山东省菏泽市中考数学试卷( 解析版)

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文档介绍

山东省菏泽市中考数学试卷( 解析版)

‎2018年山东省菏泽市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请把正确选项的序号填在答题卡的相应位置。)‎ ‎1.(3分)下列各数:﹣2,0,,0.020020002…,π,,其中无理数的个数是(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎2.(3分)习近平主席在2018年新年贺词中指出,“安得广厦千万间,大庇天下寒土俱欢颜!”2017年,340万贫困人口实现异地扶贫搬迁,有了温暖的新家,各类棚户区改造开工提前完成600万套目标任务.将340万用科学记数法表示为(  )‎ A.0.34×107 B.34×105 C.3.4×105 D.3.4×106‎ ‎3.(3分)如图,直线a∥b,等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a、b上,若∠1=30°,则∠2的度数是(  )‎ A.45° B.30° C.15° D.10°‎ ‎4.(3分)如图是两个等直径圆柱构成的“T”形管道,其左视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(3分)关于x的一元二次方程(k+1)x2﹣2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是(  )‎ A.k≥0 B.k≤0 C.k<0且k≠﹣1 D.k≤0且k≠﹣1‎ ‎6.(3分)如图,在⊙O中,OC⊥AB,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是(  )‎ A.64° B.58° C.32° D.26°‎ ‎7.(3分)规定:在平面直角坐标系中,如果点P的坐标为(m,n),向量可以用点P的坐标表示为:=(m,n).已知:=(x1,y1),=(x2,y2),如果x1•x2+y1•y2=0,那么点与互相垂直.下列四组向量,互相垂直的是(  )‎ A.=(3,2),=(﹣2,3) B.=(﹣1,1),=(+1,1)‎ C.=(3,20180),=(﹣,﹣1) D.=(,﹣),=(()2,4)‎ ‎8.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+a与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分,请把最后结果填写在答题卡的相应区域内。)‎ ‎9.(3分)不等式组的最小整数解是   .‎ ‎10.(3分)若a+b=2,ab=﹣3,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为   .‎ ‎11.(3分)若正多边形的每一个内角为135°,则这个正多边形的边数是   .‎ ‎12.(3分)据资料表明:中国已成为全球机器人第二大专利来源国和目标国.机器人几大关键技术领域包括:谐波减速器、RV减速器、电焊钳、3D视觉控制、焊缝跟踪、涂装轨迹规划等,其中涂装轨迹规划的来源国结构(仅计算了中、日、德、美)如图所示,在该扇形统计图中,美国所对应的扇形圆心角是   度.‎ ‎13.(3分)如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为3:4,∠OCD=90°,∠AOB=60°,若点B的坐标是(6,0),则点C的坐标是   .‎ ‎14.(3分)一组“数值转换机”按下面的程序计算,如果输入的数是36,则输出的结果为106,要使输出的结果为127,则输入的最小正整数是   .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共10个小题,共78分,请把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内。)‎ ‎15.(6分)计算:﹣12018+()﹣2﹣|﹣2|﹣2sin60°.‎ ‎16.(6分)先化简再求值(﹣y)÷﹣(x﹣2y)(x+y),其中x=﹣1,y=2.‎ ‎17.(6分)如图,AB∥CD,AB=CD,CE=BF.请写出DF与AE的数量关系,并证明你的结论.‎ ‎18.(6分)2018年4月12日,菏泽国际牡丹花会拉开帷幕,菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播.如图,在直升机的镜头下,观测曹州牡丹园A处的俯角为30°,B处的俯角为45°,如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米,点A、B、D在同一条直线上,则A、B两点间的距离为多少米?(结果保留根号)‎ ‎19.(7分)列方程(组)解应用题:‎ 为顺利通过国家义务教育均衡发展验收,我市某中学配备了两个多媒体教室,购买了笔记本电脑和台式电脑共120台,购买笔记本电脑用了7.2万元,购买台式电脑用了24万元,已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍,那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少?‎ ‎20.(7分)如图,已知点D在反比例函数y=的图象上,过点D作DB⊥y轴,垂足为B(0,3),直线y=kx+b经过点A(5,0),与y轴交于点C,且BD=OC,OC:OA=2:5.‎ ‎(1)求反比例函数y=和一次函数y=kx+b的表达式;‎ ‎(2)直接写出关于x的不等式>kx+b的解集.‎ ‎21.(10分)为了发展学生的核心素养,培养学生的综合能力,某中学利用“阳光大课间”,组织学生积极参加丰富多彩的课外活动,学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等,其中射击队在某次训练中,甲、乙两名队员各射击10发子弹,成绩用如图的折线统计图表示:(甲为实线,乙为虚线)‎ ‎(1)依据折线统计图,得到下面的表格:‎ 射击次序(次)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 甲的成绩(环)‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎7‎ a ‎10‎ ‎8‎ 乙的成绩(环)‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ b ‎10‎ 其中a=   ,b=   ;‎ ‎(2)甲成绩的众数是   环,乙成绩的中位数是   环;‎ ‎(3)请运用方差的知识,判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定?‎ ‎(4)该校射击队要参加市组织的射击比赛,已预选出2名男同学和2名女同学,现要从这4名同学中任意选取2名同学参加比赛,请用列表或画树状图法,求出恰好选到1男1女的概率.‎ ‎22.(10分)如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BAC=36°,过点A作AD∥BC,与∠ABC的平分线交于点D,BD与AC交于点E,与⊙O交于点F.‎ ‎(1)求∠DAF的度数;‎ ‎(2)求证:AE2=EF•ED;‎ ‎(3)求证:AD是⊙O的切线.‎ ‎23.(10分)问题情境:‎ 在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1,将:矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD.并且量得AB=2cm,AC=4cm.‎ 操作发现:‎ ‎(1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转∠α,使∠α=∠BAC,得到如图2所示的△AC′D,过点C作AC′的平行线,与DC'的延长线交于点E,则四边形ACEC′的形状是   .‎ ‎(2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转,使B、A、D三点在同一条直线上,得到如图3所示的△AC′D,连接CC',取CC′的中点F,连接AF并延长至点G,使FG=AF,连接CG、C′G,得到四边形ACGC′,发现它是正方形,请你证明这个结论.‎ 实践探究:‎ ‎(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,进行如下操作:将△ABC沿着BD方向平移,使点B与点A重合,此时A点平移至A'点,A'C与BC′相交于点H,如图4所示,连接CC′,试求tan∠C′CH的值.‎ ‎24.(10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A,交x轴于点B(﹣5,0)和点C(1,0),过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.‎ ‎(1)求此抛物线的表达式;‎ ‎(2)点E是抛物线上一点,且点E关于x轴的对称点在直线AD上,求△EAD的面积;‎ ‎(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,△ABP的面积最大,求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积.‎ ‎ ‎ ‎2018年山东省菏泽市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请把正确选项的序号填在答题卡的相应位置。)‎ ‎1.(3分)下列各数:﹣2,0,,0.020020002…,π,,其中无理数的个数是(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎【考点】26:无理数;22:算术平方根.‎ ‎【分析】依据无理数的三种常见类型进行判断即可.‎ ‎【解答】解:在﹣2,0,,0.020020002…,π,中,无理数有0.020020002…,π这2个数,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】此题主要考查了无理数的定义,注意带根号的要开不尽方才是无理数,无限不循环小数为无理数.如π,,0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)习近平主席在2018年新年贺词中指出,“安得广厦千万间,大庇天下寒土俱欢颜!”2017年,340万贫困人口实现异地扶贫搬迁,有了温暖的新家,各类棚户区改造开工提前完成600万套目标任务.将340万用科学记数法表示为(  )‎ A.0.34×107 B.34×105 C.3.4×105 D.3.4×106‎ ‎【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.‎ ‎【分析】根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示,本题得以解决.‎ ‎【解答】解:340万=3400000=3.4×106,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数,解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)如图,直线a∥b,等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a、b上,若∠1=30°,则∠2的度数是(  )‎ A.45° B.30° C.15° D.10°‎ ‎【考点】KW:等腰直角三角形;JA:平行线的性质.‎ ‎【分析】根据a∥b,得到∠1+∠3+∠4+∠2=180°,将∠1=30°,∠3=45°,∠4=90°代入即可求出∠2的度数.‎ ‎【解答】解:如图.‎ ‎∵a∥b,‎ ‎∴∠1+∠3+∠4+∠2=180°,‎ ‎∵∠1=30°,∠3=45°,∠4=90°,‎ ‎∴∠2=15°,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)如图是两个等直径圆柱构成的“T”形管道,其左视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】U2:简单组合体的三视图.‎ ‎【分析】根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案.‎ ‎【解答】解:从左边看如图,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从左边看得到的图形是左视图.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)关于x的一元二次方程(k+1)x2﹣2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是(  )‎ A.k≥0 B.k≤0 C.k<0且k≠﹣1 D.k≤0且k≠﹣1‎ ‎【考点】AA:根的判别式;A1:一元二次方程的定义.‎ ‎【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△=(﹣2)2﹣4(k+1)≥0,然后求出两个不等式的公共部分即可.‎ ‎【解答】解:根据题意得k+1≠0且△=(﹣2)2﹣4(k+1)≥0,‎ 解得k≤0且k≠﹣1.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)如图,在⊙O中,OC⊥AB,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是(  )‎ A.64° B.58° C.32° D.26°‎ ‎【考点】M5:圆周角定理;KD:全等三角形的判定与性质.‎ ‎【分析】根据垂径定理,可得=,∠OEB=90°,根据圆周角定理,可得∠3,根据直角三角形的性质,可得答案.‎ ‎【解答】解:如图,‎ 由OC⊥AB,得 ‎=,∠OEB=90°.‎ ‎∴∠2=∠3.‎ ‎∵∠2=2∠1=2×32°=64°.‎ ‎∴∠3=64°,‎ 在Rt△OBE中,∠OEB=90°,‎ ‎∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理,利用垂径定理得出=,∠OEB=90°是解题关键,又利用了圆周角定理.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)规定:在平面直角坐标系中,如果点P的坐标为(m,n),向量可以用点P的坐标表示为:=(m,n).已知:=(x1,y1),=(x2,y2),如果x1•x2+y1•y2=0,那么点与互相垂直.下列四组向量,互相垂直的是(  )‎ A.=(3,2),=(﹣2,3) B.=(﹣1,1),=(+1,1)‎ C.=(3,20180),=(﹣,﹣1) D.=(,﹣),=(()2,4)‎ ‎【考点】LM:*平面向量;24:立方根;6E:零指数幂.‎ ‎【分析】根据垂直的向量满足的条件判断即可;‎ ‎【解答】解:A、∵3×(﹣2)+2×3=0,∴与垂直,故本选项符合题意;‎ B、∵(﹣1)(+1)+1×1=2≠0,∴与不垂直,故本选项不符合题意;‎ C、∵3×(﹣)+1×(﹣1)=﹣2≠,∴与不垂直,故本选项不符合题意;‎ D、∵×()2+(﹣)×4=2≠0,∴与不垂直,故本选项不符合题意,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查平面向量、平面向量垂直的条件,解题的关键是理解题意,属于中考常考题型.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+a与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】G2:反比例函数的图象;F3:一次函数的图象;H2:二次函数的图象.‎ ‎【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a,b,c的值取值范围,进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案.‎ ‎【解答】解:∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,‎ ‎∴a>0,‎ ‎∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧,‎ ‎∴a、b异号,即b<0.‎ ‎∵当x=1时,y<0,‎ ‎∴a+b+c<0.‎ ‎∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限,‎ 反比例函数y=的图象分布在第二、四象限,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象,正确把握相关性质是解题关键.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分,请把最后结果填写在答题卡的相应区域内。)‎ ‎9.(3分)不等式组的最小整数解是 0 .‎ ‎【考点】CC:一元一次不等式组的整数解.‎ ‎【分析】首先分别计算出两个不等式的解集,再根据大小小大中间找确定不等式组的解集,从而得出答案.‎ ‎【解答】解:解不等式x+1>0,得:x>﹣1,‎ 解不等式1﹣x≥0,得:x≤2,‎ 则不等式组的解集为﹣1<x≤2,‎ 所以不等式组的最小整数解为0,‎ 故答案为:0.‎ ‎【点评】此题主要考查了解一元一次不等式(组),关键是掌握解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)若a+b=2,ab=﹣3,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 30 .‎ ‎【考点】59:因式分解的应用.‎ ‎【分析】根据a3b﹣2a2b2+ab3=ab(a2﹣2ab+b2)=ab(a﹣b)2=ab[(a+b)2﹣4ab],结合已知数据即可求出代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值.‎ ‎【解答】解:∵a+b=2,ab=﹣3,‎ ‎∴a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)‎ ‎=ab(a+b)2‎ ‎=ab[(a+b)2﹣2ab]‎ ‎=3(4+6)‎ ‎=30.‎ 故答案为:30.‎ ‎【点评】本题考查了因式分解的应用以及完全平方式的转化,注意因式分解各种方法的灵活运用是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎11.(3分)若正多边形的每一个内角为135°,则这个正多边形的边数是 8 .‎ ‎【考点】L3:多边形内角与外角.‎ ‎【分析】先求出每一外角的度数是45°,然后用多边形的外角和为360°÷45°进行计算即可得解.‎ ‎【解答】解:∵所有内角都是135°,‎ ‎∴每一个外角的度数是180°﹣135°=45°,‎ ‎∵多边形的外角和为360°,‎ ‎∴360°÷45°=8,‎ 即这个多边形是八边形.‎ 故答案为:8.‎ ‎【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系,也是求解正多边形边数常用的方法之一.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)据资料表明:中国已成为全球机器人第二大专利来源国和目标国.机器人几大关键技术领域包括:谐波减速器、RV减速器、电焊钳、3D视觉控制、焊缝跟踪、涂装轨迹规划等,其中涂装轨迹规划的来源国结构(仅计算了中、日、德、美)如图所示,在该扇形统计图中,美国所对应的扇形圆心角是 57.6 度.‎ ‎【考点】VB:扇形统计图.‎ ‎【分析】根据圆心角=360°×百分比,计算即可;‎ ‎【解答】解:美国所对应的扇形圆心角=360°×(1﹣21%﹣32%﹣31%)=57.6°,‎ 故答案为57.6.‎ ‎【点评】本题考查了扇形统计图,读懂统计图是解决问题的关键,扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为3:4,∠OCD=90°,∠AOB=60°,若点B的坐标是(6,0),则点C的坐标是 (2,2) .‎ ‎【考点】SC:位似变换;D5:坐标与图形性质.‎ ‎【分析】根据题意得出D点坐标,再解直角三角形进而得出答案.‎ ‎【解答】解:分别过A作AE⊥OB,CF⊥OB,‎ ‎∵∠OCD=90°,∠AOB=60°,‎ ‎∴∠ABO=∠CDO=30°,∠OCF=30°,‎ ‎∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为3:4,点B的坐标是(6,0),‎ ‎∴D(8,0),则DO=8,‎ 故OC=4,‎ 则FO=2,CF=CO•cos30°=4×=2,‎ 故点C的坐标是:(2,2).‎ 故答案为:(2,2).‎ ‎【点评】此题主要考查了位似变换,运用位似图形的性质正确解直角三角形是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)一组“数值转换机”按下面的程序计算,如果输入的数是36,则输出的结果为106,要使输出的结果为127,则输入的最小正整数是 15 .‎ ‎【考点】33:代数式求值.‎ ‎【分析】根据输出的结果确定出x的所有可能值即可.‎ ‎【解答】解:当3x﹣2=127时,x=43,‎ 当3x﹣2=43时,x=15,‎ 当3x﹣2=15时,x=,不是整数;‎ 所以输入的最小正整数为15,‎ 故答案为:15.‎ ‎【点评】此题考查了代数式求值,弄清程序中的运算过程是解本题的关键.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共10个小题,共78分,请把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内。)‎ ‎15.(6分)计算:﹣12018+()﹣2﹣|﹣2|﹣2sin60°.‎ ‎【考点】2C:实数的运算;6F:负整数指数幂;T5:特殊角的三角函数值.‎ ‎【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质进而化简得出答案.‎ ‎【解答】解:原式=﹣1+2﹣(2﹣)﹣2×‎ ‎=﹣1+2﹣2+﹣‎ ‎=﹣1.‎ ‎【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎16.(6分)先化简再求值(﹣y)÷﹣(x﹣2y)(x+y),其中x=﹣1,y=2.‎ ‎【考点】6D:分式的化简求值;4B:多项式乘多项式.‎ ‎【分析】原式利用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将x、y的值代入计算可得.‎ ‎【解答】解:原式=(﹣)÷﹣(x2+xy﹣2xy﹣2y2)‎ ‎=•(x+y)﹣x2+xy+2y2‎ ‎=﹣xy﹣x2+xy+2y2‎ ‎=﹣x2+2y2,‎ 当x=﹣1、y=2时,‎ 原式=﹣(﹣1)2+2×22‎ ‎=﹣1+8‎ ‎=7.‎ ‎【点评】本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则.‎ ‎ ‎ ‎17.(6分)如图,AB∥CD,AB=CD,CE=BF.请写出DF与AE的数量关系,并证明你的结论.‎ ‎【考点】KD:全等三角形的判定与性质.‎ ‎【分析】结论:DF=AE.只要证明△CDF≌△BAE即可;‎ ‎【解答】解:结论:DF=AE.‎ 理由:∵AB∥CD,‎ ‎∴∠C=∠B,‎ ‎∵CE=BF,‎ ‎∴CF=BE,∵CD=AB,‎ ‎∴△CDF≌△BAE,‎ ‎∴DF=AE.‎ ‎【点评】本题考查全等三角形的判定和性质,解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件,属于中考常考题型.‎ ‎ ‎ ‎18.(6分)2018年4月12日,菏泽国际牡丹花会拉开帷幕,菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播.如图,在直升机的镜头下,观测曹州牡丹园A处的俯角为30°,B处的俯角为45°,如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米,点A、B、D在同一条直线上,则A、B两点间的距离为多少米?(结果保留根号)‎ ‎【考点】TA:解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.‎ ‎【分析】在两个直角三角形中,都是知道已知角和对边,根据正切函数求出邻边后,相加求差即可.‎ ‎【解答】解:∵EC∥AD,‎ ‎∴∠A=30°,∠CBD=45°,CD=200,‎ ‎∵CD⊥AB于点D.‎ ‎∴在Rt△ACD中,∠CDA=90°,tanA=,‎ ‎∴AD=,‎ 在Rt△BCD中,∠CDB=90°,∠CBD=45°‎ ‎∴DB=CD=200,‎ ‎∴AB=AD﹣DB=200﹣200,‎ 答:A、B两点间的距离为200﹣200米.‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用,解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高,将三角形分成两个三角形,然后求解.分别在两三角形中求出AD与BD的长.‎ ‎ ‎ ‎19.(7分)列方程(组)解应用题:‎ 为顺利通过国家义务教育均衡发展验收,我市某中学配备了两个多媒体教室,购买了笔记本电脑和台式电脑共120台,购买笔记本电脑用了7.2万元,购买台式电脑用了24万元,已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍,那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少?‎ ‎【考点】B7:分式方程的应用.‎ ‎【分析】设台式电脑的单价是x元,则笔记本电脑的单价为1.5x元,利用购买笔记本电脑和购买台式电脑的台数和列方程+=120,然后解分式方程即可.‎ ‎【解答】解:设台式电脑的单价是x元,则笔记本电脑的单价为1.5x元,‎ 根据题意得+=120,‎ 解得x=2400,‎ 经检验x=2400是原方程的解,‎ 当x=2400时,1.5x=3600.‎ 答:笔记本电脑和台式电脑的单价分别为3600元和2400元.‎ ‎【点评】本题考查了分式方程的应用:列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.‎ ‎ ‎ ‎20.(7分)如图,已知点D在反比例函数y=的图象上,过点D作DB⊥y轴,垂足为B(0,3),直线y=kx+‎ b经过点A(5,0),与y轴交于点C,且BD=OC,OC:OA=2:5.‎ ‎(1)求反比例函数y=和一次函数y=kx+b的表达式;‎ ‎(2)直接写出关于x的不等式>kx+b的解集.‎ ‎【考点】G8:反比例函数与一次函数的交点问题.‎ ‎【分析】(1)由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标可得出点C、D的坐标,由点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a值,进而可得出反比例函数的表达式,再由点A、C的坐标利用待定系数法,即可求出一次函数的表达式;‎ ‎(2)将一次函数表达式代入反比例函数表达式中,利用根的判别式△<0可得出两函数图象无交点,再观察图形,利用两函数图象的上下位置关系即可找出不等式>kx+b的解集.‎ ‎【解答】解:(1)∵BD=OC,OC:OA=2:5,点A(5,0),点B(0,3),‎ ‎∴OA=5,OC=BD=2,OB=3,‎ 又∵点C在y轴负半轴,点D在第二象限,‎ ‎∴点C的坐标为(0,﹣2),点D的坐标为(﹣2,3).‎ ‎∵点D(﹣2,3)在反比例函数y=的图象上,‎ ‎∴a=﹣2×3=﹣6,‎ ‎∴反比例函数的表达式为y=﹣.‎ 将A(5,0)、B(0,﹣2)代入y=kx+b,‎ ‎,解得:,‎ ‎∴一次函数的表达式为y=x﹣2.‎ ‎(2)将y=x﹣2代入y=﹣,整理得:x2﹣2x+6=0,‎ ‎∵△=(﹣2)2﹣4××6=﹣<0,‎ ‎∴一次函数图象与反比例函数图象无交点.‎ 观察图形,可知:当x<0时,反比例函数图象在一次函数图象上方,‎ ‎∴不等式>kx+b的解集为x<0.‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征以及根的判别式,解题的关键是:(1)由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标找出点C、D的坐标;(2)根据两函数图象的上下位置关系,找出不等式的解集.‎ ‎ ‎ ‎21.(10分)为了发展学生的核心素养,培养学生的综合能力,某中学利用“阳光大课间”,组织学生积极参加丰富多彩的课外活动,学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等,其中射击队在某次训练中,甲、乙两名队员各射击10发子弹,成绩用如图的折线统计图表示:(甲为实线,乙为虚线)‎ ‎(1)依据折线统计图,得到下面的表格:‎ 射击次序(次)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 甲的成绩(环)‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎7‎ a ‎10‎ ‎8‎ 乙的成绩(环)‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ b ‎10‎ 其中a= 8 ,b= 7 ;‎ ‎(2)甲成绩的众数是 8 环,乙成绩的中位数是 7 环;‎ ‎(3)请运用方差的知识,判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定?‎ ‎(4)该校射击队要参加市组织的射击比赛,已预选出2名男同学和2名女同学,现要从这4名同学中任意选取2名同学参加比赛,请用列表或画树状图法,求出恰好选到1男1女的概率.‎ ‎【考点】X6:列表法与树状图法;VD:折线统计图;W4:中位数;W5:众数;W7:方差.‎ ‎【分析】(1)根据折线统计图即可得;‎ ‎(2)根据众数的定义可得;‎ ‎(3)求出甲乙两人成绩的方差,方差小者成绩稳定;‎ ‎(4)列表得出所有等可能结果,从中找到一男一女的结果数,利用概率公式计算可得.‎ ‎【解答】解:(1)由折线统计图知a=8、b=7,‎ 故答案为:8、7;‎ ‎(2)甲射击成绩次数最多的是8环、乙射击成绩次数最多的是7环,‎ 甲成绩的众数是8环、乙成绩的众数为7环;‎ ‎(3)甲成绩的平均数为=8(环),‎ 所以甲成绩的方差为×[(6﹣8)2+2×(7﹣8)2+4×(8﹣8)2+2×(9﹣8)2+(10﹣8)2]=1.2(环2),‎ 乙成绩的平均数为=8(环),‎ 所以乙成绩的方差为×[(6﹣8)2+4×(7﹣8)2+(8﹣8)2+2×(9﹣8)2+2×(10﹣8)2]=1.8(环2),‎ 故甲成绩更稳定;‎ ‎(4)用A、B表示男生,用a、b表示女生,列表得:‎ ‎ ‎ A B a b A ‎ ‎ AB Aa ‎ Ab B BA ‎ ‎ Ba Bb a aA aB ‎ ‎ ab b bA bB ba ‎ ‎ ‎∵共有12种等可能的结果,其中一男一女的有8种情况,‎ ‎∴恰好选到1男1女的概率为=.‎ ‎【点评】本题考查了折线统计图:折线图是用一个单位表示一定的数量,根据数量的多少描出各点,然后把各点用线段依次连接起来.以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化.也考查了概率公式.‎ ‎ ‎ ‎22.(10分)如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BAC=36°,过点A作AD∥BC,与∠ABC的平分线交于点D,BD与AC交于点E,与⊙O交于点F.‎ ‎(1)求∠DAF的度数;‎ ‎(2)求证:AE2=EF•ED;‎ ‎(3)求证:AD是⊙O的切线.‎ ‎【考点】S9:相似三角形的判定与性质;M5:圆周角定理;MD:切线的判定.‎ ‎【分析】(1)求出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度数,求出∠D度数,根据三角形内角和定理求出∠BAF和∠BAD度数,即可求出答案;‎ ‎(2)求出△AEF∽△DEA,根据相似三角形的性质得出即可;‎ ‎(3)连接AO,求出∠OAD=90°即可.‎ ‎【解答】(1)解:∵AD∥BC,‎ ‎∴∠D=∠CBD,‎ ‎∵AB=AC,∠BAC=36°,‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=×(180°﹣∠BAC)=72°,‎ ‎∴∠AFB=∠ACB=72°,‎ ‎∵BD平分∠ABC,‎ ‎∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=72°=36°,‎ ‎∴∠D=∠CBD=36°,‎ ‎∴∠BAD=180°﹣∠D﹣∠ABD=180°﹣36°﹣36°=108°,‎ ‎∠BAF=180°﹣∠ABF﹣∠AFB=180°﹣36°﹣72°=72°,‎ ‎∴∠DAF=∠DAB﹣∠FAB=108°﹣72°=36°;‎ ‎(2)证明:∵∠CBD=36°,∠FAC=∠CBD,‎ ‎∴∠FAC=36°=∠D,‎ ‎∵∠AED=∠AEF,‎ ‎∴△AEF∽△DEA,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AE2=EF×ED;‎ ‎(3)证明:连接OA、OF,‎ ‎∵∠ABF=36°,‎ ‎∴∠AOF=2∠ABF=72°,‎ ‎∵OA=OF,‎ ‎∴∠OAF=∠OFA=×(180°﹣∠AOF)=54°,‎ 由(1)知∠ADF=36°,‎ ‎∴∠OAD=36°+54°=90°,‎ 即OA⊥AD,‎ ‎∵OA为半径,‎ ‎∴AD是⊙O的切线.‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定,圆周角定理,三角形内角和定理,等腰三角形的性质等知识点,能综合运用定理进行推理是解此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎23.(10分)问题情境:‎ 在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1,将:矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD.并且量得AB=2cm,AC=4cm.‎ 操作发现:‎ ‎(1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转∠α,使∠α=∠BAC,得到如图2所示的△AC′D,过点C作AC′的平行线,与DC'的延长线交于点E,则四边形ACEC′的形状是 菱形 .‎ ‎(2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转,使B、A、D三点在同一条直线上,得到如图3所示的△AC′D,连接CC',取CC′的中点F,连接AF并延长至点G,使FG=AF,连接CG、C′G,得到四边形ACGC′,发现它是正方形,请你证明这个结论.‎ 实践探究:‎ ‎(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,进行如下操作:将△ABC沿着BD方向平移,使点B与点A重合,此时A点平移至A'点,A'C与BC′相交于点H,如图4所示,连接CC′,试求tan∠C′CH的值.‎ ‎【考点】LO:四边形综合题.‎ ‎【分析】(1)先判断出∠ACD=∠BAC,进而判断出∠BAC=∠AC'D,进而判断出∠CAC'=∠AC'D,即可的结论;‎ ‎(2)先判断出∠CAC'=90°,再判断出AG⊥CC',CF=C'F,进而判断出四边形ACGC'是平行四边形,即可得出结论;‎ ‎(3)先判断出∠ACB=30°,进而求出BH,AH,即可求出CH,C'H,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)在如图1中,‎ ‎∵AC是矩形ABCD的对角线,‎ ‎∴∠B=∠D=90°,AB∥CD,‎ ‎∴∠ACD=∠BAC,‎ 在如图2中,由旋转知,AC'=AC,∠AC'D=∠ACD,‎ ‎∴∠BAC=∠AC'D,‎ ‎∵∠CAC'=∠BAC,‎ ‎∴∠CAC'=∠AC'D,‎ ‎∴AC∥C'E,‎ ‎∵AC'∥CE,‎ ‎∴四边形ACEC'是平行四边形,‎ ‎∵AC=AC',‎ ‎∴▱ACEC'是菱形,‎ 故答案为:菱形;‎ ‎(2)在图1中,∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AB∥CD,‎ ‎∴∠CAD=∠ACB,∠B=90°,‎ ‎∴∠BAC+∠ACB=90°‎ 在图3中,由旋转知,∠DAC'=∠DAC,‎ ‎∴∠ACB=∠DAC',‎ ‎∴∠BAC+∠DAC'=90°,‎ ‎∵点D,A,B在同一条直线上,‎ ‎∴∠CAC'=90°,‎ 由旋转知,AC=AC',‎ ‎∵点F是CC'的中点,‎ ‎∴AG⊥CC',CF=C'F,‎ ‎∵AF=FG,‎ ‎∴四边形ACGC'是平行四边形,‎ ‎∵AG⊥CC',‎ ‎∴▱ACGC'是菱形,‎ ‎∵∠CAC'=90°,‎ ‎∴菱形ACGC'是正方形;‎ ‎(3)在Rt△ABC中,AB=2,AC=4,‎ ‎∴BC'=AC=4,BD=BC=2,sin∠ACB==,‎ ‎∴∠ACB=30°,‎ 由(2)结合平移知,∠CHC'=90°,‎ 在Rt△BCH中,∠ACB=30°,‎ ‎∴BH=BC•sin30°=,‎ ‎∴C'H=BC'﹣BH=4﹣,‎ 在Rt△ABH中,AH=AB=1,‎ ‎∴CH=AC﹣AH=4﹣1=3,‎ 在Rt△CHC'中,tan∠C′CH==.‎ ‎【点评】此题是四边形综合题,主要考查了矩形是性质,平行四边形,菱形,矩形,正方形的判定和性质,勾股定理,锐角三角函数,旋转的性质,判断出∠‎ CAC'=90°是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎24.(10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A,交x轴于点B(﹣5,0)和点C(1,0),过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.‎ ‎(1)求此抛物线的表达式;‎ ‎(2)点E是抛物线上一点,且点E关于x轴的对称点在直线AD上,求△EAD的面积;‎ ‎(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,△ABP的面积最大,求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积.‎ ‎【考点】HF:二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)根据题意可以求得a、b的值,从而可以求得抛物线的表达式;‎ ‎(2)根据题意可以求得AD的长和点E到AD的距离,从而可以求得△EAD的面积;‎ ‎(3)根据题意可以求得直线AB的函数解析式,再根据题意可以求得△ABP的面积,然后根据二次函数的性质即可解答本题.‎ ‎【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A,交x轴于点B(﹣5,0)和点C(1,0),‎ ‎∴,得,‎ ‎∴此抛物线的表达式是y=x2+4x﹣5;‎ ‎(2)∵抛物线y=x2+4x﹣5交y轴于点A,‎ ‎∴点A的坐标为(0,﹣5),‎ ‎∵AD∥x轴,点E是抛物线上一点,且点E关于x轴的对称点在直线AD上,‎ ‎∴点E的纵坐标是5,点E到AD的距离是10,‎ 当y=﹣5时,﹣5=x2+4x﹣5,得x=0或x=﹣4,‎ ‎∴点D的坐标为(﹣4,﹣5),‎ ‎∴AD=4,‎ ‎∴△EAD的面积是:=20;‎ ‎(3)设点P的坐标为(p,p2+4p﹣5),如右图所示,‎ 设过点A(0,﹣5),点B(﹣5,0)的直线AB的函数解析式为y=mx+n,‎ ‎,得,‎ 即直线AB的函数解析式为y=﹣x﹣5,‎ 当x=p时,y=﹣p﹣5,‎ ‎∵OB=5,‎ ‎∴△ABP的面积是:S==,‎ ‎∵点P是直线AB下方的抛物线上一动点,‎ ‎∴﹣5<p<0,‎ ‎∴当p=﹣时,S取得最大值,此时S=,点p的坐标是(,﹣),‎ 即点p的坐标是(,﹣)时,△ABP的面积最大,此时△ABP的面积是.‎ ‎【点评】本题考查二次函数综合题,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想和二次函数的性质解答.‎ ‎ ‎
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