2019-2020学年河北省武邑中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

2019-2020学年河北省武邑中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

‎2019-2020学年河北省武邑中学高二上学期开学考试数学试题 一、单选题 ‎1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考察用规律来推导数列的通项，注意对每项进行标序，方便推导，如：‎ ‎【详解】‎ 观察可知所以通项公式是 ‎【点睛】‎ 本题属于基础题,主要考察利用数列的规律求通项，关键是找到规律。‎ ‎2．要从已编号（）的个同学中随机抽取人，调查其对学校某项新制度的意见，用系统抽样的方法确定所选取的名学生的编号可能是（ ）‎ A．、、、、 B．、、、、‎ C．、、、、 D．、、、、‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出分段间隔为，然后验证每个选项中样本编号的间隔，即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 样本间隔为，A选项中样本的间隔为，B选项中样本的间隔为，C选项中样本的间隔为，D选项中的样本间隔为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键，属于基础题.‎ ‎3．下列直线中，与直线垂直的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出选项中各直线的斜率，判断所求斜率与直线的斜率之积为是否为即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 直线的斜率为，‎ 而直线的斜率为2 ,‎ 的斜率为，‎ 的斜率为 ,‎ 的斜率为，‎ 可得直线的斜率与的斜率之积为-1，‎ 与直线垂直的是，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的一般式方程求直线斜率以及斜率与直线垂直的关系，考查了两直线垂直与斜率间的关系，是基础题.‎ ‎4．在等差数列中，，则前13项之和等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：在等差数列中，若，则，∴，∴，∴选A.‎ ‎【考点】等差数列的前项和.‎ ‎5．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件抽到一等品，事件抽到二等品，且己知，.则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】事件“抽到的不是一等品”的对立事件为事件，再根据对立事件的概率公式即可求出所求事件的概率.‎ ‎【详解】‎ 依题意，事件“抽到的不是一等品”的对立事件为事件，‎ 所以事件“抽到的不是一等品”的概率为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了事件的关系及其性质，考查对立事件概率的计算，属于基础题．‎ ‎6．正方形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，且，，、分别是线段、的中点，则与所成的角的余弦值为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】连接，证明出平面，可得出，计算出、，利用异面直线所成角的定义可知，与所成的角为或其补角，计算出即可.‎ ‎【详解】‎ 连接，如下图所示：‎ 四边形为正方形，则，，‎ 平面平面，平面平面，平面，‎ 平面，平面，，‎ 在中，，，、分别是线段、的中点，‎ ‎，，，‎ ‎，所以，与所成的角为，且.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎7．函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出平移后所得函数的解析式，根据所得函数为偶函数得出关于的表达式，赋值计算即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到函数的图象，‎ 由于函数为偶函数，则，得，‎ 当时，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的图象变换，考查利用三角函数的奇偶性求参数，考查计算能力与推理能力，属于中档题．‎ ‎8．某路口的交通信号灯，绿灯亮秒后，黄灯闪烁若干秒，然后红灯亮秒，如果一辆车到达路口时，遇到红灯的概率为，那么黄灯闪烁的时间为（ ）‎ A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 ‎【答案】D ‎【解析】设出黄灯亮的时间，由几何概型概率公式直接列式可求得结果．‎ ‎【详解】‎ 设黄灯亮的时间为秒，因为每一时刻车到达路口是等可能的，‎ 由几何概型可知，车到达路口遇到红灯的概率等于红灯亮的时间除以绿灯、黄灯和红灯亮的时间和，即，解得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何概率模型，几何概型中，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，是基础题．‎ ‎9．已知点满足：，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由基本不等式可求出的取值范围，进而可得出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由基本不等式可得，所以，‎ 因此，的取值范围为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用基本不等式求代数式的取值范围，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎10．数列的前项和为，且，是与的等差中项，则的通项公式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先利用与的关系可求出，由可得出数列的通项公式.‎ ‎【详解】‎ 当时，，解得；‎ 当时，由，得，‎ 两式相减得，整理得，‎ 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，‎ 因此，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用与的关系求，同时也考查了等差中项性质的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎11．已知为锐角，，，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用对数的运算性质以及同角三角函数的平方关系可得出，进而可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 为锐角，则，所以，，‎ 因此，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 此题是一道基本题，考查学生掌握对数的运算性质，以及利用同角三角函数间的基本关系化简求值．学生做题时应注意考虑角的范围．‎ ‎12．已知直线与圆O交于A、B两点，且，则k=‎ A． B．‎ C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意易得，所以可得圆心到直线的距离为，‎ 即：.‎ 本题选择C选项.‎ 二、填空题 ‎13．当时，的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用基本不等式可求得的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，‎ 因此，的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用基本不等式求和的最小值，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14．如图，直三棱柱中，侧棱平面，若，，则异面直线与所成的角为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】连接，由，得或其补角是异面直线与所成的角，判断的形状，由此能求出异面直线与所成的角．‎ ‎【详解】‎ 连接，‎ 在三棱柱中，且，所以，四边形为平行四边形，‎ ‎，所以，异面直线与所成的角为或其补角，‎ 直三棱柱中，侧棱平面，、平面，‎ ‎，，且，则，‎ 同理可得，所以，为等边三角形，则.‎ 因此，异面直线与所成的角为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎15．对某同学次数学测试成绩（满分分）进行统计，作出如下茎叶图.给出关于该同学数学成绩的以下说法：①极差是；②众数是；③中位数是；④平均数是.其中正确说法的序号是________.‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】根据茎叶图中的数据计算出该样本数据的极差、众数、中位数和方差，进而可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 该同学次数学测试成绩由低到高依次为、、、、、，‎ 极差为，众数为，中位数为，平均数为 ‎，‎ 因此，正确的命题为③④.‎ 故答案为：③④.‎ ‎【点睛】‎ 考查了茎叶图和数据中众数，平均数，极差的概念，属于基础题型，应牢记．‎ ‎16．斜率为的直线过原点，并且被圆截得的弦长为，直线的方程为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出圆心到直线的距离的值，可知直线的方程为，利用点到直线的距离公式可求出实数的值，进而可得出直线的方程.‎ ‎【详解】‎ 圆心到直线的距离，‎ 由题意可知，直线的方程为，即，则，解得，‎ 因此，直线的方程为，即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用直线截圆的弦长求参数，解题的关键就是计算出圆心到直线的距离，考查计算能力，属于中等题.‎ 三、解答题 ‎17．已知是等差数列，，公差，且、、成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由题意得出关于的方程，解出的值，利用等差数列的通项公式可得出数列的通项公式；‎ ‎（2）求出，然后利用分组求和法可求出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）、、成等比数列，，即，整理得，‎ ‎，解得，因此，数列的通项公式为；‎ ‎（2），且，‎ 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，属于基础题．‎ ‎18．．‎ 为了解某校高三学生质检数学成绩分布，从该校参加质检的学生数学成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘成如图所示的频率分布直方图．若第一组至第五组数据的频率之比为，最后一组数据的频数是6．‎ ‎（Ⅰ）估计该校高三学生质检数学成绩在125～140分之间的概率，并求出样本容量；‎ ‎（Ⅱ）从样本中成绩在65～95分之间的学生中任选两人，求至少有一人成绩在65～80分之间的概率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．‎ ‎【解析】(I)根据频数与样本容量的比就等于频率来求解即可.‎ ‎(2)先分别计算出65～80分之间和成绩在80～95分之间的学生数，然后再根据古典概型概率计算公式计算即可.‎ ‎（Ⅰ）估计该校高三学生质检数学成绩在125～140分之间的概率为 ‎，‎ 又设样本容量为，则，解得，．‎ ‎（Ⅱ）样本中成绩在65～80分之间的学生有=2人，记为；成绩在80～95分之间的学生=4人，记为，‎ 从上述6人中任选2人的所有可能情形有：‎ ‎，共15种，·‎ 至少有1人在65～80分之间的可能情形有 共9种，‎ 因此，所求的概率．‎ ‎【详解】‎ 请在此输入详解！‎ ‎19．已知点及圆.‎ ‎(1)若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；‎ ‎(2)设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；‎ ‎(3)设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）或；（2）；（3）不存在.‎ ‎【解析】（1）设出直线方程，结合点到直线距离公式，计算参数，即可。（2）证明得到点P为MN的中点，建立圆方程，即可。（3）将直线方程代入圆方程，结合交点个数，计算a的范围，计算直线的斜率，计算a的值，即可。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)直线斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即.又圆 的圆心为，半径，由，解得.‎ 所以直线方程为，即.‎ 当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件．‎ 即直线的方程为或.‎ ‎(2)由于，而弦心距，‎ 所以.‎ 所以恰为的中点．‎ 故以为直径的圆的方程为.‎ ‎(3)把直线代入圆的方程，消去，整理得.‎ 由于直线交圆于两点，‎ 故，‎ 即，解得.‎ 则实数的取值范围是．‎ 设符合条件的实数存在，‎ 由于垂直平分弦，故圆心 必在上．所以的斜率，‎ 而，‎ 所以.由于 ，‎ 故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.‎ ‎【点睛】‎ 考查了点到直线距离公式，考查了圆方程计算方法，考查了直线斜率计算方法，难度偏难。‎