2020-2021学年高一数学上册课时同步练：奇偶性的应用

2020-2021学年高一数学上册课时同步练：奇偶性的应用

第三单元 函数 第 22 课 奇偶性的应用 一、基础巩固 1．已知函数 y＝f(x)为奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3，则当 x<0 时，f(x)的解析式是( ) A．f(x)＝－x2＋2x－3 B．f(x)＝－x2－2x－3 C．f(x)＝x2－2x＋3 D．f(x)＝－x2－2x＋3 【答案】B 【解析】若 x<0，则－x>0，因为当 x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3，所以 f(－x)＝x2＋2x＋3，因为函数 f(x)是奇函数，所以 f(－x)＝x2＋2x＋3＝－f(x)，所以 f(x)＝－x2－2x－3，所以 x<0 时，f(x)＝－x2－2x －3.故选 B. 2．已知 f(x)是偶函数，且在区间[0，＋ ∞)上是增函数，则 f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( ) A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1) B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0) C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1) D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5) 【答案】C 【解析】∵函数 f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上是增函 数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即 f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选 C. 3．若函数 f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1 是偶函数，则函数 f(x)的单调递增区间为( ) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞) 【答案】A 【解析】因为函数为偶函数，所以 a＋2＝0，a＝－2，即该函数为 f(x)＝－2x2＋1，所以函数在(－ ∞，0]上单调递增． 4．一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图像如图，下列说法正确的是( ) A．这个函数仅有一个单调增区间 B．这个函数有两个单调减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值是 7 D．这个函数在其定义域内有最小值是－7 【答案】C 【解析】根据偶函数在[0,7]上的图像及其对称性，作出函数在[－7,7]上的图像，如图所示，可知 这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是 7；在其定义域内最小值 不是－7.故选 C. 5．已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(2x－1)f(1)>f(2)＝f(－2)． 9．已知 f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且 f(x)在(－1，1)上是减函数，解不等式 f(1－x)＋f(1－ 2x)<0. 【答案】 0，2 3 【解析】∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴由 f(1－x)＋f(1－2x)<0，得 f(1－x)<－f(1－2x)，∴f(1－x)2x－1， 解得 0－x2>0. 因为 y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且 f(x)<0，所以 f(－x2)f(x1)>0.于是 F(x1)－F(x2)＝fx2－fx1 fx1·f x2 >0，即 F(x1)>F(x2)， 所以 F(x)＝ 1 fx在(－∞，0)上是减函数． 二、拓展提升 11．下列函数中，是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数的是( ) A．y＝|x| B．y＝1－x C．y＝1 x D．y＝－x2＋4 【答案】A 【解析】选项 B 中，函数不具备奇偶性；选项 C 中，函数是奇函数；选项 A，D 中的函数是偶函 数，但函数 y＝－x2＋4 在区间(0,1)上单调递减．故选 A. 12．若奇函数 f(x)在(－∞，0)上的解析式为 f(x)＝x(1＋x)，则 f(x)在(0，＋∞)上有( ) A．最大值－1 4 B．最大值1 4 C．最小值－1 4 D．最小值1 4 【答案】B 【解析】法一(奇函数的图像特征)：当 x<0 时， f(x)＝x2＋x＝ x＋1 2 2－1 4， 所以 f(x)有最小值－1 4，因为 f(x)是奇函数， 所以当 x>0 时，f(x)有最大值1 4. 法二(直接法)：当 x>0 时，－x<0， 所以 f(－x)＝－x(1－x)． 又 f(－x)＝－f(x)， 所以 f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－ x－1 2 2＋1 4， 所以 f(x)有最大值1 4.故选 B. 13．如果函数 F(x)＝   2x－3，x>0， fx，x<0 是奇函数，则 f(x)＝________. 【答案】2x＋3 【解析】当 x<0 时，－x>0，F(－x)＝－2x－3， 又 F(x)为奇函数，故 F(－x)＝－F(x)， ∴F(x)＝2x＋3，即 f(x)＝2x＋3. 14．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若 f(－3)＝0，则fx x <0 的 解集为________． 【答案】{x|－33} 【解析】∵f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数， ∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数， ∴f(3)＝f(－3)＝0.当 x>0 时，f(x)<0，解得 x>3； 当 x<0 时，f(x)>0，解得－30，求实数 m 的取值范围． 【答案】（1）b＝0 ；（ 2） 1 2，2 【解析】(1)因为函数 f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数， 所以 f(0)＝0，解得 b＝0. (2)因为函数 f(x)在[0,2]上是增函数，又因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)在[－2,2]上是单调递增的， 因为 f(m)＋f(m－1)>0， 所以 f(m－1)>－f(m)＝f(－m)， 所以 m－1>－m，① 又需要不等式 f(m)＋f(m－1)>0 在函数 f(x)定义域范围内有意义． 所以   －2≤m≤2， －2≤m－1≤2， ② 解①②得1 2

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