数学理卷·2018届黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高二下学期期中考试（2017-04）

‎2016---2017学年度下学期期中考试 高二数学试题（理科）‎ ‎ 命题人:孙丹丹 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.若集合A={x||x|＜1 }，B={x|≥1}，则A∪B= ( ) ‎ A．（﹣1，1] B．[﹣1，1] C．（0，1） D．（﹣∞，1]‎ ‎2.在复平面内，复数对应的点在 ( ) ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.用反证法证明命题：“，，，且，则 中至少有一个负数”时的假设为 ( ) ‎ A．中至少有一个正数 B．全为正数 C．全都大于等于0 D．中至多有一个负数 ‎4.已知a＞0，b＞0，且+=1，则a+2b的最小值是 ( ) ‎ A．3﹣2 B．3+2 C．2 D．4‎ ‎5.已知的取值如下表所示：‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎5‎ ‎4‎ ‎6‎ 如果与呈线性相关，且线性回归方程为：，则 ( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 将曲线y=cos6x按照伸缩变换后得到的曲线方程为 ( ).‎ A.y′=2cos3x′B.y′=3cos2x′ C.y′=cos2x′ D.y′=2cos2x′‎ ‎7.如图给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是 ( ) ‎ A．i≤1009 B．i＞1009 C．i≤1010 D．i＞1010‎ ‎8.若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则ab的最大值 为（　　） A．2 B．3 C．6 D．9‎ ‎9.在R上可导的函数f（x）的图形如图所示，则关于x的不等式 x•f′（x）＜0的解集为 （　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） ‎ C．（﹣2，﹣1）∪（1，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）‎ ‎10.二项式（x﹣a）7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，则dx= （　　）‎ A．ln2 B．ln2+1 C．1 D．‎ ‎11.某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为( ) ‎ A．1080 B．480 C．1560 D．300‎ ‎12.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.‎ ‎13.复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，则Z的虚部为　 　．‎ ‎14.若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）=　　 ．‎ ‎15.观察下列等式 ‎……照此规律，第个等式可为 ．‎ ‎16.如图，点的坐标为，函数过点，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于__________.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤）‎ ‎17. (本小题满分10分)‎ 已知曲线C1的参数方程为：（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρ=4sin（θ+），直线l的极坐标方程为θ=．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若曲线C1和曲线C2与直线l分别交于非坐标原点的A，B两点，求|AB|的值．‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知函数f（x）=|x﹣3|﹣2|x+1|的最大值为m．‎ ‎（Ⅰ）求m的值和不等式f（x）＜1的解集；‎ ‎（Ⅱ）若a，b∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“A组”，否则为“B组”，调查结果如下：‎ A组 B组 合计 男性 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ ‎（Ⅰ）根据以上数据，能否有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关？‎ ‎（Ⅱ）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“A组”和“B组”的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中在“A组”的人数为X，试求X的分布列与数学期望．‎ 参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d为样本容量．参考数据：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.‎ ‎22. (本小题满分12分)‎ 已知函数f（x）=x﹣，m∈R，且m≠0．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若m=﹣1，求证：函数F（x）=x﹣有且只有一个零点．‎ ‎2016---2017学年度下学期期中考试 ‎ 高二数学试题（理科）答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A B C B D D A D A C C A 二、填空题 ‎13． 14．0.8413‎ ‎ 15． 16． ‎ 三、 解答题 ‎17. (本小题满分10分)‎ 解：（1）曲线C1的参数方程为：（θ为参数），‎ 普通方程为x2+（y﹣1）2=1，曲线C2的极坐标方程为：ρ=4sin（θ+），即ρ=2sinθ+2cosθ，直角坐标方程为x2+y2=2y+2x； -------------------5分 ‎（2）曲线C1的极坐标方程为：ρ=2sinθ，将θ=代入C1的极坐标方程得ρ1=1，‎ 将θ=代入C2的极坐标方程得ρ2=4，‎ ‎∴|AB|=ρ2﹣ρ1=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分 ‎18. (本小题满分12分)‎ 解：（1）当x≤﹣1时，f（x）=（3﹣x）+2（x+1）=x+5≤4；‎ 当﹣1＜x＜3时，f（x）=（3﹣x）﹣2（x+1）=﹣3x+1∈（﹣8，4）；‎ 当x≥3时，f（x）=（x﹣3）﹣2（x+1）=﹣x﹣5≤﹣8．…‎ 故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=4；----------4分 ‎|x﹣3|﹣2|x+1|＜1，可化为 当x≤﹣1时，x+5＜1，∴x＜﹣4；当﹣1＜x＜3时，﹣3x+1＜1，∴x＞0，∴0＜x＜3；‎ 当x≥3时，﹣x﹣5＜1，∴x＞﹣4，∴x≥3，‎ 综上所述，不等式f（x）＜1的解集为{x|x＜﹣4或x＞0}；----------8分 ‎（2）由（2）知，a2+2b2+c2=4，则ab+bc≤ [（a2+b2）+（b2+c2）]=2，‎ ‎∴ab+bc的最大值为2．----------12分 ‎19. (本小题满分12分)‎ 解：（1）由2×2列联表可得 K2=‎ ‎=≈0.649＜0.708；‎ 没有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关；----------4分 ‎（2）由题意得，所抽取的5位女性中，‎ ‎“A组”有5×=3人，“B组”有5×=2人；-------------------------------6分 ‎（3）X的所有可能取值为1，2，3，‎ 则P（X=1）==，P（X=2）==，‎ P（X=3）==，‎ 所有X的分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 其数学期望为EX=1×+2×+3×=．------------------12分 ‎20. (本小题满分12分)‎ ‎（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，‎ ‎∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，‎ 又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，‎ ‎∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…------------------4分 ‎（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．‎ 设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…‎ ‎=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），‎ 取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．‎ 设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，‎ 即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），‎ 依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…‎ 于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．‎ 设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，‎ 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…--------------12分 ‎21. (本小题满分12分) ‎ 从而，‎ 又点到直线的距离为，‎ 所以的面积，‎ 设，则，，因为，当且仅当，即时等号成立，且满足，所以当的面积最大时，的方程为或.‎ ‎22. (本小题满分12分)‎ ‎（1）解：f′（x）=1﹣=，x＞0，------------1分 当m＜0时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；‎ 当m＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜．‎ ‎∴f（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；----------5分 ‎（2）证明：由已知，F（x）=x﹣，则F′（x）=，‎ 设h（x）=x2﹣1+lnx，则h′（x）=2x+＞0（x＞0），‎ 故h（x）=x2﹣1+lnx在（0，+∞）上为增函数，‎ 又由于h（1）=0，因此F′（1）=0且F′（x）有唯一的零点1．‎ 当0＜x＜1时，F′（x）＜0，当x＞1时，F′（x）＞0．‎ ‎∴F（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，‎ ‎∴F（x）的最小值为F（1）=0．‎ ‎∴函数F（x）=x﹣有且只有一个零点．--------------------------12分