数学（理）卷·2018届河北省衡水中学高三上学期九模考试（2018

数学（理）卷·2018届河北省衡水中学高三上学期九模考试（2018

2017~2018 学年度上学期高三年级九模考试 数学理试卷 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若全集为实数集 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知 是虚数单位， 是 的共轭复数， ，则 的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．命题“ 且 ”的否定形式是（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 且 4．阅读如图所示的程序框图，若输入的 ，则该算法的功能是（ ） A．计算数列 的前 10 项和 B．计算数列 的前 9 项和 C．计算数列 的前 10 项和 R ( )1 2 log 2 1 0A x x  = − >    A =R 1 ,2  +∞   ( )1,+∞ [ )10, 1,2   +∞    [ )1, 1,2  −∞ +∞    i z z ( ) 1 i1 i 1 iz −+ = + z 1 2 1 2 − 1 i2 1 i2 − ( ),n N f n N∀ ∈ ∈ ( )f n n> ( ),n N f n N∀ ∈ ∉ ( )f n n≤ ( ),n N f n N∀ ∈ ∉ ( )f n n> ( )0 0,n N f n N∃ ∈ ∉ ( )0 0f n n≤ ( )0 0,n N f n N∃ ∈ ∉ ( )0 0f n n> 9k = { }12n− { }12n− { }2 1n − D．计算数列 的前 9 项和 5．直线 交椭圆 于 两点，若线段 中点的横坐标为 1， 则 （ ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 6．已知数列 为等差数列，且满足 ，若 ， 点 为直线 外一点，则 （ ） A．3 B．2 C．1 D． 7．“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流行多年的猜拳游戏.起源于中国，然后传 到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世家.其 游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石 头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”， “剪刀”胜 “布”，而“布”又胜“石头”，若所出的拳相同，则为和局.小军和大明两位同学进行“五 局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是 （ ） A． B． C． D． 8．如图，格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体 积为（ ） A． B． C． D． 9．已知函数 ，则下列说法错误的是（ ） A． 的图象关于直线 对称 { }2 1n − 4 0x y m+ + = 2 2 116 x y+ = A B、 AB m = { }na 1 2017OA a OB a OC= +   ( )AB ACλ λ= ∈R  O BC 1009a = 1 2 1 27 2 27 2 81 8 81 16 3 π 11 2 π 17 3 π 35 6 π ( ) sin cosf x x x= ( )f x 2x π= B． 在区间 上单调递减 C．若 ，则 D． 的最小正周期为 10．已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三点，动点满足 ， ，则点 的轨迹经过 的 （ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 11．已知函数 ， ，则 的 取值范围为（ ） A． B． C． D． 12．已知抛物线 ，圆 .过点 的直线 交圆 于 两点，交抛物线 于 两点，且满足 的直线 恰有三条，则 的取 值范围为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4 吨、 硝酸盐 18 吨；生产 1 车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐 1 吨、硝酸盐 15 吨，现库存磷酸盐 10 吨、硝酸盐 66 吨，在此基础上生产这两种混合肥料。如果生产 1 车皮甲种肥料，产生的 利润为 12000 元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 7000 元。那么可产生最大的利润是 元． 14．如图，为了测量河对岸 两点之间的距离，观察者找到一个点 ，从 点可以观 察到点 ；找到一个点 ，从 点可以观察到点 ：找到一个点 ，从 点可以 ( )f x 3 5,4 4 π π     ( ) ( )1 2f x f x= ( )1 2 4x x k k Z π π+ = + ∈ ( )f x 2π O , ,A B C P [ ), 0,2 cos cos OB OC AB ACOP AB B AC C λ λ  +  = + + ∈ +∞          P ABC∆ ( ) 2xf x me x nx= + + ( ){ } ( )( ){ }0 0x f x x f f x φ= = = ≠ m n+ ( )0,4 [ )0,4 [ ]0,4 ( )4,+∞ 2: 4M y x= ( ) ( )2 2 2: 1 0N x y r r− + = > ( )1,0 l N ,C D M ,A B AC BD= l r 30, 2r  ∈   ( ]1,2r ∈ ( )2,r ∈ +∞ 3 ,2r  ∈ +∞  A B、 C C A B、 D D A C、 E E 观察到点 ；并测得到一些数据： ， ， ， ， ， ， ，则 两点之间的距 离为 ．（其中 取近似值 ） 15．若两曲线 与 存在公切线，则正实数 的取值范围 是 ． 16．如图，在矩形 中， ， .四边形 为边长为 2 的正方形，现 将矩形 沿过点 的动直线 翻折，使翻折后的点 在平面 上的射影 落在 直线 上，若点 在折痕 上射影为 ，则 的最小值为 ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．） 17．已知 是等比数列 的前 项和， 成等差数列，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求出符合条件的所有 的集合；若不 存在，请说明理由. 18．已知正三棱柱 中， 分别为 的中点，设 . （1）求证：平面 平面 ； B C、 2CD = 2 3CE = 45D∠ = ° 105ACD∠ = ° 48.19ACB∠ = ° 75BCE∠ = ° 60E∠ = ° A B、 cos48.19° 2 3 2 1y x= − ln 1y a x= − a ABCD 4AB = 6BC = AEFG ABCD F l C AEFG 1C AB C l 2C 1 2 2 C C CC ns { }na n 4 2 3, ,s s s 2 3 4 18a a a+ + = − { }na n 2017ns ≥ n 1 1 1ABC A B C− E F、 1,BB AB 1AA AB λ= 1ACF ⊥ 1A EF （2）若二面角 的平面角为 ，求实数 的值，并判断此时二面角 是否为直二面角，请说明理由. 19．某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为 ；若初检不合格，则需要进行调试， 经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为 .每台仪器各项 费用如表： （1）求每台仪器能出厂的概率； （2）求生存一台仪器所获得的利润为 1600 元的概率（注：利润=出厂价-生产成本-检验费- 调试费）； （3）假设每台仪器是否合格相互独立，记 为生存两台仪器所获得的利润，求 的分布 列和数学期望. 20．如图，椭圆 的左右焦点分别为 ，离心率为 ；过 抛物线 焦点 的直线交抛物线于 两点，当 时， 点在 轴 上的射影为 ，连结 并延长分别交 于 两点，连接 ； 与 的面积分别记为 ，设 . （1）求椭圆 和抛物线 的方程； （2）求 的取值范围. 1F EA C− − 3 π λ 1E CF A− − 3 4 4 5 X X ( )2 2 1 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 1 2F F、 3 2 2 2 : 4C x by= F M N、 7 4MF = M x 1F ,NO MO 1C A B、 AB OMN∆ OAB∆ ,OMN OABS S∆ ∆ OMN OAB S S λ ∆ ∆ = 1C 2C λ 21．（1）讨论函数 的单调性； （2）证明：当 时，函数 有最小值.设 的最小值为 ，求函数 的值域. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，直线 过 ，倾斜角为 ，以 为极点， 轴在平面 直角坐标系 中，直线 ，曲线 （ 为参数），坐 标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求 的极坐标方程； （2）若曲线 的极坐标方程为 ，且曲线 分别交 于点 两点，求 的最大值. 23．选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）若函数 的最小值为 2，求实数 的值； （2）若命题“存在 ，满足不等式 ”为假命题，求实数 的取值 范围. ( ) 2 e2 xxf x x −= + [ )0,1a∈ ( ) ( )2 e 0 x ax ag x xx − −= > ( )g x ( )h a ( )h a xOy l ( )2,0M ( )0α α ≠ O x xOy 1 : 3 4 0C x y+ − = 2 cos: 1 sin xC y ϕ ϕ =  = + ϕ O x 1 2,C C 3C 0,0 2 πθ α ρ α = > < <   3C 1 2,C C ,A B OB OA ( ) ( )3f x x a x a= − + + ∈R ( )f x a [ ]0 0,1x ∈ ( )0 05f x x> + a 2017~2018 学年度上学期高三年级九模考试 数学试卷参考答案 一、选择题 1-5:DACBA 6-10:DBACA 11、12：BC 二、填空题 13．38000 元 14． 15． 16． 三、解答题 17．解：（1）设等比数列 的公比为 ，则 ， . 由题意得 ， 即 ，解得 ， 故数列 的通项公式为 . （2）由（1）有 . 若存在 ，使得 ， 10 ( ]0,2e { }na q 1 0a ≠ 0q ≠ 2 4 3 2 2 3 4 18 S S S S a a a − = −  + + = − ( ) 2 3 2 1 1 1 2 1 1 18 a q a q a q a q q q − − = + + = − 1 3 2 a q =  = − { }na ( ) 13 2 n na −= × − ( ) ( ) ( )3 1 2 1 21 2 n n nS  − − = = − −− − n 2017nS ≥ 则 ，即 . 当 为偶数时， ，上式不成立； 当 为奇数时， ， 即 ，则 . 综上，存在符合条件的正整数 ，且 的集合为 . 18．解：（1）因为正三棱柱 ，所以 平面 ， 所以 ， 又 是正三角形， 为 中点， 所以 ，又 故 平面 ，又 平面 ， 所以平面 平面 . （2）如图，以 为坐标原点， 方向为 轴， 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，不妨设底边长 ，由题意 ，则 ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量 则 ，令 ， 则 由（1）可知 为平面 的一个法向量 故 ，计算可得： ( )1 2 2017n− − ≥ ( )2 2016n− ≤ − n ( )2 0n− > n ( )2 2 2016n n− = − ≤ − 2 2016n ≥ 11n ≥ n n { }2 1, , 5n n k k N k= + ∈ ≥ 1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC 1AA CF⊥ ABC∆ F AB CF AB⊥ 1AB AA A= CF ⊥ 1A EF CF ⊂ 1ACF 1ACF ⊥ 1A EF F ,FB FC  x y 2AB = 1 2AA λ= ( )0,0,0F ( )1 1,0,2A λ− ( )1,0,E λ ( )0, 3,0C ( )1, 3,EC λ= − − ( )0, 3,0FC = ( )1 2,0,A E λ= − 1EAC ( ), ,n x y z= 1 3 0 2 0 n EC x y z n A E x z λ λ  ⋅ = − + − = ⋅ = − =     2z = ( ), 3 ,2n λ λ= ( )0, 3,0FC = 1A EF 2 3cos 3 4 4 3 π λ λ = + ⋅ 2 2 λ = 由（1）可知 ， ， 由定义则 为二面角 的平面角， 此时由勾股定理： ， ， ， 满足 ，则 此时二面角 为直二面角 19．解：（1）记每台仪器不能出厂为事件 ，则 ， 所以每台仪器能出厂的概率 . （2）生产一台仪器利润为 1600 的概率 . （3） 可取 3800,3500,3200,500,200，-2800. ， ， ， ， ， . 的分布列为： EF CF⊥ 1A F CF⊥ 1EFA∠ 1E CF A− − 2 2 2 61 2 2EF  = + =    ( )22 1 1 2 3A F = + = 2 2 2 3 22 2 2AE  = + =    2 2 2 1EF A F AE+ = 1 2EFA π∠ = 1E CF A− − A ( ) 3 4 11 4 5 5P A  = − × =   ( ) 1 191 20 20P A = − = 3 4 11 4 5 5P  = − × =   X ( ) 3 3 93800 4 4 16P X = = × = ( ) 1 2 1 3 33500 5 4 10P X C= = × × = ( ) 21 13200 5 25P X  = = =   ( ) 1 2 3 1 1 3500 4 4 5 40P X C  = = × × × =   ( ) 1 2 1 1 1 1200 5 4 5 50P X C  = = × × × =   ( ) 21 1 12800 4 5 400P X  = − = × =   X 20．解：（1）由抛物线定义可得 ， ∵点 在抛物线 上， ∴ ，即 ① 又由 ，得 ，将上式代入①，得 ，解得 ， ∴ ，∴ ， 所以曲线 的方程为 ，曲线 的方程为 （2）设直线 的方程为 ， 由 消去 整理得 ， 设 ， ，则 ， 设 ， ，则 ， 所以 ，② 设直线 的方程为 ， 由 ，解得 ， 所以 ， 由②可知，用 代替 ，可得 ， ( ) 9 3 1 33800 3500 3200 50016 10 25 40E X = × + × + × + × ( )1 1200 2800 335050 400 + × + − × = 7, 4M c b − −   M 2 4x by= 2 74 4c b b = −   2 27 4c b b= − 3 2 c a = 2 23c b= 27 7b b= 1b = 3c = 2a = 1C 2 2 14 x y+ = 2C 2 4x y= MN 1y kx= + 2 1 4 y kx x y = +  = y 2 4 4 0x kx− − = ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2 4x x = − ONk m= OMk m′= 2 1 1 2 2 1 1 1 16 4 y ymm x xx x ′ = ⋅ = = − 1 4m m ′ = − ON ( )0y mx m= > 2 4 y mx x y =  = 4Nx m= 2 21 4 1NON m x m m= + = + 1 4m − m 2 2 1 1 11 14 16NOM xm m m  = + − = +   由 ，解得 ，所以 ， 用 代替 ，可得 所以 ， 当且仅当 时等号成立. 所以 的取值范围为 . 21．解：（1） 的定义域为 ， 当且仅当 时， ， 所以 在 单调递增. （2） ， 由（1）知， 单调递增， 对任意 ， ， ， 因此，存在唯一 ，使得 ，即 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， ， 单调递增. 2 2 14 y mx x y = + = 2 2 4 1Ax m = + 2 2 2 2 11 4 1A mOA m x m += + = + 1 4m − m 2 2 2 12 11 161 16 1 14 B mOB xm m + = + = + 2 2 2 2 2 2 1 14 1 1 16 12 12 1 16 14 1 14 OMN OAB m mON OMS m m S OA OB m m m m λ ∆ ∆ + ⋅ +⋅= = =⋅ ++ ⋅ + + 2 2 14 1 14m m = + ⋅ + = 2 2 1 14 2 2 24 2m mm m + + = + ≥ 1m = λ [ )2,+∞ ( )f x ( ) ( ), 2 2,−∞ − − +∞ ( ) ( )( ) ( ) ( )2 1 2 e 2 e 2 x xx x xf x x − + − −′ = + ( ) 2 2 e 0 2 xx x = ≥ + 0x = ( ) 0f x′ = ( )f x ( ) ( ), 2 , 2,−∞ − − +∞ ( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 2 e 2 2xx a x xg x f x ax x − + + +′ = = + ( )f x a+ [ )0,1a∈ ( )0 1 0f a a+ = − < ( )2 0f a a+ = ≥ ( ]0 0,2x ∈ ( )0 0f x a+ = ( )0 0g x′ = 00 x x< < ( ) 0f x a+ < ( ) ( )0,g x g x′ < 0x x> ( ) 0f x a+ > ( ) 0g x′ > ( )g x 因此 在 处取得最小值，最小值为 . 于是 ，由 ，知 单调递增 所以，由 ，得 . 因为 单调递增，对任意 ，存在唯一的 ， ， 使得 ，所以 的值域是 ， 综上，当 时， 有最小值 ， 的值域是 . 22．解：（1）∵ ， ， ∴ ， ，∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，∴ （2）曲线 为 ， 设 ， ， ， ， 则 ， ( )g x 0x x= ( ) ( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 e 1 1 e 2 x x xa x e f x xg x x x x − + + += = = + ( ) 0 0 e 2 x h a x = + ( ) ( )2 1 ee 02 2 xx x x x ′ +  = > + +  e 2 x y x = + ( ]0 0,2x ∈ ( ) 00 2 2 0 1 e e e e 2 0 2 2 2 2 4 x h a x = < = ≤ =+ + + e 2 x y x = + 21 e,2 4 λ  ∈   ( ]0 0,2x ∈ ( ) [ )0 0,1a f x= − ∈ ( )h a λ= ( )h a 21 e,2 4      [ )0,1a∈ ( )g x ( )h a ( )h a 21 e,2 4      cosx ρ θ= siny ρ θ= 1 : 3 cos sin 4 0C ρ θ ρ θ+ − = cos 1 sin x y ϕ ϕ =  = + ( )22 1 1x y+ − = cosx ρ θ= siny ρ θ= ( ) ( )2 2cos sin 1 1ρ θ ρ θ+ − = 2 2 sin 0ρ ρ θ− = 2 : 2sinC ρ θ= 3C 0,0 2 πθ α ρ α = > < <   ( )1,A ρ α ( )2 ,B ρ α 1 4 3 cos sin ρ α α = + 2 2sinρ α= ( )1 2 1 2sin 3 cos sin4 OB OA ρ α α αρ= = × + 1 2sin 2 14 6 πα  = − +     ∴ ， . 23．解：（1）因为 ， 所以 . 令 ，得 或 ， 解得 或 . （2）若命题“存在 ，满足 ”是假命题， 则当 时， 恒成立， 当 时， ， ， 由 ，得 ， 即 ，即 . 据题意， ，则 解得 . 所以实数 的取值范围是 . 3 πα = max 3 4 OB OA = ( ) 3f x x a x= − + + ≥ ( ) ( )3 3x a x a− − + = + ( )min 3f x a= + 3 2a + = 3 2a + = 3 2a + = − 1a = − 5a = − [ ]0 0,1x ∈ ( )0 05f x x> + [ ]0,1x∈ ( ) 5f x x≤ + [ ]0,1x∈ ( ) 3f x x a x= − + + 5 5x x+ = + ( ) 5f x x≤ + 3 5x a x x− + + ≤ + 2x a− ≤ 2 2a x a− ≤ ≤ + [ ] [ ]0,1 2, 2a a⊆ − + 2 0, 2 1, a a − ≤  + ≥ 1 2a− ≤ ≤ a [ ]1,2−