2020年高中数学 第二章 解三角形章末综合检测 北师大版必修5
第二章 解三角形
章末综合检测(二)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是( )
A．(8，10) B．(2，)
C．(2，10) D．(，8)
解析：选B.依题意，三角形为锐角三角形，则，解得2
0，所以C是锐角．
所以cos C＝.因为·＝，所以abcos C＝，所以ab＝20.又因为a＋b＝9，所以a2＋2ab＋b2＝81，所以a2＋b2＝41，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝36，所以c＝6，故选C.
6．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )
A. B．
C. D．
解析：选D.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，
即72＝52＋AC2－10AC·cos 120°，
所以AC＝3(负值舍去)．由正弦定理得＝＝.
7．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为( )
A．2 B．8
C. D．
解析：选C.因为＝＝＝2R＝8，
所以sin C＝，
所以S△ABC＝absin C＝＝＝.
8．在△ABC中，AB＝3，A＝60°，AC＝4，则边BC上的高是( )
A. B．
C. D．
解析：选B.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，因为AB＝3，AC＝4，A＝60
9
°，
所以BC＝，设边BC上的高为h，
所以S△ABC＝BC·h＝AB·AC·sin A，
即·h＝×3×4×，所以h＝.
9．在△ABC中，已知∠C＝60°，＋＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.＋＝
＝(※)
因为∠C＝60°，所以a2＋b2－c2＝2abcos C＝ab，
所以a2＋b2＝ab＋c2代入(※)式得
＝1.
10.某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( )
A．2sin α－2cos α＋2
B．sin α－cos α＋3
C．3sin α－cos α＋1
D．2sin α－cos α＋1
解析：选A.四个等腰三角形的面积之和为4××1×1×sin α＝2sin α，再由余弦定理可得正方形的边长为＝，故正方形的面积为2－2cos α，所以所求八边形的面积为2sin α－2cos α＋2.
11．在△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积为( )
A．2 B．
C．2或4 D．或2
解析：选D.如图，因为AD＝AB·sin B＝<2，所以BD＝AB·cos B＝3，
CD＝＝1，
C′D＝＝1.
所以BC＝3－1＝2，BC′＝3＋1＝4，
故△ABC有两解，
9
S△ABC＝BC·AD＝或S△ABC′＝BC′·AD＝2.
12．某小区的绿化地有一个三角形的花圃区，若该三角形的三个顶点分别用A，B，C表示，其对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cos A－acos C＝0，则在A处望B，C所成的角的大小为( )
A. B．
C. D．
解析：选B.在△ABC中，(2b－c)cos A－acos C＝0，结合正弦定理得2sin Bcos A－sin Ccos A－sin Acos C＝0，即2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0，即2sin Bcos A－sin B＝0.又因为A，B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以cos A＝，所以A＝，即在A处望B，C所成的角的大小为.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．已知△ABC的面积S＝，A＝，则·＝________．
解析：S△ABC＝·AB·AC·sin A，
即＝·AB·AC·，
所以AB·AC＝4，
于是·＝||·||·cos A
＝4×＝2.
答案：2
14．在△ABC中，若b＝a，B＝2A，则△ABC为________三角形．
解析：由正弦定理知
sin B＝sin A，
又因为B＝2A，所以sin 2A＝sin A，
所以2sin Acos A＝sin A，
所以cos A＝，所以A＝45°，B＝90°.
故△ABC为等腰直角三角形．
答案：等腰直角
15．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于________，AC
9
的取值范围为________．
解析：设A＝θ⇒B＝2θ.
由正弦定理得＝，
所以＝1⇒＝2.
由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°.
又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，
故30°<θ<45°⇒，所以∠MAO＝，
所以∠ABO＝α－，因为tan α＝2，
所以sin α＝，cos α＝，
所以sin∠ABO＝sin＝，
又∠AOB＝π－α，
所以sin∠AOB＝sin(π－α)＝，
在△AOB中，AO＝15，
由正弦定理得，＝，即＝，
所以AB＝30，即铁路AB段的长为30 km.
9
