【数学】山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（三）试题

【数学】山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（三）试题

山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（三）数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知全集,集合,,则图中阴影部分表 示的集合为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2. 已知为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限为（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3. 是直线与圆相切的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4. 已知,则的值 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 在中, 为边上的两个动点，且满足，则（ ）‎ A. 有最小值4 B. 有最大值4 C. 有最大值2 D. 有最小值2‎ ‎6. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、‎ 癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二 地支”地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依 次对应，“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，‎ 组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅……癸酉；甲戌、乙亥、丙子……‎ 癸未；甲申、乙酉、丙戌……癸巳；……，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，‎ 无穷无尽. 2020年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2086年出生的孩子属相为（ ）‎ A. 猴 B. 马 C. 羊 D. 鸡 ‎7. 下列结论正确的是（ ）‎ A. 若直线 与直线垂直，‎ 则 B. 若，，，则 ‎ C. 圆和圆公共弦长为 D. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强 ‎8. 在日常生活中，石子是我们经常见到的材料. 现有一棱长均为3的正四棱锥 ‎ 石料的顶角和底面一个角损坏，某雕刻师计划用一平行于底面的截面截四棱锥 分别交,,,于点，,,,做出一个体积最大的新的四棱锥 ‎，为底面的中心，则新四棱锥的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9. 某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、‎ 生物、政治、历史、地理6门学科中任选3门进行学习. 现有甲、乙、丙三人，若同学 甲必选物理，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 甲的不同的选法种数为10‎ B. 甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 C. 乙同学在选物理的条件下选化学的概率是 D. 乙、丙两名同学都选物理的概率是 ‎10. 函数的部分图像如图所示，则下列结论 正确的是（ ）‎ A. ‎ B. 若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数 C. 若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上 是增函数 D. ，若恒成立，则的最小值为 ‎11. 设是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的 斜率之积为，则下列结论正确的是（ ）‎ A. ‎ B. 以为直径的圆面积的最小值为 C. 直线过抛物线的焦点 D. 点到直线的距离不大于1‎ ‎12. 某同学对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的有（ ）‎ A. 函数的图象关于原点对称 B. 对定义域中的任意实数的值，恒有成立 C. 函数的图象与轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等 D. 对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减，‎ 且 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 某市举办了一次主题为“厉害了，我的国”的知识竞赛活动，为准备这次竞赛活动，‎ 对甲乙两个代表队的5次预选赛的成绩（单位：分）进行了统计，结果如下：‎ 代表队 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 ‎92‎ ‎96‎ ‎98‎ ‎95‎ ‎94‎ 乙 ‎94‎ ‎95‎ ‎97‎ ‎96‎ ‎93‎ 根据甲乙两队的成绩，为稳妥起见，你认为应该派出参赛代表队是 ▲ （填“甲”或“乙”）.‎ ‎14. 的展开式中的常数项为 ▲ .‎ ‎15. 双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右 焦点，为△的内心，若内切圆的半径为1，则直线的斜率等于 ▲ .‎ ‎16. 已知函数有两个不同的极值点，，则的取值范围是 ▲ ；‎ 若不等式有解，则的取值范围是 ▲ . ‎ ‎（第一个空2分，第二个空3分） ‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（10分）‎ 在中，分别为角所对的边，且.‎ ‎（1）求角.‎ ‎（2）若 ，求的最大值.‎ ‎18. (12分)‎ 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.‎ ‎① 成等差数列 ‎ ‎② 成等比数列 ‎ ‎③ ‎ 已知为数列{}的前项和，,,,且____________.‎ ‎（1）求数列的通项公式.‎ ‎（2）记，求数列的前项和.‎ ‎19.（12分）‎ 如图, 在直四棱柱中，,,,‎ ‎,分别为的中点，‎ ‎（1） 证明：∥平面.‎ ‎（2） 求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.（12分）‎ 已知椭圆（）的离心率是，原点到直线的距离等于. ‎ ‎（1）求椭圆的标准方程.‎ ‎（2）已知点，若椭圆上总存在两个点关于直线对称，且，求实数的取值范围．‎ ‎21.（12分）‎ 某车间用一台包装机包装葡萄糖，每袋葡萄糖的重量是一个随机变量，它服从正态分布.当机器工作正常时，每袋葡萄糖平均重量为0.5kg,标准差为0.015kg.‎ ‎（1）已知包装每袋葡萄糖的成本为1元，若发现包装好的葡萄糖重量异常，则需要将该袋葡萄糖进行重新包装，假设重新包装后的葡萄糖重量正常.若某袋葡萄糖的重量满足 ‎，则认为该袋葡萄糖重量正常. 问：在机器工作正常的情况下，至少包装多少袋葡萄糖才能使“至少有一袋包装好的葡萄糖重量正常”的概率大于0.98? 并求出相应成本的最小期望值.‎ ‎（2）某日开工后, 为检査该包装机工作是否正常, 随机地抽取它所包装的葡萄糖9袋，若抽取的9袋葡萄糖称得净重(kg)为：‎ ‎0.496， 0.508, 0.524, 0.519， 0.495, 0.510， 0.522， 0.513, 0.512.‎ 用样本平均数作为的估计值，以作为检验统计量，其中为样本总数，服从正态分布, 且.‎ ‎①若机器工作正常时, 每袋葡萄糖的重量服从的正态分布曲线如下图所示，且经计算 得上述样本数据的标准差0.022.请在下图（机器正常工作时的正态分布曲线）中，绘制出以该样本作为估计得到的每袋葡萄糖所服从的正态分布曲线的草图.‎ ‎②若, 就推断该包装机工作异常，这种推断犯错误的概率不超过，试以95%的可靠性估计该包装机工作是否正常.‎ 附: 若随机变量服从正态分布： ‎ ‎ ‎ 参考数据： ‎ ‎22.（12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1） 求曲线在处的切线方程，并证明：.‎ ‎（2） 当时，方程有两个不同的实数根，‎ 证明：.‎ 参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C A A C D B B A ‎1. 【答案】C ‎【解析】由可得 ‎，故选C.‎ ‎2. 【答案】A ‎【解析】 由复数的几何意义可知，复数在复平面内对应的点在以（2,3）为圆心，‎ ‎1为半径的圆上, 所以在复平面内对应的点在第一象限. 故选A.‎ ‎3. 【答案】A ‎【解析】圆心, 半径，圆心到直线的距离 若，则，直线与圆相切；‎ 若直线与圆相切，则, 解得或 所以是与圆相切的充分不必要条件. 故选A ‎4. 【答案】C ‎【解析】 ‎ ‎，即 ‎ . 故选C.‎ 5. ‎【答案】D ‎【解析】 设为的中点，则，‎ 所以，即.‎ 又因为三点共线，且在线段上，‎ 所以，，所以，‎ 当且仅当时取等号. 故选D.‎ ‎6. 【答案】B ‎【解析】六十甲子，周而复始，无穷无尽，即周期是60,2086年和2026年一样，2020年是庚子年，2021是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是葵卯年，2024是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，则2086年出生的孩子属相为马. 故选B.‎ ‎7. 【答案】B ‎【解析】若直线 与直线垂直，则或. 故A错误.‎ ‎，而 ‎. 故B正确.‎ 圆和圆 相交.‎ 由可得公共弦所在直线方程 到直线的距离 公共弦长. 故C错误.‎ 线性相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强. 故D错误. 故选B.‎ ‎8. 【答案】A ‎【解析】 因为平面与平面平行，所以四边形与四边形相似，所以四边形为正方形，设 所以，‎ 易知四棱锥与四棱锥的高的比为,‎ 设，，‎ 则当时，，当时，，‎ 所以时，取得最大值.此时,‎ 所以四棱锥的表面积为. 故选A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 全部选对的得5分，部分选对的 得3分，有选错的得0分.‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 AD ABD BCD BD ‎9. 【答案】AD ‎【解析】由于甲必选物理，故只需从剩下5门课中选两门即可，即种选法. 故A正确；甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件. 故B错误；由于乙同学选了物理，乙同学选化学的概率是. 故C错误；‎ 乙、丙两名同学各自选物理的概率, 故乙、丙两名同学都选物理的概率是，故D正确. 故选AD.‎ ‎10.【答案】ABD ‎【解析】如图所示：，， ，，‎ ‎. 故A正确.‎ 把的图像向左平移个单位，则所得函数,是奇函数. 故B正确.‎ 把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数，‎ ‎，‎ 在上不单调递增. 故C错误.‎ 由可得 恒成立.‎ 令 则，‎ ‎ ，，‎ 的最小值为. 故D正确. 故选ABD ‎11.【答案】BCD ‎【解析】若与轴垂直，设直线为 则，，‎ ‎ ‎ 即 ，. 故A错误 由题意可知直线斜率存在，设直线的方程为 由得：‎ 由得 设，则，‎ 此时直线的方程为，恒过定点. 故C正确.‎ 因为. 故B正确 因为. 故D正确. 故选BCD ‎12.【答案】BD ‎【解析】对于A项：‎ 函数的定义域为，‎ 为偶函数，图象关于轴对称. 故A错误 对于B选项：‎ 由A项知为偶函数，当时，‎ 令，‎ ‎，‎ 在上单调递增. ，即恒成立 . 故B正确 对于C项：‎ 函数的图象与轴的交点坐标为 交点与间的距离为，而其余任意相邻两点之间的距离为. 故C错误.‎ 对于D项：‎ ‎，‎ 即,即.‎ 当时,,,区间长度为对于任意常数，存在常数，‎ 使在上单调递减且. 故选BD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 【答案】 乙 ‎【解析】，‎ 由于甲、乙两队成绩的平均数相同，乙队成绩更为稳定，为稳妥起见，应派乙队参赛. ‎ ‎14.【答案】 304‎ ‎【解析】的展开式的通项公式为 由题意可知：，‎ 时，‎ 时，‎ 展开式中的常数项为240＋64＝304 ‎ ‎15.【答案】 ‎ ‎【解析】设与圆的切点分别为.‎ 则，所以 又，解得 连接 则；‎ ‎16.【答案】；‎ ‎【解析】由题可得（），因为函数有两个不同的极值点，，所以方程有两个不相等的正实数根，‎ 于是有解得.‎ 若不等式有解，所以 因为 ‎.‎ 设，‎ ‎，故在上单调递增，故，‎ 所以，所以的取值范围是.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.‎ ‎17.（10分）‎ 解：（1）即 ………………………………….1分 ‎ ……………………………………………………………………………2分 ‎ ‎ ‎ ……………………………………………………………………………………3分 ‎（2）由可得，………………………4分 ‎ ………………………………………………………………5分 ‎ ………………………………………………………6分 ‎（其中） ………………………………………9分 的最大值为…………………………………………………………………10分 ‎18.（12分）‎ 解：（1）由已知，时，‎ 两式相减得到，即………………………………………………2分 因为是一个与无关的非零常数，，‎ 所以,数列是公比为的等比列………………………………………………………3分 从而 ………………………………………………………………………4分 方案一：选①‎ 由成等差数列 可得，即，解得，‎ 所以 ……………………………………………………………………6分 方案二：选②‎ 由成等比数列可得，解得 所以 ……………………………………………………………………6分 方案三：选③‎ 由即解得 所以 ……………………………………………………………………6分 ‎（2）当为奇数时，………….7分 记前项和中奇数项和为，则 ‎…………………………………8分 当为偶数时，………………………………………………….9分 记前项和中偶数项和为，则 ‎…………………………………………………10分 故 ………………………………………………12分 ‎19.（12分）‎ 解：（1）连接,,易知侧面为矩形，‎ 为的中点，为的中点.‎ 为的中点, …………………………………………………2分 平面, 平面………………………………………………4分 ‎∥平面………………………………………………………………………5分 ‎（2）在平面中，过点作，易知平面,‎ 故以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，‎ 设,‎ 则，，‎ ‎， ，‎ ‎,,………………………7分 设平面的法向量为,‎ 由 即 解得 ‎ 令 得，所以 ……………………………………………9分 ‎…………………………………11分 所以直线与平面所成角的正弦值为……………………………………12分 ‎20.（12分）‎ 解：（1）由， ……………………………………………………2分 得，， …………………………………………………………………………3分 所以椭圆的标准方程为． …………………………………………………4分 ‎（2）根据题意可设直线的方程为，‎ 联立，整理得，…………………………………5分 由，得．‎ 设，，则，…………6分 又设的中点为，则，.‎ 由于点在直线上，所以，得………………………7分 代入，得，所以 ①……………………………8分 因为，，‎ 所以 ‎.‎ 由，得，即 所以，即 ②…………………………10分 由①②得. …………………………………………………………………11分 故实数的取值范围为. ……………………………………………12分 ‎21.（12分）‎ 解：（1）由题意可知，机器工作正常的情况下毎袋葡萄糖的重量服从正态分布 …………………………………………………………………………1分 设为次独立重复包装葡萄糖重量正常的袋数.‎ 由,知服从二项分布 .‎ 于是 ………………………………2分 ‎ 即 解得： ………………………………3分 故需至少包装4袋葡萄糖，才能使“至少有一袋包装的葡萄糖重量正常”的概率大于0.98.‎ ‎…………………………………………4分 而 故相应成本 …………………………………………………………5分 ‎，‎ 所以相应成本的最小期望值为5.2696元.…………………………………………………6分 ‎（2）①如图所示，经计算得 ‎,‎ ‎（绘图时只需保证在的右侧，且峰值略低于原图像峰值）…………………………9分 ‎②易得, ，， ‎ 所以在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为该包装机工作异常，应该进行调试.…12分 ‎22.（12分）‎ 解:（1）因为,‎ 所以,, 即切线方程： ………………………………………2分 下证：，‎ 令 ‎, 显然在上单调递增，且 所以，在递减，在递增，‎ 所以.‎ 所以. ……………………………………………………………………5分 ‎（2），为方程的两根，不妨设，‎ 显然在上单调递增.‎ 所以存在, 使 当，，递减；，，递增. ……6分 由，得，又由（1）知 所以：,‎ 要证：，需证：，即证：…………………8分 ‎，，即证：.‎ 即：……………………………………9分 令 ‎，‎ 显然在单调递增，且.‎ 所以，，在单调递增. …………………………………………11分 所以 所以不等式成立. ……………………………………………………………………………12分