湖南省三湘名校教育联盟2020届高三上学期第一次大联考数学（文）试题

湖南省三湘名校教育联盟2020届高三上学期第一次大联考数学（文）试题

三湘名校教育联盟·2020届高三第一次大联考 文科数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得集合，得到或，再根据集合的交集运算，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，集合，，‎ 则或，所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念和运算，以及正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎2.若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由复数的除法得，再求其共轭复数即可得解.‎ ‎【详解】由，可得.‎ 在复平面内对应的点为位于第三象限.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.‎ ‎3.“”是“”的（）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据以及充分不必要条件的定义可得.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以Ü,‎ 所以”是“”的充分不必要条件.‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基础题.‎ ‎4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，丙所得为（ ）‎ A. 钱 B. 1钱 C. 钱 D. 钱 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a＝﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5即可得解．‎ ‎【详解】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，‎ 则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，‎ 又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5，∴a＝1，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列应用，属于基础题.‎ ‎5.已知函数，是的导函数，则函数的图像大致为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，显然是奇函数，求导易得在R上单调递增.‎ ‎【详解】因为，显然是奇函数，‎ 又,所以在R上单调递增.只有C符合,‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题.‎ ‎6.已知，均为单位向量，，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合向量数量积的性质可求，代入即可求解．‎ ‎【详解】解：，均为单位向量，且，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．‎ ‎7.在中，，，，则的面积为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，进而得，再利用面积公式即可得解.‎ ‎【详解】因为，解得.‎ 所以.‎ 所以的面积为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算及三角形的面积公式，属于基础题.‎ ‎8.要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角恒等变换的公式，化简得，再结合三角函数的图象的变换，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数 ‎，‎ 将向左平移个单位，可得，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角恒等变换的应用，其中解答中熟练利用三角恒等变换的公式，化简得到的解析式，再结合三角函数的图象变换求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9.设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数的运算化简可得，，结合对数函数的性质，求得，又由指数函数的性质，求得，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，对数的运算公式，可得，‎ ‎，‎ 又由，所以，即，‎ 由指数函数性质，可得，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎10.定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性和可推出函数的周期为4,再根据周期性可求得.‎ ‎【详解】∵，，‎ ‎∴，，．‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性,对称性,周期性,属中档题.‎ ‎11.设函数，若关于x的方程对任意的有三个不相等的实数根，则a的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为当时，恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得.‎ ‎【详解】因为关于x的方程对任意的有三个不相等的实数根 所以当时， ，有一根，‎ 当时，恒有两个正根，由二次函数的图象可知 对任意的恒成立，所以 解得．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题.‎ ‎12.已知是的导函数，且，，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意构造函数，借助函数的单调性解不等式即可.‎ ‎【详解】令，则，‎ ‎∴在R上为增函数，∴可化为，∴．‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.函数的单调递减区间为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合函数的单调性“同增异减”判断即可．‎ ‎【详解】令函数x2+2x﹣3＝u，（u＞0）则y＝lgu是增函数，‎ 函数u＝x2+2x﹣3，开口向上，对称轴为x，‎ ‎∵u＞0，‎ 即x2+2x﹣3＞0，‎ 解得：x＞1或x．‎ ‎∴函数u在单调递减，‎ 根据复合函数的单调性“同增异减”可得该函数单调递减区间为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了复合函数的单调性，复合函数的单调性遵循“同增异减”，属于基础题.‎ ‎14.已知向量，，且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量平行可得，结合可得，结合诱导公式化简得即可得解.‎ ‎【详解】向量，，且，所以.‎ ‎.‎ 由，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量共线的向量表示及同角三角函数关系，属于基础题.‎ ‎15.已知是偶函数，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数的定义,由 恒成立可得.‎ ‎【详解】由得，∴ ，．‎ ‎【点睛】本题考查了偶函数的性质,属基础题.‎ ‎16.已知数列的前项和为，，，则当取最大值时，的值为______.‎ ‎【答案】674‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简条件可得，进而得，利用反比例函数的性质分析数列的单调性即可得解.‎ 详解】由，可得.‎ 所以.‎ 从而有：是以为首项，-1为公差的等差数列.‎ 所以，所以.‎ 当时，递增，且；‎ 当时，递增，且.‎ 所以当时，取最大值.‎ 故答案为：674.‎ ‎【点睛】本题主要考查了和的递推关系，考查了数列的单调性，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知等差数列的前项和为，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由等差数列的基本量表示项与和，列方程组求解即可；‎ ‎（2）先求得，再利用裂项求和即可得解.‎ ‎【详解】解析：（1）设公差为，则，解得，∴.‎ ‎（2），‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量运算及裂项求和，属于基础题.‎ ‎18.在中，角所对的边分别为，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）为边上一点，，，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：（1）由余弦定理可得，从而可得，进而得解；‎ ‎（2）在中，由正弦定理可得：,①，在中， ,②，联立①和②可得解.‎ 详解：（1）由已知条件和余弦定理得：‎ ‎ ‎ 即： ‎ 则 ‎ 又， .‎ ‎（2）在中，由正弦定理可得：,① ‎ 在中， ,②‎ 由①②可得：，即：,‎ 化简可得：.‎ 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎ ‎19.设函数.‎ ‎（1）求的最小正周期、最大值及取最大值时的取值集合；‎ ‎（2）讨论在区间上单调性.‎ ‎【答案】（1）最小正周期；当时，最大值为（2）递增区间为，递减区间为,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由三角恒等变换的公式，化简函数，再结合三角函数的图象与性质，即可求解；‎ ‎（2）由，可得，结合正弦函数的图象与性质，即可求解函数的单调区间.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数 ‎，‎ 所以的最小正周期，‎ 当，即时，取最大值为.‎ ‎（2）由，可得，‎ 结合正弦函数的图象与性质，可得：‎ 当，即，函数单调递减；‎ 当，即，函数单调递增；‎ 当，即，函数单调递减，‎ 综上可得，函数的单调递增区间为，‎ 单调递减区间为与上单调递减.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的恒等变换，求得函数的解析式，再结合三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎20.已知数列满足且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先令得，再由，与条件作差得；‎ ‎（2）由，利用错位相减法求和即可.‎ ‎【详解】解析：（1）当时，，由得.‎ 当时，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵也适合，∴.‎ ‎（2），‎ ‎∴，，‎ 两式相减得，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了和与项的递推关系及错位相减法求和，属于中档题.‎ ‎21.设函数.‎ ‎（1）若在其定义域上是增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，在上存在两个零点，求的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2)-2.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由在其定义域上是增函数，∴恒成立，转化为最值问题，然后进行分离参数求解新函数单调性研究最值即可.（2）当时，，得出函数的单调性和极值，然后根据在上存在两个零点，列出等价不等式求解即可.‎ 详解：‎ ‎（1）∵定义域为，，‎ ‎∵在其定义域上是增函数，∴，，‎ ‎∵，∴实数的取值范围是.‎ ‎（2）当时，，‎ 由得，由得，‎ ‎∴在处取得极大值，在处取得极小值，‎ ‎∴是一个零点，当，，故只需且，‎ ‎∵，，∴的最大值为-2.‎ 点睛：考查导函数的单调性的应用以及零点问题，对于此类题型求参数的取值范围，优先要想到能否参变分离，然后研究最值即可，二对于零点问题则需研究函数图像和x轴交点的问题，数形结合解此类题是关键，属于较难题.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)当 时,利用导数的几何意义求得切线的斜率,再由点斜式求得切线方程;‎ ‎(2)当 时,将恒成立转化为恒成立,由 使不等式成立得到,然后构造函数求导,对分三种情况讨论可得.‎ ‎【详解】（1）当时，，．‎ ‎，，∴切线方程为，即．‎ ‎（2）当时，，即，令，则，，‎ 当时，，满足题意；‎ 当时，，∴在上递增，由与的图像可得在上不恒成立；‎ 当时，由解得，当时，，当时，，∴在上的最小值为，∴，解得．‎ 综上可得实数a的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义,不等式恒成立,利用导数求函数的最值,属难题.‎ ‎ ‎