命题角度5-3 直线与抛物线位置关系（第01期）-2018年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列（解析版）

命题角度5-3 直线与抛物线位置关系（第01期）-2018年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列（解析版）

‎2018届高考数学（文）大题狂练 命题角度3：直线与抛物线位置关系 ‎1．已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为，直线与抛物线相交于不同的，两点．‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）如果直线过抛物线的焦点，求的值；‎ ‎（3）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．‎ ‎【答案】（1）;（2）∴;（3）．‎ ‎【解析】【试题分析】（1）借助题设与已知条件待定抛物线的参数即可；（2）依据题设条件，建立直线方程与抛物线方程联立方程组，运用向量的坐标形式求解：（3）先假设存在，再运用所学知识分析探求。‎ ‎（3）解：假设直线过定点，设：与联立，得，‎ 设，，∴，．‎ 由，解得，‎ ‎∴：过定点．‎ 点睛：本题的设置旨在考查抛物线的标准方程与直线与抛物线的位置关系等基础知识与基本方法的综合运用。求解第一问时，直接借助题设条件求出参数的值使得问题获解；解答第二问时，将直线方程与抛物线方程联立，借助向量的坐标形式的数量积公式求解，使得问题获解；第三问的求解则借助坐标之间的关系建立方程推得直线过定点，使得问题获解。‎ ‎2.已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且.‎ ‎（1）当取得最小值时，求的值；‎ ‎（2）当时，若直线与抛物线相交于两点，与圆相交于、两点，为坐标原点，，试问：是否存在实数，使得的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，的长为定值2.‎ ‎【解析】试题分析：（1）依据题设条件建立函数关系运用基本不等式求解；（2）借助直线与抛物线的位置关系，运用坐标之间的关系分析探求;‎ ‎（2）当时，，则抛物线.‎ 设直线，代入得，设，‎ 则，，‎ 因为，所以，‎ 即，‎ 又，则，‎ 所以直线过定点，故当时，的长为定值2.‎ ‎3. 已知抛物线的准线为，焦点为， 为坐标原点.‎ ‎（1）求过点，且与相切的圆的方程；‎ ‎（2）过的直线交抛物线于两点， 关于轴的对称点为，求证：直线过定点.‎ ‎【答案】（1）;（2）见解析. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）圆过可得，圆与直线相切，可得.‎ 由，得.从而得圆的方程.‎ 试题解析：解法一：（1）抛物线的准线的方程为： ，焦点坐标为，‎ 设所求圆的圆心，半径为， 圆过， ，‎ 圆与直线相切， .‎ 由，得.‎ 过，且与直线相切的圆的方程为.‎ ‎（2）依题意知直线的斜率存在，设直线方程为，‎ ‎， ， ， ，‎ 联立，消去得.‎ ‎， .‎ 直线的方程为，‎ 令，得 .‎ 直线过定点 ,‎ 解法二：（1）同解法一.‎ ‎（2）直线过定点.‎ 证明：依题意知直线的斜率存在，设直线方程为，‎ ‎， ， ， ，‎ 联立，消去得，‎ ‎， .‎ ‎ ，‎ ‎.‎ ‎，即， 三点共线， 直线过定点.‎ 解法三：（1）同解法一.‎ ‎（2）设直线的方程： ， ， ，则.‎ 由得， .‎ ‎， .‎ ‎， 直线的方程为.‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 直线过定点.‎ 点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎4.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点.‎ ‎（1）求抛物线的方程以及的值；‎ ‎（2）记抛物线的准线与轴交于点，若， ，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）2（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据椭圆标准方程求焦点坐标，再根据抛物线标准方程得，最后求出A点坐标，并根据抛物线定义求的值；（2）设，则根据，得，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理得，再将化成坐标关系40，解方程组可得， .‎ 试题解析：（1）依题意，椭圆中， ，故，‎ 故，故，则，故抛物线的方程为.‎ 将代入，解得，故.‎ 易得，则，‎ 则 ‎，‎ 当，解得，故.‎ ‎5. 设圆以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线有且只有一个公共点.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）过点作圆的两条切线与抛物线分别交于点，和，，求经过，，,四点的圆的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（2）设过点与圆相切的斜率为正的一条切线的切点为，‎ 连接，则，且，，∴，‎ 则直线的方程为，与联立，得，‎ 记直线与抛物线的两个交点为，，则，，‎ ‎，从而的垂直平分线的方程为，‎ 令，得，由圆与抛物线的对称性，可知圆的圆心为，‎ ‎，‎ 又点到直线的距离，∴圆的半径，‎ ‎∴圆的方程为. ‎ 考点：1.抛物线的标准方程及其性质；2.圆的标准方程及其性质．‎ ‎【名师点睛】对于圆锥曲线的综合问题，①要注意将曲线的定义性质化，找出定义赋予的条件；②要重视利用图形的几何性质解题(本书多处强调)；③要灵活运用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、判别式等解题，巧妙运用“设而不求”、“整体代入”、“点差法”、“对称转换”等方法.‎ ‎6. 如图，已知抛物线：，过焦点斜率大于零的直线交抛物线于、两点，且与其准线交于点．‎ ‎（Ⅰ）若线段的长为，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）在上是否存在点，使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列，若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点或，使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列． ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）因为直线过焦点，所以设直线，与抛物线方程联立，转化为，利用焦点弦长公式，，解得直线方程；‎ ‎（Ⅱ）设，用坐标表示直线的斜率，若成等差数列，那么,代入（1）的坐标后，若恒成立，解得点的坐标.‎ 试题解析：（Ⅰ）焦点∵直线的斜率不为，所以设，‎ ‎， 由得，‎ ‎，，‎ ‎，， ‎ ‎∴， ∴． ∴直线的斜率，‎ ‎∵，∴， ∴直线的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）设，， ‎ 同理，，‎ ‎∵直线，，的斜率始终成等差数列，‎ ‎∴恒成立，‎ 即恒成立．‎ ‎∴， ‎ 把，代入上式，得恒成立，．‎ ‎∴存在点或，使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列． ‎ 考点：1.抛物线的几何性质；2.直线与抛物线的位置关系.‎ ‎【方法点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系问题，属于难题，对于本题的第二问，考查的是恒成立的问题，若存在，说明与直线无关，即与直线的斜率无关，可求得定点M,解析几何中有很多未知量，要通过设直线，设点的坐标，再根据条件进行消元，从而化简，例如本题，通过设点的坐标表示斜率，再通过直线方程与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，通过消元得到点M的坐标与直线斜率的关系，组合通过恒成立解决.‎ ‎7. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，抛物线上的点到其焦点的距离等于5.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，若，求三角形的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）显然直线的斜率存在，设其斜率为，由于过焦点，‎ 所以直线的方程为， ‎ 取的中点，连接，则，由于，所以点也是线段的中点，‎ 设、、，则，‎ 由得，所以，‎ ‎，，即 ‎ ‎，即，‎ 整理得，即，‎ 原点到直线的距离为 考点：直线与圆锥曲线的位置关系．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎8.已知抛物线，焦点为，点在抛物线上，且到的距离比 到直线的距离小1.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若点为直线上的任意一点，过点作抛物线的切线与，切点分别为，求证:直线恒过某一定点.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据抛物线定义可得直线为抛物线的准线，即得，（2）关键求出直线AB方程，先设切点的坐标，利用导数几何意义可得切线斜率，进而根据点斜式可得切线方程，求两切线方程交点可得点坐标，由于点在直线上，所以可得.最后联立AB方程与抛物线方程，利用韦达定理得，即得直线恒过定点.‎ 试题解析：（1）因为到的距离与到直线的距离相等，由拋物线定义知，直线为抛物线的准线，所以，得,所以抛物线的方程为. ‎ ‎（2）设切点的坐标分别为，由(1)知， .‎ 则切线的斜率分别为,,‎ 故切线 的方程分别为, ,‎ 联立以上两个方程，得故的坐标为.‎ 因为点在直线上，所以，即.‎ 设直线的方程为，代入抛物线方程，得，所以，即，所以.‎ 故的方程为,故直线恒过定点.‎ ‎9. 如图，已知抛物线与圆相交于两点，且点 的横坐标为.过劣弧上动点作圆的切线交抛物线于两点，分别以为切点作抛物线的切线， 与相交于点.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）求点到直线距离的最大值.‎ ‎【答案】（1）;（Ⅱ）当且仅当时， .‎ ‎【解析】试题分析：(1) 且在圆上可得点坐标，代入抛抛线方程可得.‎ ‎(2) 设两切点， ，结合导数求两切线和其交点为,‎ 又由得从而为.再利用点到线的距离公式求解即可.‎ 试题解析：（1）由得，故.‎ 于是，抛物线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设， ，切线： ，‎ 代入得，由解得,‎ 方程为，同理方程为,‎ 联立，解得,‎ 易得方程为，其中， 满足， ,‎ 联立方程得，则,‎ ‎∴满足,即点为.‎ 点到直线： 的距离 关于单调减，故当且仅当时， .‎ ‎10.设抛物线：（）的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，且．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）为抛物线上不与原点重合的一点，点是线段上异于点，的任意一点，过点作轴的垂线依次交抛物线和轴于点，，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ ‎（1）解：由抛物线定义知，所以，‎ ‎∴该抛物线的方程为．‎ ‎（2）证明：如图，设过点的垂线为，‎ 联立得即点．‎ 令，则，：，‎ 联立得即点，‎ ‎∴，，则，∴，‎ ‎∴．‎ 考点：直线与圆锥曲线位置关系.‎ ‎【方法点晴】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系.第一问结合抛物线的定义“到定点的距离和到定直线距离相等”，确定的值，求得抛物线的方程.第二问是典型的由直线和曲线相交得到点，再得到直线，又和曲线相交.我们只需按照题目叙述的这个过程，先从点的垂线出发，得到的坐标，进而得到点的坐标，然后代入，证明两边相等即可.‎