2020年高中数学第三章导数及其应用3

2020年高中数学第三章导数及其应用3

‎3.2 导数的计算 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．下列结论正确的是(　　)‎ A．若y＝cos x，则y′＝sin x B．若y＝sin x，则y′＝－cos x C．若y＝，则y′＝－ D．若y＝，则y′＝ 解析：A项，y＝cos x，则y′＝－sin x；‎ 答案：C ‎2．函数y＝x3·ax的导数是(　　)‎ A．(3＋xln a)x2ax B．(3＋ln a) x3ax C．(3＋ln a)xax D．(3＋ln a)ax 解析：∵y＝x3·ax，‎ ‎∴y′＝(x3·ax)′＝(x3)′ax＋x3(ax)′‎ ‎＝3x2ax＋x3·axln a ‎＝(3＋xln a)x2ax.选A.‎ 答案：A ‎3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　)‎ A．－1 B．－‎2 C．2 D．0‎ 解析：由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，所以‎4a＋2b＝2，即f′(－1)＝－‎4a－2b＝－(‎4a＋2b)＝－2.‎ 答案：B ‎4．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0的值为(　　)‎ A．－2 B．‎2 C. D．1‎ 解析：由题知y′1＝，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x 4‎ ‎0－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.‎ 答案：D ‎5．若函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，且f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(1)＝(　　)‎ A．24 B．－24‎ C．10 D．－10‎ 解析：∵f′(x)＝(x－1)′(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋(x－1)[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′‎ ‎＝(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋(x－1)[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′‎ ‎∴f′(1)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)＝24.‎ 答案：A ‎6．曲线y＝在点Q(16,8)处的切线的斜率是________．‎ ‎7．设f(x)＝ax2－bsin x，且f　′(0)＝1，f　′＝，则a＝________， b＝________.‎ 解析：∵f　′(x)＝2ax－bcos x，‎ f　′(0)＝－b＝1得b＝－1，‎ f　′＝πa＋＝，得a＝0.‎ 答案：0　－1‎ ‎8．(2015·高考陕西卷)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．‎ 解析：y′＝ex，曲线在点(0,1)处的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，‎ y＝(x＞0)的导数为y′＝－(x＞0)，曲线y＝(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－(m＞0)，由题意知k1k2＝－1，由此易得m＝1，n＝1，即点P的坐标为(1,1).‎ 答案：(1,1)‎ ‎9．求导．‎ y＝(x＋1)2(x－1)．‎ 解析：法一　y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1.‎ 法二　y＝(x2＋2x＋1)(x－1)‎ 4‎ ‎＝x3＋x2－x－1，‎ y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1.‎ ‎10．设f (x)＝a·ex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b的值．‎ 解析：由f(x)＝a·ex＋bln x，‎ ‎∴f′(x)＝a·ex＋，‎ 根据题意应有 解得所以a，b的值分别是1,0.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．函数f(x)＝excos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为(　　)‎ A．0 B. C．1 D. 解析：f′(x)＝excos x－exsin x，‎ ‎∴f′(0)＝e0(cos 0－sin 0)＝1，‎ ‎∴切线的倾斜角为.‎ 答案：B ‎2．若曲线y＝x2＋aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点的坐标为(　　)‎ A．(1,1) B．(2,3) C．(3,1) D．(1,4)‎ 解析：y＝x2＋aln x的定义域为(0，＋∞)，‎ 由导数的几何意义知y′＝2x＋≥2＝4，则a＝2，‎ 当且仅当x＝1时等号成立，代入曲线方程得y＝1，‎ 故所求的切点坐标是(1,1)．‎ 答案：A ‎3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x则f′(e)＝________.‎ 解析：∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，‎ ‎∴f′(x)＝‎2f′(e)＋，‎ 令x＝e，得f′(e)＝‎2f′(e)＋，∴f′(e)＝－.‎ 答案：－ ‎4．(2016·高考天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f 4‎ ‎′(0)的值为________．‎ 解析：由题意得f′(x)＝(2x＋3)ex，则得f′(0)＝3.‎ 答案：3‎ ‎5．求曲线y＝在点(2，)处的切线方程．‎ 解析：∵y＝，‎ ‎∴y′＝ ‎＝.‎ ‎∴y′|x＝2＝＝－.‎ 因此曲线y＝在点(2，)处的切线方程为 y－＝－(x－2)，‎ 即6x＋25y－32＝0.‎ ‎6．求满足下列条件的函数f(x)：‎ ‎(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；‎ ‎(2)f′(x)是一次函数，x‎2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.‎ 解析：(1)设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.‎ 由f(0)＝3，得d＝3.由f′(0)＝0，得c＝0.由f′(1)＝－3，f′(2)＝0可建立方程组解得 所以f(x)＝x3－3x2＋3.‎ ‎(2)由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数，‎ 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.‎ 把f(x)、f′(x)代入方程得 x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝1，‎ 即(a－b)x2＋(b－‎2c)x＋c－1＝0.‎ 要使对任意x方程都成立，则需a＝b，b＝‎2c，c＝1，‎ 解得a＝2，b＝2，c＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.‎ 4‎