数学卷·2017届上海市普陀区高三上学期质量调研（一模）（2016

数学卷·2017届上海市普陀区高三上学期质量调研（一模）（2016

普陀区2016-2017学年第一学期高三数学质量调研 ‎2016.12‎ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. ‎ ‎1．若集合，，则 . ‎ ‎2. 若，，则 .‎ ‎3. 函数（）的反函数 .‎ ‎4. 若，则 .‎ ‎5. 设R，若表示焦点在轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是 .‎ ‎6. 设R，若函数是偶函数，则的单调递增区间是 .‎ ‎7. 方程的解 .‎ ‎8. 已知圆:（）和定点，若过可以作两条直线与圆相切，则的取值范围是 .‎ ‎9. 如图，在直三棱柱中，，， 若与平面所成的角为，则三棱锥的体积 为 .‎ ‎10.掷两颗骰子得两个数，若两数的差为，则出现 ‎ 的概率的最大值为 （结果用最简分数表示）.‎ ‎11. 设地球半径为，若、两地均位于北纬，且两地所在纬度圈上的弧长为，则、之间的球面距离是 （结果用含有的代数式表示）.‎ ‎12. 已知定义域为的函数满足，且时，；‎ 函数，若，则，函数零点的个数是 .‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎13.若，则下列不等关系中，不能成立的是………………………………………（ ）.‎ ‎ ‎ ‎14.设无穷等比数列的首项为，公比为，前项和为.则“”是“”成立的…………………………………………………（ ）.‎ 充分非必要条件 必要非充分条件 ‎ 充要条件 既非充分也非必要条件 ‎15. 设是直二面角，直线在平面内，直线在平面内，且、与均不垂直，则……………………………………………………………（ ）.‎ ‎ 与可能垂直，但不可能平行 与可能垂直，也可能平行 ‎ 与不可能垂直，但可能平行 与不可能垂直，也不可能平行 ‎16. 设是两个非零向量、的夹角，若对任意实数，的最小值为，则下列判断正确的是……………………………………………………………（ ）.‎ ‎ 若确定，则唯一确定 若确定，则唯一确定 ‎ 若确定，则唯一确定 若确定，则唯一确定 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 ‎17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知R，函数 ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围.‎ ‎18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ‎ 已知椭圆：（）的左、右两个焦点分别为、，是椭圆上位于第一象限内的点，轴，垂足为,且，，△的面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若是椭圆上的动点，求的最大值, ‎ 并求出取得最大值时的坐标.‎ ‎19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为，总重量为.其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位:毫米）.‎ ‎（1）这堆螺帽至少有多少个；‎ ‎（2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要耗材0.11千克，‎ 共需要多少千克防腐材料（结果精确到）‎ ‎20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.‎ ‎ 已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有 ‎， .‎ ‎（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；‎ ‎（2） 若数列中去掉的项后，余下的项组成数列，求；‎ ‎（3）设，数列的前项和为，是否存在正整数（），使得、、成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.‎ 已知函数,若存在实数、（），使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数，有序数对称为函数的“平衡”数对.‎ ‎（1）若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；‎ ‎（2）若R，，当变化时，求证：与的“平衡”数对相同；‎ ‎（3）若、R，且、均为函数的“平衡”数对.‎ 当时，求的取值范围.‎ 普陀区2016-2017学年第一学期高三数学质量调研评分标准 一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1-6:：4分；7-12：5分。‎ ‎1．. 2. . 3. （）. 4. 31. 5. . 6. .‎ ‎7. 1. 8.或. 9.. 10.. 11.. 12. .‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 B B C D 三、解答题 ‎17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ‎【解】（1）当时，，所以……（*）‎ ‎①若，则（*）变为，或，所以； ‎ ‎②若，则（*）变为，，所以 由①②可得，（*）的解集为。‎ ‎（2），即其中 ‎ ‎ 令=，其中，对于任意的、且 ‎ 则 ‎ 由于，所以，，，所以 所以，故，所以函数在区间上是增函数 所以，即 ,故 ‎ ‎18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ‎【解】（1）在△中，由 得 ‎ ‎ 因为△的面积为，,所以.‎ ‎ 解得……2分在△中，由余弦定理得，，所以,故，‎ 于是,故……4分，由于，所以,‎ 故椭圆的方程为 ‎ ‎（2）设，根据题意可知，故,由于,所以……7分，将代入椭圆方程得，，解得，由于，所以，故的坐标为……8分 令 ‎，则,所以 ‎， ‎ 其中……11分，所以当时，的最大值为，故的最大值为…13分，此时点的坐标为. ‎ ‎19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ‎【解】设正六棱柱的底边边长为，高为，圆孔的半径为，并设螺帽的表面积为，根据三视图可知，，，，则（1）设螺帽的体积为,则，其中 高，螺帽的体积，个 ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ （千克）‎ ‎ 答：这堆零件至少有252个，防腐共需要材料千克。 ‎ ‎20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.‎ ‎【解】（1）由得，由于 故，即，所以 故数列为等比数列，且，所以 ‎（2），故， ‎ ‎ 其中（常数），所以数列是以为首项、为公差的等差数列 ‎,，， ‎ 由（1）可得，， 因为， ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中,， ‎ 假设存在正整数（），使得、、成等比数列 则有，即,所以， ‎ 解得,又因为,,所以,此时,‎ 所以存在满足题设条件的、.. ‎ ‎21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.‎ ‎【解】（1）若，则 ‎ ‎ 要使得为“可平衡”函数，需使故对于任意实数均成立，只有……3分，此时，，故存在，所以是“可平衡”函数 ‎（2）及的定义域均为R 根据题意可知，对于任意实数，‎ 即,即对于任意实数恒成立 只有，故函数 的“平衡”数对为 对于函数而言， ‎ ‎ 所以 ‎，， ‎ 即，故，只有，……9分，所以函数的“平衡”数对为 ‎ ‎ 综上可得函数与的“平衡”数对相同 ‎（3），所以 ‎ ，所以 ‎ ‎ 由于，所以，故, ‎ ‎ ， ‎ ‎ 由于，所以时，‎ ‎ ，所以