高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4-1-2第2课时指数函数的性质与图像的应用课件新人教B版必修第二册

高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4-1-2第2课时指数函数的性质与图像的应用课件新人教B版必修第二册

第四章　指数函数、对数函数与幂函数 4.1 　指数与指数函数 4.1.2　指数函数的性质与图像 第 2 课时　指数函数的性质与图像的应用 必备知识 · 探新知 关键能力 · 攻重难 课堂检测 · 固双基 素养作业 · 提技能 素养目标 · 定方向 素养目标 · 定方向 课程标准 学法解读 1. 进一步熟练掌握指数函数的图像、性质． 2 ．会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性． 3 ．能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式． 1. 通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，提升学生的逻辑推理素养． 2 ．借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，提升学生的数学运算及数学抽象素养． 必备知识 · 探新知 底数与指数函数图像的关系 知识点 一 下　 上　 由大变小　 (1) 形如 a f ( x ) ＞ a g ( x ) 的不等式，可借助 y ＝ a x ( a ＞ 0 且 a ≠1) 的 __________ 求解； (2) 形如 a f ( x ) ＞ b 的不等式，可将 b 化为以 a 为底数的指数幂的形式，再借助 y ＝ a x ( a ＞ 0 且 a ≠1) 的 __________ 求解； (3) 形如 a x ＞ b x 的不等式，可借助两函数 y ＝ a x ( a ＞ 0 且 a ≠1) ， y ＝ b x ( b ＞ 0 且 b ≠1) 的图像求解． 解指数型不等式 知识点 二 单调性　 单调性　 一般地，形如 y ＝ a f ( x ) ( a ＞ 0 且 a ≠1) 函数的性质有： (1) 函数 y ＝ a f ( x ) 与函数 y ＝ f ( x ) 有 ________ 的定义域． (2) 当 a ＞ 1 时，函数 y ＝ a f ( x ) 与 y ＝ f ( x ) 具有 ________ 的单调性；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数 y ＝ a f ( x ) 与 y ＝ f ( x ) 具有 ________ 的单调性． 与指数函数复合的函数单调性 知识点 三 相同　 相同　 相反　 思考： (1) 指数函数 y ＝ a x ( a ＞ 0 且 a ≠1) 的单调性取决于哪个量？ (2) 如何判断形如 y ＝ f ( a x )( a ＞ 0 且 a ≠1) 的函数的单调性？ 提示： (1) 指数函数 y ＝ a x ( a ＞ 0 且 a ≠1) 的单调性与其底数 a 有关，当 a ＞ 1 时， y ＝ a x ( a ＞ 0 且 a ≠1) 在定义域上是增函数，当 0 ＜ a ＜ 1 时， y ＝ a x ( a ＞ 0 且 a ≠1) 在定义域上是减函数． (2) ① 定义法，即 “ 取值 — 作差 — 变形 — 定号 ” ． 其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性； ② 利用复合函数的单调性 “ 同增异减 ” 的规律． 关键能力 · 攻重难 指数函数性质的简单应用 题型探究 题型 一 典例剖析 典例 1 [ 解析 ] 　 (1) 考查指数函数 y ＝ 1.7 x ， 由于底数 1.7 ＞ 1 ，所以指数函数 y ＝ 1.7 x 在 ( － ∞， ＋ ∞ ) 上是增函数． ∵ 2.5 ＜ 3 ， ∴ 1.7 2.5 ＜ 1.7 3 ． (2) 考查函数 y ＝ 0.8 x ，由于 0 ＜ 0.8 ＜ 1 ， 所以指数函数 y ＝ 0.8 x 在 ( － ∞， ＋ ∞ ) 上为减函数． ∵ － 0.1 ＞ － 0.2 ， ∴ 0.8 － 0.1 ＜ 0.8 － 0.2 ． (3) 由指数函数的性质得 1.7 0.3 ＞ 1.7 0 ＝ 1 ，　　　 0.9 3.1 ＜ 0.9 0 ＝ 1 ， ∴ 1.7 0.3 ＞ 0.9 3.1 ． 规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法： 1 ． 把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较． 2 ．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选 1 ，两个数都与这个中间量进行比较． 对点训练 形如 y ＝ a f ( x ) 类型函数的单调性与值域 题型 二 典例剖析 典例 2 [ 分析 ] 　 利用复合函数单调性的原则 “ 同增异减 ” 求解 规律方法：复合函数的单调性、值域 (1) 分层：一般分为外层 y ＝ a t ，内层 t ＝ f ( x ) ． (2) 单调性复合：复合法则 “ 同增异减 ” ，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数． (3) 值域复合：先求内层 t 的值域，再利用单调性求 y ＝ a t 的值域． 对点训练 [1 ，＋∞ ) 　 指数函数性质的综合应用 题型 三 典例剖析 典例 3 B 　 特别提醒： 已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小． 对点训练 m ≥ － 5 　 (2) 因为 f ( x ) 是定义在 [ － 2,2] 上的奇函数， 所以 f (0) ＝ 0 ，当 x ∈ (0,2] 时， f ( x ) ＝ 2 x － 1 ∈ (0,3] ， 则当 x ∈ [ － 2,2] 时， f ( x ) ∈ [ － 3,3] ， 若对于 ∀ x 1 ∈ [ － 2,2] ， ∃ x 2 ∈ [ － 2,2] ， 使得 g ( x 2 ) ≥ f ( x 1 ) ， 则等价为 g ( x ) max ≥ 3 ， 因为 g ( x ) ＝ x 2 － 2 x ＋ m ＝ ( x － 1) 2 ＋ m － 1 ， x ∈ [ － 2,2] ，所以 g ( x ) max ＝ g ( － 2) ＝ 8 ＋ m ， 则满足 8 ＋ m ≥ 3 解得 m ≥ － 5 ． 典例剖析 典例 4 易错警示 课堂检测 · 固双基 素养作业 · 提技能