2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第2编专题2-1-2向量、复数、算法、合情推理

2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第2编专题2-1-2向量、复数、算法、合情推理

第二讲　向量、复数、算法、合情推理 ‎ ‎ ‎[必记公式]‎ ‎1．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ‎①a∥b⇔a＝λb(b≠0，λ∈R)⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎②a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎2．复数的四则运算法则 ‎(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.‎ ‎(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)．‎ ‎[重要结论]‎ ‎1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.‎ ‎2．已知＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是 λ＋μ＝1.‎ ‎3．平面向量的三个性质 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎||＝.‎ ‎(3)设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 cosθ＝＝ .‎ ‎4．复数运算中常用的结论 ‎①(1±i)2＝±2i；②＝i；③＝－i；④－b＋ai＝i(a＋bi)；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N*.‎ ‎5．归纳推理的思维过程 ―→―→ ‎6．类比推理的思维过程 ―→―→ ‎[失分警示]‎ ‎1．遇到i2，忘记应化为－1，要注意i的周期性．‎ ‎2．虚数与纯虚数的条件不要弄混，当b≠0时，复数z＝a＋bi(a，b∈R)叫做虚数；当a＝0且b≠0时，复数z＝a＋bi叫做纯虚数．‎ ‎3．读不懂程序框图的逻辑顺序，不能准确把握判断框中的条件．‎ ‎4．分不清当型循环与直到型循环，不注意控制循环的变量是什么，不清楚何时退出循环、循环体内的程序是什么．‎ ‎ ‎ 考点　平面向量的运算及应用　　‎ 典例示法 题型1　向量的概念及线性运算 典例1　　[2015·北京高考]在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝______，y＝________.‎ ‎[解析]　由＝2知M为AC上靠近C的三等分点，由＝知N为BC的中点，作出草图如下：‎ 则有＝(＋)，所以＝－＝(＋)－＝－，‎ 又因为＝x＋y，所以x＝，y＝－.‎ ‎[答案]　　－ 题型2　向量的数量积 典例2　　[2015·广东高考]在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.‎ ‎(1)若m⊥n，求tanx的值；‎ ‎(2)若m与n的夹角为，求x的值．‎ ‎[解]　(1)∵m⊥n，∴m·n＝0.‎ 故sinx－cosx＝0，∴tanx＝1.‎ ‎(2)∵m与n的夹角为，‎ ‎∴cos〈m，n〉＝＝＝，‎ 故sin＝.‎ 又x∈，∴x－∈，x－＝，即x＝，故x的值为.‎ 题型3　平面向量的综合应用 典例3　　[2016·江苏高考]如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．‎ ‎[解析]　解法一：以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，则E，F，＝(b＋a，c)，＝(b－a，c)，＝，＝，＝，＝，由·＝b2－a2＋c2＝4，·＝－a2＋＝－1，解得b2＋c2＝，a2＝，则·＝(b2＋c2)－a2＝.‎ 解法二：设＝a，＝b，则·＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，·‎ ＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|a|2＝，|b|2＝，则·＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝.‎ ‎[答案]　 ‎1．解决平面向量及线性运算问题应注意的几点 ‎(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判定两个向量共线的重要依据．‎ ‎(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．‎ ‎(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.‎ ‎(4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A、B、C三点共线，则λ＋μ＝1.‎ ‎(5)平面向量的线性运算包括向量的加法、向量的减法及实数与向量的积，在解决这类问题时，经常出现的错误有：忽视向量的起点与终点，导致加法与减法混淆；错用数乘公式．对此，要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件．‎ ‎2．数量积、模和夹角的问题 ‎(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：‎ ‎①直接利用数量积的定义；‎ ‎②建立坐标系，通过坐标运算求解.‎ (2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算.,求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方.‎ (3)两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.‎ ‎3．解向量与其他知识的综合问题应注意 向量、不等式、解三角形的结合是现在高考的主流趋势，对于向量而言，要掌握相关的夹角、模、垂直、平行等重要公式．而在三角形中有关最值的求解通常借助于正弦型或余弦型函数的范围，或归结为二次函数的最值、或利用基本不等式等进行，无论采用哪种形式，都要强调变量的范围．处理三角形中的问题也要注意灵活地边角转化，并且注意一些隐含条件，如内角和为180°、大角对大边等内在属性．‎ 考点　复数的概念及运算　　‎ 典例示法 典例4　　(1)[2016·全国卷Ⅰ]设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ ‎[解析]　因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，选B.‎ ‎[答案]　B ‎(2)[2015·郑州质检二]设i是虚数单位，复数z＝，则|z|＝(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ ‎[解析]　|z|＝＝＝.‎ ‎[答案]　B 本例条件不变求？‎ 答案　1－i 解析　由z＝＝＝1＋i，所以＝1－i.‎ 复数的基本概念与运算问题的解题思路 ‎(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是先变形分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式，然后再根据条件，列方程(组)求解．‎ ‎(2)与复数z的模|z|和共轭复数有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形式z＝a＋bi(a，b，∈R)，代入条件，用待定系数法解决．‎ 针对训练 ‎1．[2015·安徽高考]设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　＝＝－1＋i，其在复平面内所对应的点位于第二象限．‎ ‎2．[2016·天津高考]已知a，b∈R，i是虚数单位．若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．‎ 答案　2‎ 解析　(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，所以b＝1，a＝2，＝2.‎ 考点　程序框图　　‎ 典例示法 题型1　求输入或输出的值 典例5　　[2016·全国卷Ⅰ]执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足(　　)‎ A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x ‎[解析]　输入x＝0，y＝1，n＝1，得x＝0，y＝1，x2＋y2＝1<36，不满足条件，执行循环：n＝2，x＝，y＝2，x2＋y2＝＋4<36，不满足条件，执行循环：n＝3，x＝＋1＝，y＝6，x2＋y2＝＋36>36，满足条件，结束循环，所以输出的x＝，y＝6，满足y＝4x，故选C.‎ ‎[答案]　C 题型2　完善程序框图 典例6　　[2015·重庆高考]执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是(　　)‎ A．s≤ B．s≤ C．s≤ D．s≤ ‎[解析]　第一次循环，得k＝2，s＝；第二次循环，得k＝4，s＝＋＝；第三次循环，得k＝6，s＝＋＝；‎ 第四次循环，得k＝8，s＝＋＝，此时退出循环，输出k＝8，所以判断框内可填入的条件是s≤，故选C.‎ ‎[答案]　C 解答程序框图(流程图)问题的关注点 ‎(1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，在如累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构．‎ ‎(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果．‎ ‎(3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律．‎ 提醒：解答循环结构的程序框图(流程图)问题要注意输出循环次数的情况，防止多一次或少一次的错误．‎ 考点　合情推理　　‎ 典例示法 题型1　利用归纳推理求解相关问题 典例7　　[2016·河南郑州联考]观察下列等式：‎ 按此规律，第12个等号的等号右边等于________．‎ ‎[解析]　从题中可找出规律，第n行等号左边的式子是首项为2n－1的连续n个奇数之和，所以第12个等式的等号右边＝左边＝23＋25＋…＋45＝＝408.‎ ‎[答案]　408‎ 题型2　利用类比推理求解相关问题 典例8　　[2015·衡水中学调研]椭圆中有如下结论：椭圆＋＝1(a>b>0)上斜率为1的弦的中点在直线＋＝0上，类比上述结论：双曲线－＝1(a>0，b>0)上斜率为1的弦的中点在直线________上．‎ ‎[解析]　将椭圆方程＋＝1中的x2变为x，y2变为y，右边变为0，得到椭圆＋＝1上斜率为1的弦的中点在直线＋＝0上．类比上述结论，将双曲线的方程作上述变换可知，双曲线－＝1上斜率为1的弦的中点在直线－＝0上．不妨设弦的两个端点为(x1，y1)，(x2，y2)，则＝1，弦中点设为(x0，y0)，则x0＝，y0＝.将上述两端点代入双曲线方程，‎ 得两式相减，得－＝0，‎ 即－＝0，‎ 所以－＝0，‎ 化简，得－＝0，－＝0，‎ 所以－＝0，于是(x0，y0)在直线－＝0上．‎ ‎[答案]　－＝0‎ 合情推理的解题思路 ‎(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．‎ ‎(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．‎ ‎(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．‎ ‎ ‎ ‎[全国卷高考真题调研]‎ ‎1．[2015·全国卷Ⅰ]设复数z满足＝i，则|z|＝(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 答案　A 解析　由题意知1＋z＝i－zi，所以z＝＝＝i，所以|z|＝1.‎ ‎2．[2015·全国卷Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 答案　A 解析　由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋，故选A.‎ ‎3．[2015·全国卷Ⅰ]执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝(　　)‎ A．5　　 B．6‎ C．7 D．8‎ 答案　C 解析　由程序框图可知，‎ S＝1－＝，m＝，n＝1，>0.01；‎ S＝－＝，m＝，n＝2，>0.01；‎ S＝－＝，m＝，n＝3，>0.01；‎ S＝－＝，m＝，n＝4，>0.01；‎ S＝－＝，m＝，n＝5，>0.01；‎ S＝－＝，m＝，n＝6，>0.01；‎ S＝－＝，m＝，n＝7，<0.01.故选C.‎ ‎4．[2016·全国卷Ⅰ]设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.‎ 答案　－2‎ 解析　由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2得a⊥b，则m＋2＝0，所以m＝－2.‎ ‎[其它省市高考题借鉴]‎ ‎5．[2016·天津高考]阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ 答案　B 解析　第一次循环，S＝8，n＝2；第二次循环，S＝2，n＝3；第三次循环，S＝4，n＝4，故输出S的值为4.‎ ‎6．[2015·陕西高考]观察下列不等式：‎ ‎1－＝，‎ ‎1－＋－＝＋，‎ ‎1－＋－＋－＝＋＋，‎ ‎…‎ 据此规律，第n个等式可为____________________．‎ 答案　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ 解析　等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为＋＋…＋.‎ 一、选择题 ‎1．[2016·沈阳质检]已知i为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　本题主要考查复数的计算和复平面的概念.＝1＋i，其在复平面内对应的点为(1,1)，故选A.‎ ‎2．[2016·太原一模]已知复数z＝(i为虚数单位)，则z的虚部为(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．i 答案　C 解析　z＝＝＝i，所以z的虚部是1.‎ ‎3．[2016·唐山统考]在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则 eq o(AM,sup15(→))(　　)‎ A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　B 解析　本题主要考查平面向量的加减运算．因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝ ‎＝＋，故选B.‎ ‎4．[2016·沈阳质检]已知两个非零向量a，b满足a·(a－b)＝0，且2|a|＝|b|，则〈a，b〉＝(　　)‎ A．30° B．60°‎ C．120° D．150°‎ 答案　B 解析　本题主要考查平面向量数量积的运用．由题知a2＝a·b，而cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝60°，故选B.‎ ‎5．[2016·郑州质检]按如下程序框图，若输出结果为273，则判断框内应补充的条件为(　　)‎ A．i>7 B．i≥7‎ C．i>9 D．i≥9‎ 答案　B 解析　本题主要考查程序框图的应用．由程序框图可知：第一步，S＝0＋31＝3，i＝3；第二步，S＝3＋33＝30，i＝5；第三步，S＝30＋35＝273，i＝7.故判断框内可填i≥7，选B.‎ ‎6．[2016·贵阳质检]阅读如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的表达式为(　　)‎ A．i≤3 B．i≤4‎ C．i≤5 D．i≤6‎ 答案　B 解析　本题主要考查程序框图．第一次循环，得S＝3，i＝2；第二次循环，得S＝7，i＝3；第三次循环，得S＝15，i＝4；第四次循环，得S＝31，此时满足题意，输出的S＝31，所以①处可填i≤4，故选B.‎ ‎7．[2016·重庆检测]执行如图所示的程序框图，则输出s的值为(　　)‎ A．－7 B．－5‎ C．2 D．9‎ 答案　A 解析　本题主要考查程序框图．依题意，执行题中的程序框图，k＝－4<0，s＝－1×(－4)＝4，k＝－4＋2＝－2；k＝－2<0，s＝4×(－2)＝－8，k＝－2＋2＝0；k＝0≥0，s＝－8＋0＝－8，k＝0＋1＝1；k＝1<2，s＝－8＋1＝－7，k＝1＋1＝2≥2，此时结束循环，输出s的值为－7，选A.‎ ‎8．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，如图，设正四面体的棱长为a，E为等边三角形ABC的中心，O为内切球与外接球球心．‎ 则AE＝a，DE＝a，设OA＝R，OE＝r，‎ 则OA2＝AE2＋OE2，‎ 即R2＝2＋2，‎ ‎∴R＝a，r＝a，‎ ‎∴正四面体的外接球和内切球的半径之比为3∶1，故正四面体P－ABC的内切球体积V1与外接球体积V2之比等于.‎ ‎9．已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b ‎＝1，则对任意的正实数t，的最小值是(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．4 答案　B 解析　设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(1,1)，‎ 代入得c＋ta＋b＝，‎ 所以＝ ‎＝≥2.‎ ‎10．[2016·广州模拟]已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，(，0)，(0，－2)，O为坐标原点，动点P满足||＝1，则|＋＋|的最小值是(　　)‎ A.－1 B.－1‎ C.＋1 D.＋1‎ 答案　A 解析　本题主要考查向量的坐标运算，向量模的几何意义及坐标运算公式，圆的参数方程，三角函数的恒等变换．设P(cosθ，－2＋sinθ)，则|＋＋|＝＝＝≥ ＝－1.‎ 二、填空题 ‎11．如果z＝为纯虚数，则实数a等于________．‎ 答案　1‎ 解析　设z＝＝ti，‎ 则1－ai＝－t＋ti，，a＝1.‎ ‎12．执行如图所示的程序框图，输出的S的值是________．‎ 答案　－1－ 解析　由程序框图可知，n＝1，S＝0；S＝cos，n＝2；S＝cos＋cos，n＝3；…；n＝2015，S＝cos＋cos＋cos＋…＋cos＝251cos＋cos＋…＋cos＋cos＋cos＋…＋cos＝251×0＋＋0＋＋(－1)＋＋0＝－1－，n＝2105，输出S.‎ ‎13．[2016·合肥质检]已知等边△ABC的边长为2，若＝3，＝，则·＝________.‎ 答案　－2‎ 解析　本题主要考查平面向量数量积的计算．如图所示，·＝(－ ‎)·(＋)＝·＝·＝2－2＝×4－×4＝－2.‎ ‎14. 如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2＝a2＋b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面中的结论有________．‎ 答案　S2＝S＋S＋S 解析　建立从平面图形到空间图形的类比，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何的性质时，注意平面几何中点的性质可类比推理空间几何中线的性质，平面几何中线的性质可类比推理空间几何中面的性质，平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质．所以三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2＝S＋S＋S.‎