )2－ 2 242  aa 及 cosx∈［－1，1］得： f(a)          )2( 41 )22( 122 )2( 1 2 aa aaa a ∵f(a)= 2 1 ,∴1－4a= 2 1  a= 8 1 ［2,+∞ ) 故－ 2 2a －2a－1= 2 1 ，解得：a=－1，此时， y=2(cosx+ )2+ ，当 cosx=1 时，即 x=2kπ ，k∈Z，ymax=5. ［例 3］已知函数 f(x)=2cosxsin(x+ 3  )－ 3 sin2x+sinxcosx (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 的值； (3)若当 x∈［ 12  ， 12 7 ］时，f(x)的反函数为 f－1(x)，求 f-－1(1)的值. 命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力， 综合运用知识的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识. 错解分析：在求 f-－1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法：等价转化，逆向思维. 解：(1)f(x)=2cosxsin(x+ 3  )－ 3 sin2x+sinxcosx =2cosx(sinxcos +cosxsin )－ sin2x+sinxcosx =2sinxcosx+ cos2x=2sin(2x+ ) ∴f(x)的最小正周期 T=π (2)当 2x+ =2kπ － 2  ，即 x=kπ － 12 5 (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2. (3)令 2sin(2x+ )=1，又 x∈［ 2 7,2  ］, ∴2x+ 3  ∈［ 3  , 2 3 ］,∴2x+ = 6 5 ，则 x= 4  ，故 f-－1(1)= 4  . ●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有： 1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最 值或值域，5°化简求值. 2.技巧与方法： 1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用. 3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手 的问题，可利用分析法. 4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★★)已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均 tanα 、tanβ ，且α ，β ∈ (－ 2,2  )，则 tan 2   的值是( ) A. 2 1 B.－2 C. 3 4 D. 或－2 二、填空题 2.(★★★★)已知 sinα = 5 3 ，α ∈( 2  ，π )，tan(π －β )= ，则 tan(α －2β )=_________. 3.(★★★★★)设α ∈( 4 3,4  )，β ∈(0， 4  )，cos(α － )= 5 3 ，sin( 4 3 +β )= 13 5 ，则 sin(α +β )=_________. 三、解答题 4.不查表求值: . 10cos1 )370tan31(100sin130sin2   5.已知 cos( 4  +x)= 5 3 ，( 12 17 ＜x＜ 4 7 )，求 x xx tan1 sin22sin 2   的值. 6.(★★★★★)已知α －β = 3 8 π ，且α ≠kπ (k∈Z).求 )44(sin4 2sin2csc )cos(1 2       的 最大值及最大值时的条件. 7.(★★★★★)如右图，扇形 OAB 的半径为 1，中心角 60°，四 边形 PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点 P 的位置，并 求此最大面积. 8.(★★★★★)已知 cosα +sinβ = 3 ，sinα +cosβ 的取值范围是 D，x∈D，求函数 y= 104 32log 2 1   x x 的最小值，并求取得最小值时 x 的值. 参考答案 难点磁场 解法一：∵ 2  ＜β ＜α ＜ 4 3 ,∴0＜α －β ＜ 4  .π ＜α +β ＜ , ∴sin(α －β )= .5 4)(sin1)cos(,13 5)(cos1 22   ∴sin2α =sin［(α －β )+(α +β )］ =sin(α －β )cos(α +β )+cos(α －β )sin(α +β ) .65 56)5 3(13 12)5 4(13 5  解法二：∵sin(α －β )= 13 5 ,cos(α +β )=－ 5 4 , ∴sin2α +sin2β =2sin(α +β )cos(α －β )=－ 65 72 sin2α －sin2β =2cos(α +β )sin(α －β )=－ 65 40 ∴sin2α = 65 56)65 40 65 72(2 1  歼灭难点训练 一、1.解析：∵a＞1，tanα +tanβ =－4a＜0. tanα +tanβ =3a+1＞0,又α 、β ∈(－ 2  , 2  )∴α 、β ∈(－ ,θ ),则 2   ∈(－ ,0),又 tan(α +β )= 3 4 2tan1 2tan2 )tan(,3 4 )13(1 4 tantan1 tantan 2      又 a a , 整理得 2tan2 22tan32  =0.解得 tan 2  =－2. 答案：B 2.解析：∵sinα = 5 3 ,α ∈( 2  ,π ),∴cosα =－ 5 4 则 tanα =－ 4 3 ,又 tan(π －β )= 2 1 可得 tanβ =－ 2 1 , 24 7 )3 4()4 3(1 )3 4(4 3 2tantan1 tantan)2tan( .3 4 )2 1(1 )2 1(2 tan1 tan22tan 2 22            答案： 24 7 3.解析：α ∈( 4 3,4  ),α － 4  ∈(0, 2  ),又 cos(α － )= 5 3 . 65 56)sin( .65 56 13 5 5 4)13 12(5 3)4 3sin()4sin()4 3cos()4cos( )]4 3()4cos[( ]2)4 3()4sin[()sin( .13 12)4 3cos(,13 5)4 3sin().,4 3(4 3).4,0(,5 4)4sin(      即 答案： 65 56 三、4.答案：2 75 28 5 3 )5 4(25 7 )4cos( )4sin(2sin sincos cos)cos(sinsin2 cos sin1 sin2cossin2 tan1 sin22sin 5 4)4sin(,243 5,4 7 12 17 .25 7)4(2cos2sin,5 3)4cos(:.5 22              x xx xx xxxx x x xxx x xx xxx xxx     又 解  2)3 2 2sin(22)2 1()3 2 2sin(4 .3 2 24 3 82 4,3 8 22cos2sin42)2sin2(sin2 )2sin2 1 2 1(4 2cos 2cos22sin 2 )22cos(1 4 2sin1 )cos1(2sin )44(sin4 2sin2csc )cos(1:.6 2 2 2 2               t t  令解  k （k∈Z）, 3 2 23 2 2  k （k∈Z） ∴当 ,223 2 2  k 即 34  k （k∈Z）时, )3 2 2sin(  的最小值为－1. 7.解：以 OA 为 x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设 P 的坐标为(cosθ ,sinθ )， 则 ｜PS｜=sinθ .直线 OB 的方程为 y= 3 x，直线 PQ 的方程为 y=sinθ .联立解之得 Q( 3 3 sin θ ；sinθ )，所以｜PQ｜=cosθ － 3 3 sinθ . 于是 SPQRS=sinθ (cosθ － sinθ )= ( 3 sinθ cosθ －sin2θ )= ( 2 3 sin2θ － 2 2cos1  )= ( sin2θ + 2 1 cos2θ － 2 1 )= sin(2θ + 6  )－ 6 3 . ∵0＜θ ＜ 3  ,∴ 6  ＜2θ + ＜ 6 5 π .∴ 2 1 ＜sin(2θ + )≤1. ∴sin(2θ + )=1 时，PQRS 面积最大，且最大面积是 6 3 ，此时，θ = ，点 P 为 的 中点，P( 2 1,2 3 ). 8.解：设 u=sinα +cosβ .则 u2+( 3 )2=(sinα +cosβ )2+(cosα +sinβ )2=2+2sin(α +β )≤4. ∴u2≤1,－1≤u≤1.即 D=［－1,1］,设 t= 32 x ,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤ 5 .x= 2 32 t . .2 1,232,2,2 58log2log8 2log ,0log.8 2,2,42 .8 2 24 1 42 1 42104 32 5.05.05.0min 5.0max 2         xxty MMyMttt ttt t x xM 此时时 时是减函数在时即当且仅当 