数学理卷·2018届陕西省西安市长安一中高三上学期第四次质量检测（2017

数学理卷·2018届陕西省西安市长安一中高三上学期第四次质量检测（2017

长安一中2017---2018学年度第一学期第四次教学质量检测 高三理科数学试题 命题人：胡亮 审题人：李军民 第一部分（选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1. 设复数满足＝，则＝（ ）‎ A. 1 B. C. D.2‎ 2. 已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 已知向量，，则向量的夹角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的的值为7，第二次输入的的值为9，则第一次、第二次输出的的值分别为( ) ‎ A. 0，0 B. 1，‎1 C. 0，1 D. 1，0‎ ‎5. 已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知符号函数 是上的增函数，，则（ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎7．函数是偶函数的充要条件是（ ） ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8．在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，‎ 为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）‎ ‎ A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛 ‎10. 设双曲线（）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点D。若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎11. 如下图，在小正方形边长为的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知函数 函数 ，其中 ，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第二部分（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷中相应的横线上.）‎ ‎13. 设是等差数列的前项和，已知，，则 .‎ ‎14.若x，y满足约束条件，则的最大值为 . ‎ ‎15．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，， 与的夹角为α，且, 与的夹角为45°．若，则=　 　． ‎ ‎16．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本小题满分10分) ‎ 设f（x）=2（x+）.‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若f（）=0,a=1,求△ABC面积的最大值。‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．OD′＝.‎ ‎(1)证明：D′H⊥平面ABCD；‎ ‎(2)求二面角的正弦值．‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．‎ ‎(1)求X的分布列；‎ ‎(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；‎ ‎(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.‎ ‎(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；‎ ‎(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值．‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ 已知函数，‎ ‎(I)证明：当；‎ ‎(II)证明：时，存在,使得对 ‎(III)确定的所有可能取值，使得存在，对任意的恒有.‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.‎ ‎22.(本小题满分分)选修：坐标系与参数方程选讲.‎ 在平面直角坐标系中，曲线（为参数，实数），曲线（为参数，实数）. 在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与交于两点，与交于两点. 当时，；当时，.‎ ‎（1）求的值； （2）求的最大值.‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎23.(本小题满分分)选修：不等式选讲.‎ 设函数（，实数）.‎ ‎（1）若，求实数的取值范围； （2）求证： .‎ 长安一中2017---2018学年度第一学期第四次教学质量检测 高三理科数学参考答案 一、 选择题：ACCDD BABBA DC 二、 填空题：49, 3， 3， ‎ ‎17. 解：（Ⅰ）由题意 ‎ ‎ ‎ ‎ 由 可得 ‎ 由 得 ‎ 所以的单调递增区间是（）‎ 单调递减区间是（）‎ ‎ （II）‎ 由题意A是锐角，所以 ;由余弦定理：‎ ‎，且当时成立 ‎ 面积最大值为 ‎18. (1)证明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD.‎ 又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.‎ 因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.‎ 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.‎ 由EF∥AC得＝＝.‎ 所以OH＝1，D′H＝DH＝3.‎ 于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.‎ 又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，‎ 所以D′H⊥平面ABCD.‎ ‎(2)解　如图，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系H-xyz.‎ 则H(0,0,0)，A(－3，－1,0)，‎ B(0，－5,0)，C(3，－1,0)，‎ D′(0,0,3)，＝(3，－4,0)，＝(6,0,0)，＝(3,1,3)．‎ 设m＝(x1，y1，z1)是平面ABD′的法向量，则 即 所以可取m＝(4,3，－5)．‎ 设n＝(x2，y2，z2)是平面ACD′的法向量，则 即 所以可取n＝(0，－3,1)．‎ 于是cos〈m，n〉＝＝＝－.‎ sin〈m，n〉＝.‎ 因此二面角B-D′A-C的正弦值是.‎ ‎19. 解　(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，从而 P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；‎ P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；‎ P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；‎ P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；‎ P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；‎ P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；‎ P(X＝22)＝0.2×0. 2＝0.04；‎ 所以X的分布列为 X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.‎ ‎(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．‎ 当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040(元)．‎ 当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080(元)．‎ 可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.‎ ‎20.(1)解　由已知，a＝b，则椭圆E的方程为＋＝1.‎ 由方程组得3x2－12x＋(18－2b2)＝0.①‎ 方程①的判别式为Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，‎ 此时方程①的解为x＝2，所以椭圆E的方程为＋＝1.点T的坐标为(2,1)．‎ ‎(2)证明　由已知可设直线l′的方程为y＝x＋m(m≠0)，‎ 由方程组可得所以P点坐标为.|PT|2＝m2.‎ 设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由方程组可得3x2＋4mx＋(‎4m2‎－12)＝0.②‎ 方程②的判别式为Δ＝16(9－‎2m2‎)，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 由Δ>0，解得－0时，，‎ 令，则有 当时，,所以在上单调递减，故,‎ 故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意.‎ 综上，.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 解法二：（I）（II）同解法一.‎ ‎（III）当时，由（I）知，对于，‎ 故，‎ 令，‎ 从而得到当时，恒有,所以满足题意的t不存在.‎ 当时，取 由（II）知存在,使得x（0，x0），.‎ 此时,‎ 令，此时 ,‎ 记与中较小的为，则当，‎ 故满足题意的t不存在.‎ 当，由（I）知，x>0，‎ 令，则有 当时，,所以在上单调递减，故,‎ 故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意.‎ 综上，.‎ ‎22.【解析】（Ⅰ）将化为普通方程为，其极坐标方程为，‎ 由题可得当时，，∴. ‎ 将化为普通方程为，其极坐标方程为,‎ 由题可得当时，，∴. ‎ ‎（Ⅱ）由的值可得，的方程分别为，,‎ ‎∴‎ ‎. ‎ 最大值为，当时取到. ‎ ‎23.（Ⅰ）∵，∴，即，‎ 解得或. ‎ ‎（Ⅱ）, ‎ 当时，；当时，；‎ 当时，. ∴，当且仅当即时取等号，‎ ‎∴. ‎