数学理卷·2017届广东省佛山一中高三上学期第二次段考考试（2016

数学理卷·2017届广东省佛山一中高三上学期第二次段考考试（2016

‎2016-2017学年度上学期高三年级第二次段考 数学（理科）试题 命题人：黄玲玲 刘一学 审题人：吴统胜 一、选择题 ‎1．设全集U=R，且A={x||x﹣1|2}，B={x|x2﹣6x+8＜0}，则A∩B=（　　）‎ ‎ A．[﹣1，4） B．（2，3） C．（2，3] D．（﹣1，4）‎ ‎2．若是复数，且（为虚数单位），则为（　　）‎ ‎ A．﹣3+i B．﹣3﹣i C．3+i D．3﹣i ‎3．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（　　）‎ A．若 m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β B．若m∥α，a∩β=n，则m∥n C．若m⊥α，α∥β，则m⊥β D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β ‎4．如图为某几何体的三视图，求该几何体的体积为（　　）‎ A．36 B．18 C．6 D．12‎ ‎5．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的  ( ) ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的 (　　)‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．设x，y满足，若目标函数最大值为14，则为（　　）‎ ‎ A．2 B．23 C． D．1‎ ‎8. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有( )种.‎ A. 432 B. 384 C. 308 D. 288‎ ‎9.已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则是减函数的区间为 ( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数，当时，取得最小值，则函数的图象为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作圆的一条切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，与双曲线的渐近线在第二象限内交于点D，且，则双曲线的离心率为（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数，使成立，则实数的值为（　　）‎ A．ln2 B．﹣1+ln2 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣1‎ 二、填空题 ‎13．已知，在二项式的展开式中，的系数是__________.‎ ‎14．已知等比数列的公比，前项和为．若成等差数列，，则_______． ‎ ‎15．三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AB=，AC=4，∠BAC=30°．‎ 若三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　． ‎ ‎16.已知为偶函数，且在单调递增，若在上恒成立，则实数的取值范围是 .‎ 三、解答题 ‎17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且 ‎.‎ ‎（I）求的值； ‎ ‎（II）若，b=2，求△ABC的面积S． ‎ ‎18．（12分）微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：‎ 微信控 非微信控 合计 男性 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ ‎（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？‎ ‎（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；‎ ‎（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．‎ 参考公式：，其中n=a+b+c+d． ‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥中，，‎ ‎，,‎ ‎(1) 求证：；‎ ‎(2) 求二面角的余弦值.‎ ‎20．（12分）椭圆的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎21. （12分）已知函数，.‎ ‎ （1）求的单调区间；‎ ‎ （2）证明：；‎ ‎（3）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.‎ 求的最大值.‎ 第22、23 题中选一题解答，切记在答题卷上填涂你所选择的题目序号。‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），点是曲线上的动点，点在曲线上，且满足．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线，与曲线，分别交于两点，求．‎ 选修4一5不等式选讲 ‎23．（10分）设函数 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求实数的范围．‎ ‎2016-2017学年度上学期高三年级第二次段考 数学（理科）答案 一、选择题（60分）： CBBDC DAACB BD ‎12. 解：令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+2）+4ea﹣x，‎ 令y=x﹣ln（x+2），y′=1﹣=，‎ 故y=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，‎ 故当x=﹣1时，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，‎ 而ex﹣a+4ea﹣x≥4，‎ ‎（当且仅当ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln2时，等号成立）；‎ 故f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；‎ 故x=a+ln2=﹣1 , 即a=﹣1﹣ln2．‎ 二、填空题（20分）‎ ‎13. 60 14. 15. 16. [-2,0]‎ 16. 解：因为 为偶函数，且在单调递增，所以在单调递减，‎ 当时，，故，‎ 若时，不等式恒成立，则当时，恒成立，‎ 解得.‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17.（12分） 解：（Ⅰ）由正弦定理设 ..................1分 ‎ 则=== .................2分 ‎ 整理求得sin（A+B）=2sin（B+C） .................4分 ‎ 又A+B+C=π .................5分 ‎ ‎∴sinC=2sinA，即=2 .................6分 ‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理可知cosB==① .................7分 ‎ 由（Ⅰ）可知==2② .................8分 ‎ 再由b=2，①②联立求得c=2，a=1 .................10分 ‎ sinB== .................11分 ‎ ‎∴S=acsinB= .................12分 ‎18. （12分）解：（1）由题意，K2=≈0.65＜0.708， ........3分 ‎∴没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关； .................4分 ‎（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，所抽取的5人中“微信控”有3人，“非微信控”的人数有2人； ........6分 ‎（3）X=1，2，3，则 .................7分 P（X=1）==0.3，P（X=2）==0.6，P（X=3）==0.1． .................10分 X的分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.3‎ ‎0.6‎ ‎0.1‎ ‎ .................11分 X的数学期望为EX=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8． .................12分 ‎19.（12分）（1）证明：，，‎ 因为 ，，所以 ， .................1分 因为 ，所以 ， .................2分 又 ，，，‎ 所以 ． .................4分 ‎    （2）取 的中点 ，连接 ，．‎ 因为 ，所以 ． .......5分 因为 ，所以 ． .......6分 又，‎ 所以． .................7分 以 为原点，分别以所在直线为建立如图坐标系，易知 ，，，，则 ，，，， .................9分 设平面的法向量为，则 解得 ， .................10分 因为，所以的法向量为， .................11分 设二面角的平面角为，为锐角，则 ‎. .................12分 20. ‎（12分）解：（1）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为，‎ ‎ ∴，解得c=1． .................1分 又，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3． .................3分 ‎∴所求椭圆C的方程为：． .................4分 ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，‎ ‎△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2． ...........5分 ‎∴，． ....................6分 y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==．‎ ‎∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），kAD•kBD=﹣1，∴，‎ ‎∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴． ......7分 化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=﹣2k，， .................8分 且满足3+4k2﹣m2＞0． .................9分 当m=﹣2k时，l：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾； .................10分 当m=﹣时，l：y=k，直线过定点． .................11分 综上可知，直线l过定点，定点坐标为． .................12分 21. ‎（12分）解: （1）函数的定义域是，， .....1分 当时， ；当时，.‎ 所以，的增区间为（-1，0），减区间为. .................2分 ‎（2）函数的定义域是，‎ ‎ ...........3分 设 则 由（1）得，在（-1，0）上为增函数，在上为减函数.‎ 所以在处取得极大值，而，所以， ......4分 函数在上为减函数. 又，‎ 于是当时， 当时， ......5分 所以，当时， 在（-1，0）上为增函数. ‎ 当时， 在上为减函数. ......6分 所以在处取得极大值，而，所以. ..........7分 ‎（3）不等式等价于不等式 ..........8分 ‎ 由知, ..........9分 设 则 ‎ ..........10分 由（Ⅰ）知，即 所以于是在上为减函数.‎ 故函数在上的最小值为 ..........11分 ‎ 所以的最大值为 ..........12分 ‎ ‎22. （10分）解：（Ⅰ）因为点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足=2．‎ 设P（x，y），M（x′，y′），则x=2x′，y=2y′， .........2分 并且， ..........3分 ‎ 消去θ得，（x′﹣1）2+y′2=3， ..........4分 ‎ 所以曲线C2的普通方程为：（x﹣2）2+y2=12； ..........5分 ‎（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，‎ 曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0， ..........6分 将θ=代入得ρ=2，∴A的极坐标为（2，）， ..........7分 曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣8=0， ..........8分 将代入得ρ=4，所以B的极坐标为（4，）， ..........9分 所以|AB|=4﹣2=2． ..........10分 ‎23. （10分）解：（1）， .........3分 ‎ 所以解集为[0，3] .........5分 ‎（2）由||a+b|﹣|a﹣b||≤2|a|， .........6分 得2|a|≤|a|f（x），由a≠0，得2≤f（x）， .........8分 解得或 ，所以实数的范围为 . ..........10分 ‎