2020九年级数学上册 第1章 二次函数 专题分类突破二 抛物线中几何图形的最值问题练习

2020九年级数学上册 第1章 二次函数 专题分类突破二 抛物线中几何图形的最值问题练习

专题分类突破二　抛物线中几何图形的最值问题 ‎(见B本9页)‎ ‎, 类型　1　线段的最值问题)‎ 例1图 ‎【例1】 如图所示，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP，BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M，N分别是EF，CD的中点，则MN的最小值是__5__．‎ 变式　某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y＝x2的形状．今在一个坡度为1∶5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两个离地面高度为20米的塔柱(如图)，这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离是(　B　)‎ 变式图 A．‎12.75米 B．‎13.75米 C．‎14.75米 D．‎‎17.75米 ‎, 类型　2　线段和差的最值问题 ‎【例2】 如图所示，已知抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为直线x＝－3，过其顶点M的一条直线y＝kx＋b与该抛物线的另一个交点为N(－1，1)．若要在y轴上找一点P，‎ 7‎ 使得PM＋PN最小，则点P的坐标为(　A　)‎ A．(0，2) B. C. D. 例2图 ‎　　　变式图 变式　如图所示，二次函数y＝－x2－3x＋4的图象交x轴于A，B，交y轴于点C.点P是抛物线的对称轴上一动点，若|PA－PC|的值最大，则点P的坐标为　　．‎ ‎, 类型　　　3　面积的最值问题 ‎【例3】 正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线l经过O，P，A三点，点E是正方形内抛物线l上的动点．则△OAE与△OCE面积之和的最大值是__9__．‎ 例3图 ‎　　　变式图 变式　如图所示，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．‎ ‎(1)a＝__－__，b＝__3__；‎ ‎(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．‎ 解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y＝ax2＋bx，‎ 7‎ 得解得 变式答图 ‎(2)如图，过A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连结CD，CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，‎ S△OAD＝OD·AD＝×2×4＝4；‎ S△ACD＝AD·CE＝×4×(x－2)＝2x－4；‎ S△BCD＝BD·CF＝×4×＝－x2＋6x，‎ 则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋2x－4－x2＋6x＝－x2＋8x，‎ ‎∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2＜x＜6)．‎ ‎∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，‎ ‎∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.‎ 7‎ ‎1．2017·泸州中考已知抛物线y＝x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴 第1题图 的距离始终相等，如图，点M的坐标为(，3)，P是抛物线y＝x2＋1上一动点，则△PMF周长的最小值是(　C　)‎ A．3　　　 B．‎4　‎　　 C．5　　　 D．6‎ 第2题图 ‎2．如图所示，抛物线y＝－x2－2x＋3 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．‎ ‎(1)写出A，B，C三点的坐标：A(__－3__，__0__)，B(__1__，__0__)，C(__0__，__3__)．‎ ‎(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A，B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积．‎ 解：(2)由抛物线y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4可知，‎ 对称轴为直线x＝－1，‎ 设点M的横坐标为m，则PM＝－m2－2m＋3，MN＝(－m－1)×2＝－2m－2，‎ ‎∴矩形PMNQ的周长＝2(PM＋MN)＝2(－m2－2m＋3－2m－2)‎ ‎＝－2m2－8m＋2＝－2(m＋2)2＋10，‎ ‎∴当m＝－2时矩形的周长最大．‎ ‎∵点A(－3，0)，C(0，3)，可求得直线AC的函数表达式为y＝x＋3，‎ 当x＝－2时，y＝－2＋3＝1，则点E(－2，1)，‎ ‎∴EM＝1，AM＝1，∴S＝AM·EM＝.‎ 7‎ 第3题图 ‎3．2017·东营中考如图所示，直线y＝－x＋分别与x轴、y轴交于B，C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2＋bx＋经过A，B两点．‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．‎ 解：(1)∵直线y＝－x＋分别与x轴、y轴交于B，C两点，‎ ‎∴B(3，0)，C(0，)，‎ ‎∴OB＝3，OC＝，∴BC＝2，‎ ‎∴∠CBO＝30°，∠BCO＝60°，‎ ‎∵∠ACB＝90°，∴∠ACO＝30°，∴AO＝1，∴A(－1，0)．‎ ‎∵抛物线y＝ax2＋bx＋经过A，B两点，‎ ‎∴解得 ‎∴抛物线解析式为y＝－x2＋x＋.‎ ‎(2)∵MD∥y轴，MH⊥BC，‎ ‎∴∠MDH＝∠BCO＝60°，则∠DMH＝30°，‎ ‎∴DH＝DM，MH＝DM，‎ ‎∴△DMH的周长＝DM＋DH＋MH＝DM＋DM＋DM＝DM，‎ ‎∴当DM有最大值时，其周长有最大值，‎ ‎∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，‎ ‎∴可设M，则D，‎ ‎∴DM＝－t2＋t＋－＝－t2＋t＝－＋，‎ ‎∴当t＝时，DM有最大值，最大值为，‎ 7‎ 此时DM＝×＝，即△DMH周长的最大值为.‎ 第4题图 ‎4．已知：抛物线l1：y＝－x2＋bx＋3交x轴于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，其对称轴为x＝1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E(5，0)，交y轴于点D.‎ ‎(1)求抛物线l2的函数表达式；‎ ‎(2)M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．‎ 解：(1)∵抛物线l1：y＝－x2＋bx＋3的对称轴为x＝1，‎ ‎∴－＝1，解得b＝2，∴抛物线l1的解析式为y＝－x2＋2x＋3，‎ 令y＝0，可得－x2＋2x＋3＝0，解得x＝－1或x＝3，‎ ‎∴A点坐标为(－1，0)，∵抛物线l2经过A，E两点，‎ ‎∴可设抛物线l2的解析式为y＝a(x＋1)(x－5)，‎ 又∵抛物线l2交y轴于点D，‎ ‎∴－＝－5a，解得a＝，‎ ‎∴y＝(x＋1)(x－5)＝x2－2x－，‎ ‎∴抛物线l2的函数表达式为y＝x2－2x－.‎ ‎(2)由题意可设M，‎ ‎∵MN∥y轴，∴N(x，－x2＋2x＋3)，‎ 令－x2＋2x＋3＝x2－2x－，解得x＝－1或x＝.‎ ‎①当－1＜x≤时，MN＝(－x2＋2x＋3)－＝－x2＋4x＋＝－＋，‎ 显然，－1＜≤，∴当x＝时，MN有最大值；‎ ‎②当＜x≤5时，MN＝－(－x2＋2x＋3)＝x2－4x－＝－，‎ 7‎ 显然，当x＞时，MN随x的增大而增大，‎ ‎∴当x＝5时，MN有最大值，×－＝12.‎ 综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12.‎ 7‎