2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第1编专题1-4转化与化归思想

2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第1编专题1-4转化与化归思想

第四讲　转化与化归思想 思想方法解读 ‎ ‎ 考点　特殊与一般的转化　　‎ 典例1　　(1)过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F，作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则＋等于(　　)‎ A．2a B. C．4a D. ‎[解析]　抛物线y＝ax2(a>0)的标准方程为 x2＝y(a>0)．焦点F，取过焦点F的直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝，所以＋＝4a.‎ ‎[答案]　C ‎(2)[2016·厦门模拟]如图，P为椭圆＋＝1上第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线，它们相交于点C，过点P引BC，AC的平行线交AC于点N，交BC于点M，交AB于点D，E，记矩形PMCN的面积为S1，三角形PDE的面积S2，则S1∶S2＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C. D. ‎[解析]　由点P为椭圆第一象限内的任意一点，则可设点P为特殊点，易求得S1＝S2，故选A.‎ ‎[答案]　A 特殊与一般的转化步骤 特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法．这类转化法一般的解题步骤是：‎ 第一步，确立需转化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标．‎ 第二步，寻找“特殊元素”与“一般元素”：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”；把特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．‎ 第三步，确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”，明确其与需要解决问题的关系，确立新的需要解决的问题．‎ 第四步，解决新目标问题：在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题．‎ 第五步，回归目标问题．‎ 第六步，回顾反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．‎ ‎【针对训练1】　(1)[2016·成都模拟]在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列的前11项和S11＝(　　)‎ A．58 B．88‎ C．143 D．176‎ 答案　B 解析　解法一：由a4＋a8＝16，可令a4＝a8＝8，即数列{an}为常数列，易得S11＝88，故选B.‎ 解法二：a4＋a8＝16＝2a6，得a6＝8，又S11＝＝11a6＝88，故选B.‎ ‎(2)已知f(x)＝，则f(－2015)＋f(－2014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2016)＝________.‎ 答案　2016‎ 解析　f(x)＋f(1－x)＝＋ ‎＝＋＝＝1，‎ ‎∴f(0)＋f(1)＝1，f(－2015)＋f(2016)＝1，‎ ‎∴f(－2015)＋f(－2014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2016)＝2016.‎ 考点　函数、方程与不等式之间的转化　　‎ 典例2　　已知函数f(x)＝ex，a，b∈R，且a>0.‎ ‎(1)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，试求函数f(x)的解析式及单调区间；‎ ‎(2)设g(x)＝a(x－1)ex－f(x)，g′(x)为g(x)的导函数．若存在x0∈(1，＋∞)，使g(x0)＋g′(x0)＝0成立，求的取值范围．‎ ‎[解]　(1)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．‎ f′(x)＝ex，由题知 即解得a＝2，b＝1，所以函数f(x)＝ex(x≠0)．‎ 此时f′(x)＝ex＝ex，‎ 令f′(x)>0得x<－1或x>，‎ 令f′(x)<0得－11)．‎ 则u′(x)＝6ax2－6ax－2b＝6ax(x－1)－2b>－2b，当b≤0时，u′(x)>0，‎ 此时u(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此u(x)>u(1)＝－a－b.‎ 因为存在x0∈(1，＋∞)，使2ax－3ax－2bx0＋b＝0成立，‎ 所以只要－a－b<0即可，此时－1<≤0.‎ 当b>0时，令u(x)＝b，解得x1＝>＝>1，x2＝(舍去)，x3＝0(舍去)，得u(x1)＝b>0，‎ 又u(1)＝－a－b<0，于是u(x)在(1，x1)上必有零点，‎ 即存在x0>1，使2ax－3ax－2bx0＋b＝0成立，此时>0.‎ 综上有的取值范围为(－1，＋∞)．‎ 函数、方程与不等式相互转化的应用 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”‎ ‎，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系问题转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．‎ ‎【针对训练2】　已知函数f(x)＝3e|x|.若存在实数t∈[－1，＋∞)，使得对任意的x∈[1，m]，m∈Z且m>1，都有f(x＋t)≤3ex，则m的最大值为________．‎ 答案　3‎ 解析　因为当t∈[－1，＋∞)且x∈[1，m]时，x＋t≥0，‎ 所以f(x＋t)≤3ex⇔ex＋t≤ex⇔t≤1＋ln x－x.‎ 所以原命题等价转化为：存在实数t∈[－1，＋∞)，使得不等式t≤1＋ln x－x对任意x∈[1，m]恒成立．‎ 令h(x)＝1＋ln x－x(x≥1)．‎ 因为h′(x)＝－1≤0，‎ 所以函数h(x)在[1，＋∞)上为减函数，‎ 又x∈[1，m]，所以h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m.‎ 所以要使得对任意x∈[1，m]，t值恒存在，只需1＋ln m－m≥－1.‎ 因为h(3)＝ln 3－2＝ln >ln ＝－1，h(4)＝ln 4－3＝ln x2的区域内，则－>2，整理得(2k＋1)(6k2－2k＋1)<0，解得k<－.‎ 因此当k<－时，抛物线y＝x2上存在两点关于直线y＝k(x－3)对称，于是当k≥－时，抛物线y＝x2上不存在两点关于直线y＝k(x－3)对称．‎ 所以实数k的取值范围为.故选D.‎ 考点　常量与变量的转化　　‎ 典例4　　已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．若对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为________．‎ ‎[解析]　由题意知，g(x)＝3x2－ax＋3a－5，令φ(a)＝(3－x)a＋3x2‎ ‎－5，－1≤a≤1.‎ 对－1≤a≤1，恒有g(x)<0，即φ(a)<0，‎ ‎∴即解得－1，即a>2时，函数y＝－2＋＋a－在t∈[0,1]上单调递增，‎ ‎∴t＝1时，函数有最大值ymax＝a＋a－＝1，解得a＝<2(舍去)；‎ 当0≤≤1，即0≤a≤2时，t＝函数有最大值，‎ ymax＝＋a－＝1，解得a＝或a＝－4(舍去)；‎ 当<0，即a<0时，‎ 函数y＝－2＋＋a－在t∈[0,1]上单调递减，‎ ‎∴t＝0时，函数有最大值ymax＝a－＝1，解得a＝>0(舍去)，‎ 综上所述，存在实数a＝使得函数有最大值．‎ 换元法的主要应用 换元法的特点是通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，把条件与结论联系起来，把陌生的形式转变为熟悉的形式．高中数学中主要换元法有整体换元、三角换元、对称换元、均值换元等等．换元法应用广泛，如解方程、解不等式、证明不等式、求函数的值域、求数列的通项与和等，在解析几何中也有广泛的应用．解题过程中要注意换元后新变量的取值范围．‎ ‎【针对训练5】　求函数f(x)＝2－4asinx－cos2x的最大值和最小值．‎ 解　f(x)＝2－4asinx－(1－2sin2x)＝‎ ‎2sin2x－4asinx＋1＝2(sinx－a)2＋‎ ‎1－2a2.‎ 设sinx＝t，则－1≤t≤1，并且y＝g(t)＝2(t－a)2＋1－2a2.‎ 当a<－1时，如图，‎ 有y最大＝g(1)＝3－4a，‎ y最小＝g(－1)＝3＋4a；‎ 当－1≤a≤1时，有y最小＝g(a)＝1－2a2，‎ y最大为g(－1)和g(1)中的较大者，‎ 即y最大＝3－4a(－1≤a≤0)，或y最大＝3＋4a(01时，有y最大＝g(－1)＝3＋4a，y最小＝g(1)＝3－4a.‎