2020年高中数学第三章导数在研究函数中的应用3

2020年高中数学第三章导数在研究函数中的应用3

‎3.3.3‎‎ 函数的最大（小）值与导数 ‎[课时作业] ‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．0 B. C. D. 解析：f　′(x)＝′＝＝，‎ 当x∈[0,1)时，f　′(x)>0，f(x)是增函数；‎ 当x∈(1,2]时，f　′(x)<0，f(x)是减函数．‎ ‎∴f(x)的最大值为f(1)＝.‎ 答案：B ‎2．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为(　　)‎ A．－37 B．－‎29 C．－5 D．－11‎ 解析：∵f　′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f　′(x)＝0得x＝0或2.∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)>f(2)>f(－2)，∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37.‎ 答案：A ‎3．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(　　)‎ A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值 解析：f　′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f　′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值．‎ 答案：D ‎4．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为(　　)‎ A．1 B．‎4 C．－1 D．0‎ 解析：∵f　′(x)＝3ax2，∴f　′(1)＝‎3a＝6，‎ ‎∴a＝2.‎ 当x∈[1,2]时，f　′(x)＝6x2>0，即f(x)在[1,2]上是增函数，‎ ‎∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20，‎ ‎∴c＝4.‎ 6‎ 答案：B ‎5．函数f(x)＝－x3＋3x在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－1，) B．(－1,2)‎ C．(－1,2] D．(1,4)‎ 解析：f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝±1.‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1,1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎  极小  极大  f(x)在R上的极小值f(－1)＝－2，极大值＝f(1)＝2.‎ 令－x3＋3x＝－2，即x3－3x－2＝0，(x＋1)2(x－2)＝0，‎ ‎∴x＝－1或x＝2.‎ ‎∵f(x)在区间(a2－12，a)上有最小值，∴a2－12＜－1＜a≤2，‎ 解得－1＜a≤2.‎ 答案：C ‎6．函数y＝的最大值为________．‎ 解析：函数的定义域为x＞0.‎ y′＝，令y′＝0得x＝e，当0＜x＜e时，f′(x)＞0，当x＞e时，f′(x)＜0，∴y最大＝＝ .‎ 答案： ‎7．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝的值域是________．‎ 解析：f′(x)＝＝＝.‎ 令f′(x)＝0得x＝0或x＝2(舍)，又f(0)＝0，‎ f(－1)＝e，f(1)＝，故f(x)在(－1≤x≤1)的值域为[0，e]．‎ 答案：[0，e]‎ ‎8．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________．‎ 解析：因为x∈(0,1]，f(x)≥0可化为a≥－.‎ 设g(x)＝－.‎ 6‎ 则g′(x)＝.‎ 令g′(x)＝0，得x＝.‎ 当00；‎ 当0，得a>－.‎ 所以当a>－时，f(x)在上存在单调递增区间，‎ 即f(x)在上存在单调递增区间时，a的取值范围为.‎ ‎(2)令f　′(x)＝0，得两根x1＝，‎ x2＝，‎ 所以f　′(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，‎ 在(x1，x2)上单调递增．‎ 当00，f(x)单调递增；‎ 当12或a<－1.‎ ‎∴a的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．设函数fn(x)＝n2x2(1－x)n(n为正整数)，则fn(x)在[0,1]上的最大值为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．1－ D．4()n＋2‎ 解析：因为fn′(x)＝2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n－1‎ ‎＝n2x(1－x)n－1[2(1－x)－nx]，‎ 令fn′(x)＝0，得x1＝0，x2＝1，x3＝，‎ 易知fn(x)在x＝时取得最大值，最大值为 fn()＝n2()2(1－)n＝4()n＋2.‎ 答案：D ‎2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为(　　)‎ A．0≤a<1 B．01，‎ 由得00时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．‎ 解析：(1)f　′(x)＝－a(x>0)，‎ ‎①当a≤0时，f　′(x)＝－a>0，‎ 即函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．‎ ‎②当a>0时，令f　′(x)＝－a＝0，可得x＝，‎ 当00；‎ 当x>时，f　′(x)＝<0，‎ 故函数f(x)的单调递增区间为，‎ 单调递减区间为.‎ ‎(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，∴f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－‎2a.‎ ‎②当≥2，即0

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