江苏省2020届高三上学期八校联考数学试题

江苏省2020届高三上学期八校联考数学试题

江苏省2019—2020学年高三上学期八校联考 数学试卷 ‎2019．10‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）‎ ‎1．已知集合A＝{1}，B＝{1，5}，则AB＝ ．‎ 答案：{1，5}‎ 考点：集合的运算 解析：因为集合A＝{1}，B＝{1，5}，所以AB＝{1，5}．‎ ‎2．i是虚数单位，复数＝ ．‎ 答案：‎ 考点：复数 解析：．‎ ‎3．如图伪代码的输出结果为 ．‎ S←1‎ For i from 1 to 4‎ S←S+i End For Print S 答案：11‎ 考点：算法初步（伪代码）‎ 解析：第一步：S＝1＋1＝2‎ ‎ 第二步：S＝2＋2＝4‎ 第三步：S＝4＋3＝7‎ ‎ 第四步：S＝7＋4＝11‎ ‎4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为100，则n的值为 ．‎ ‎ ‎ 答案：1000‎ 考点：频率分布直方图 解析：100÷(0.004×25)＝1000‎ ‎5．某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个食堂用餐的概率为 ．‎ 答案：‎ 考点：古典概型 解析：a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐共有8种情况，其中三人在同一个食堂用餐共有2种情况，故概率为2÷8＝．‎ ‎6．已知是第二象限角，其终边上一点P(x，)，且，则x的值为 ．‎ 答案：﹣2‎ 考点：三角函数的定义 解析：由终边上一点P(x，)，得，解得：，是第二象限角，所以x的值为﹣2．‎ ‎7．将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像对应的解析式是 ．‎ 答案：‎ 考点：三角函数的图像与性质 解析：函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得y＝，将所得的图像向左平移个单位得．‎ ‎8．已知函数，满足，则 ．‎ 答案：7‎ 考点：指对数函数 解析：当a＞3时，，得a＝7；当a≤3时，，解得a＝4＞3（舍）；所以a的值为7．‎ ‎9．已知实数a，b满足，则a＋b最大值为 ．‎ 答案：‎ 考点：基本不等式 解析：由得，由基本不等式得，则可发现，解得，所以a＋b最大值为．‎ ‎10．已知[0，]，且，则 ．‎ 答案：‎ 考点：三角恒等变换 解析：因为[0，]，所以2[0，]，所以，因为，即 ‎ ，所以（负值已舍去）‎ ‎ ＝‎ ‎ ＝．‎ ‎11．直角△ABC中，点D为斜边BC中点，AB＝，AC＝6，，则＝ ．‎ ‎ ‎ 答案：14‎ 考点：平面向量数量积 解析：以O为坐标建立平面直角坐标系即可，建系后可得A(0，0)，B(0，)，C(6，0)，D(3，)，E(1，)，所以(1，)，(﹣1，)，则＝﹣1＋15＝14．‎ ‎12．已知奇函数满足，若当x(﹣1，1)时，且(0＜a＜1)，则实数 ．‎ 答案：‎ 考点：函数奇偶性与周期性 解析：根据，是奇函数，可得是周期为4的函数，所以 ‎ ‎ ‎ 因为0＜a＜1，所以0＜1﹣a＜1，所以，解得．‎ ‎13．已知a≠0，函数，(e为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线和均相切，则最大值是 ．‎ 答案：e 考点：导数的几何意义，导数与切线 解析：因为，，所以，，‎ ‎ 设曲线和的切点坐标分别为(，)，(，)，‎ ‎ 则，可得，‎ ‎ 代入上式可得：，构造函数，求得最小 ‎ 值为0，所以的最大值为e．‎ ‎14．若关于的方程有且仅有3个不同实数解，则实数的取值范围是 ．‎ 答案：或 考点：函数与方程 解析：原方程可转化为，令，‎ e ‎ ‎ ‎ 当方程有且只有一个根时，或，发现符合题意，‎ ‎ 当方程有且只有两个根时，此时或，且两根(0，e)，(，0)，此时，解得，综上实数的取值范围是或．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知集合A＝，B＝．‎ ‎（1）求集合A；‎ ‎ （2）若p：A，q：B，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． ‎ 解：（1）集合即为函数定义域，即需----2分，即即---5分，得 -------7分 ‎（2）由，------9分 则----10分 因为p是q的充分不必要条件，所以是的真子集------11分 即需得-------13分 所以实数m的取值范围是------14分 ‎16．（本小题满分14分）‎ ‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝90°，且AB＝2AD＝2DC＝2PD，E为PA的中点．‎ ‎（1）证明：DE∥平面PBC；‎ ‎（2）证明：DE⊥平面PAB．‎ 证明：（1）设PB的中点为F，连结EF、CF，EF∥AB，‎ DC∥AB，所以EF∥DC，------2分 ，‎ 且EF＝DC＝．‎ 故四边形CDEF为平行四边形，-----4分 可得ED∥CF------5分 又ED平面PBC，CF平面PBC，-------6分 故DE∥平面PBC--------------7分 注：（证面面平行也同样给分）‎ ‎（2）因为PD⊥底面ABCD，AB平面ABCD，所以AB⊥PD 又因为AB⊥AD，PDAD＝D，AD平面PAD，PD平面PAD，‎ 所以AB⊥平面PAD----11分 ED平面PAD，故ED⊥AB．-------12分 又PD＝AD，E为PA的中点，故ED⊥PA；---------13分 PAAB＝A，PA平面PAB，AB平面PAB，所以ED⊥平面PAB----------14分 ‎17．（本小题满分14分）‎ 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知cosC＝．‎ ‎（1）若，求△ABC的面积；‎ ‎（2）设向量＝(，)，＝(，)，且∥，b＝，求a的值．‎ 解（1）由·＝，得abcosC＝． ………2分 又因为cosC＝，所以ab＝＝． ………4分 ‎ 又C为△ABC的内角，所以sinC＝． 所以△ABC的面积S＝absinC＝3． ………6分 ‎ ‎（2）因为x//y，所以2sincos＝cosB，即sinB＝cosB． ………………8分 因为cosB≠0，所以tanB＝． ‎ 因为B为三角形的内角，，------9分 所以B＝． ………………10分 ‎ 所以----12分 由正弦定理，------14分 ‎18．（本小题满分16分）‎ ‎ 已知梯形ABCD顶点B，C在以AD为直径的圆上，AD＝4米．‎ ‎（1）如图1，若电热丝由三线段AB，BC，CD组成，在AB，CD上每米可辐射1单位热量，在BC上每米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；‎ ‎（2）如图2，若电热丝由弧，和弦BC这三部分组成，在弧，‎ 上每米可辐射1单位热量，在弦BC上每米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．‎ 图1 图2‎ ‎【解】设， -------1分 ‎（1），------2分， ----------3分 总热量单位--------5分 当时，取最大值， 此时米，总热量最大9（单位）.-----6分 答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.-----7分 ‎（2）总热量单位，，----10分 -----11分 ‎ 令，即，因，所以，-------12分 当时，，为增函数，当时，，为减函数，----14分 当时，取最大值，此时米.-----15分 答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.----16分 ‎19．（本小题满分16分）‎ 设常数R，函数．‎ ‎（1）当a＝1时，判断在(0，)上单调性，并加以证明；‎ ‎（2）当a≥0时，研究的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（3）当a≠0时，若存在区间[m，n](m＜n)使得在[m，n]上的值域为[，]，求实数a的取值范围．‎ 解(1)时，且 所以在上递减。‎ ‎---3分 法二：，，所以在上递减。‎ ‎（2）时满足，为偶函数。----4分 ‎ 时定义域，且，为奇函数。-----6分 时，定义域为因，‎ 定义域不关于原点对称----7分，因此既不是奇函数也不是偶函数。-----8分 ‎（3）‎ ‎①当时，在和上递减 则两式相减得再代入得（*）此方程有解，如 因此满足题意。----------11分 ‎②当时，在递增，有题意在上的值域为 知即是方程的两根 即方程有两不等实根，‎ 令即有两不等正根。--------13分 即需------15分 综上-----------------16分 ‎20．（本小题满分16分）‎ 设函数(x＞0，a，bR)．‎ ‎（1）当b＝0时，在[1，)上是单调递增函数，求a的取值范围； ‎ ‎（2）当a﹣b＝1时，讨论函数的单调区间；‎ ‎（3）对于任意给定的正实数a，证明：存在实数，使得．‎ 解：(1) 当时，；‎ 因在上是单调递增函数，则，即对恒成立，‎ 则． ………1分 而当，，故．故的取值范围为． ………3分 ‎(2) 当时，，．‎ ‎①当时，‎ 令，得，令，得，‎ 则 的单调递增区间为，递减区间为； ……5分 ‎②当时，. ‎ 令得，，或，‎ 令得， ，‎ 则 的单调递增区间为，，递减区间为； ……7分 ③当时，，当且仅当取“=”.‎ ‎ 则的单调递增区间为，无减区间. ……8分 ④当时，.‎ 令得，，或，令得， ，‎ 则 的单调递增区间为，，递减区间为； ……9分 当时，，令得，，令得， ，‎ 综上所述，当时，单调递增区间为，递减区间为；‎ 当时，单调递增区间为，，递减区间为； ‎ 当时，单调递增区间为，无减区间；‎ 当时，单调递增区间为，，递减区间为； ‎ 当时，单调递增区间为，递减区间为，…10分 ‎(3)先证. 设,,则，‎ ‎，，则在单调递增；‎ ‎，，则在单调递减；‎ 则，故. ………12分 取法1：取=，其中为方程的较大根.‎ 因=，则，‎ 因=，则，‎ 故 所以对于任意给定的正实数，存在实数，使得 ． ………16分 取法2：取=，则，‎ 则.‎ 对于任意给定的正实数，所以存在实数，使得 ． ………16分 附加题 ‎21．【选做题】本题包括三小题，每小题10分. 请选定其中两题（将所选题空白框涂黑），并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎.[选修4 - 2：矩阵与变换]‎ 已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，（1）求实数的值；‎ ‎（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.‎ 解：（1）由=， ∴，解得. ………4分 ‎（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为 ‎ ‎ 令，得矩阵的特征值为与3. …………6分 当时， ，解得 ‎∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为; …………8分 ‎ 当时， ，解得 ‎∴矩阵的属于特征值3的一个特征向量为. …………10分 ‎.[选修4 - 4：坐标系与参数方程]‎ 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线（为参数）与圆的位置关系．‎ 解：把直线方程化为普通方程为． …………………3分 将圆化为普通方程为，‎ 即． ………………………………………………………………6分 圆心到直线的距离-------8分 所以直线与圆相切.…………………………………………………………………10分 ‎.[选修4 - 5：不等式选讲] ‎ 已知a、b、c是正实数，求证：＋＋≥＋＋.‎ 法一：因为均为正数，则 法二：由2＋2＋2≥0，得2－2≥0，‎ ‎∴＋＋≥＋＋.(10分)‎ ‎【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.‎ ‎（Ⅰ）求乙投球的命中率；‎ ‎（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布表和数学期望.‎ 解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B 由题意得 解得或（舍去），所以乙投球的命中率为--------3分 ‎（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知 可能的取值为0，1，2，3，-----------------4分 故---------------5分 ‎--------------6分 ‎------------7分 ‎---------------8分 的分布表为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎--------------9分 的数学期望----------------10分 ‎23.设是给定的正整数，有序数组同时满足下列条件：‎ ‎ ① ,； ②对任意的,都有．‎ ‎（1）记为满足“对任意的，都有”的有序数组的个数，求；‎ ‎（2）记为满足“存在，使得”的有序数组的个数，求．‎ 解：（1）因为对任意的，都有，‎ ‎ 所以；（3分）‎ ‎ （2）因为存在，使得，‎ ‎ 所以或，设所有这样的为，‎ ‎ 不妨设，则（否则）；‎ ‎ 同理，若，则，------5分 ‎ 这说明的值由的值（2或2）确定，‎ ‎ 又其余的对相邻的数每对的和均为0，‎ ‎ 所以，------7分 ‎ ‎ ‎ ．（------10分）‎