2018-2019学年福建省永安一中高二下学期第一次月考数学（理）试题（Word版）

2018-2019学年福建省永安一中高二下学期第一次月考数学（理）试题（Word版）

永安一中2018--2019学年下学期第一次月考 高二数学理科试题 ‎（考试时间：120分钟 总分150分）‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1.已知复数 ，则的虚部为（ ）‎ A.  B.  C.  D. ‎ ‎2.已知随机变量服从二项分布则（ ）‎ ‎ ‎ ‎3.利用数学归纳法证明时，在验证成立时，左边应该是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．曲线在（其中为自然对数的底数）处的切线方程为（ ） A． B． C． D．‎ ‎5．（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6.有6个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，不同的排法种数为（ ）‎ A．24 B．‎72 C. 144 D．288‎ ‎7.7个同学中选出3人参加某项活动，其中甲、乙两人至少选一人参加，‎ 不同选法有（ ）种 A． B． C． D．‎ ‎8.函数f(x)＝2的单调递增区间是（ ）‎ A. B.和 C. D.和 ‎9.袋子中装有各不相同的5个白球和3‎ 个红球，不放回地任取两个，已知有一个是红球，则另外一个也是红球的概率是（　 ）‎ ‎ ‎ 10. 已知多项式 ‎ 则（ ）‎ ‎ ‎ 11. 一口袋里有大小形状完全相同的10个小球，其中红球与白球各2个，黑球与黄球各3个，从中随机取3次，每次取3个小球，且每次取完后就放回，则这3次取球中，恰有2次所取的3个小球颜色各不相同的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.若存在两个正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B． C. D．‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：(本大题4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡相应位置)‎ ‎13.若，，则　 　．‎ ‎14.若展开式的二项式系数之和为，则展开式中的常数项是　 　．‎ ‎15.若对任意的有恒成立，则 ‎　 　．‎ ‎16.对大于或等于2的自然数的次方幂有如下分解方式：；；；；；。根据上述分解规律，则，若的分解中最小的数是91，则的值是 　 　． ‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本题满分10分)为了美化校园环境，某校计划对学生乱扔垃圾现象进行罚款处理。为了更好的了解学生的态度，随机抽取了200人进行了调查,得到如下数据：‎ 罚款金额（单位：元）‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ 会继续乱扔垃圾的人数 ‎80‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎⑴若乱扔垃圾的人数与罚款金额满足线性回归方程，求回归方程，其中，‎ ‎⑵若以调查数据为基础，从这5种罚款金额中随机抽取2种不同的数额，求这两种金额之和不低于25元的概率.‎ ‎18.(本题满分12分)设为坐标原点，已知复数分别对应向量，为复数的共轭复数，，其中，且为纯虚数．‎ ‎（Ⅰ）判断复数在复平面上对应的点在第几象限；‎ ‎（Ⅱ）求.‎ ‎19．(本题满分12分)某中学将100名高二文科生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验．为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．‎ ‎（?）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表；‎ 甲班（A方式）‎ 乙班（B方式）‎ 总计 成绩优秀 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 成绩不优秀 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 总计 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎（?）判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关？‎ 附：．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎20.(本题满分12分) 已知数列的前项和为 ‎（1）求的值；（2）用数学归纳法证明 ‎ ‎ ‎21.(本题满分12分)每逢节假日，在微信好友群发红包逐渐成为一种时尚，还能增进彼此的感情．2018年中秋节期间，小王在自己的微信校友群，向在线的甲、乙、丙、丁四位校友随机发放红包，发放的规则为：每次发放1个，每个人抢到的概率相同．‎ ‎（1）若小王随机发放了3个红包，求甲至少得到1个红包的概率；‎ ‎（2）若丁因有事暂时离线一段时间，而小王在这段时间内共发放了3个红包，其中2个红包中各有3元，1个红包有6元，记这段时间内乙所得红包的总钱数为X元，求X的分布列和数学期望．‎ ‎22.(本题满分12分)已知实数，函数的图象与轴相切．‎ ‎（1）求实数的值及函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，，求实数的取值范围．‎ 永安一中2018--2019学年下学期第一次月考 高二数学理科试题答案 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D C ‎ D C C ‎ B A B D C A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13. 14. 15. 16.10‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.解：⑴，‎ ‎=………………4分 ‎………………6分 ‎⑵设“两种金额之和不低于25元”的事件为，从5种金额中随机抽取2种，总的抽选方法共有种，满足金额之和不低于25元的有4种，故所求概率为.…10分 ‎18.解：（Ⅰ）由题意，得，‎ 则.........................2分 因为为纯虚数，‎ 所以， ..............................4分 解得或...............................5分 又因为，所以，.......................6分 所以 在复平面上对应的点在第四象限 ................7分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，‎ 所以...........................8分 ‎..........................10分 ‎.....................12分 ‎19.解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得，甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12，38，.........2分 乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4，46，填表如下；‎ 甲班（A方式）‎ 乙班（B方式）‎ 总计 成绩优秀 ‎12‎ ‎4‎ ‎16‎ 成绩不优秀 ‎38‎ ‎46‎ ‎84‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎.........6分 ‎（Ⅱ）能判定，根据列联表中数据，计算K2的观测值为 ‎.........8分 由于4.762＞3.841，.........10分 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优秀”与教学方式有关． ‎ ‎.........12分 ‎20.解：（1）……………………..3分（每个1分）‎ ‎ （2）猜想…………….…………………4分 ‎ 数学归纳法证明：（1）当时，猜想成立；………………….5分 ‎ （2）假设时猜想成立，即有：‎ ‎ 则时，因为……………………6分 ‎ ；…………………7分 ‎ 从而有 即时时，猜想也成立；‎ ‎ 由（1）（2）可知，成立 即当时，猜想也成立， …………8分 由（1），（2）知对任意的，猜想都成立． ……9分 当时，‎ 当时，符合上式，‎ 易知单增，‎ ‎21.解（1）设“甲至少得1红包”为事件A，由题意得：‎ ‎…………4分 ‎(正难则反也可)‎ ‎（2）由题意知X可能取值为0，3，6，9，12．…………6分 ‎,‎ ‎,‎ ‎…………9分 ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ P ‎…………10分 ‎…………12分 ‎22.解：（1），设切点为（x0，0），‎ 依题意，，解得，…………2分 所以 当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．‎ 故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1），单调递增区间为（1，+∞）．…………4分 ‎（2）令g（x）=f（x）﹣m（x﹣1）lnx，x＞0．‎ 则g′（x）=ex﹣1﹣m（lnx+）﹣1，‎ 令h（x）=g′（x），则h′（x）=ex﹣1﹣m…………6分 ‎（ⅰ）若m≤，因为当x＞1时，ex﹣1＞1，m＜1，所以h′（x）＞0，‎ 所以h（x）即g′（x）在（1，+∞）上单调递增．‎ 又因为g′（1）=0，所以当x＞1时，g′（x）＞0，‎ 从而g（x）在[1，+∞）上单调递增，‎ 而g（1）=0，所以g（x）＞0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx成立；…………8分 ‎（ⅱ）若m＞，可得h′（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ 因为h′（1）=1﹣2m＜0，h′（1+ln（2m））＞0，‎ 所以存在x1∈（1，1+ln（2m）），使得h′（x1）=0，‎ 且当x∈（1，x1）时，h′（x）＜0，所以h（x）即g′（x）在（1，x1）上单调递减，‎ 又因为g′（1）=0，所以当x∈（1，x1）时，g′（x）＜0，‎ 从而g（x）在（1，x1）上单调递减，‎ g（1）=0，所以当x∈（1，x1）时，g（x）＜0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx不成立．10分 纵上所述，m的取值范围是（﹣∞，]．…………12分