2017年高考数学（理,山东）二轮专题复习：专题限时集训 第1部分 专题2 突破点5 数列的通项与求和

2017年高考数学（理,山东）二轮专题复习：专题限时集训 第1部分 专题2 突破点5 数列的通项与求和

专题限时集训(五)　数列的通项与求和 ‎[建议A、B组各用时：45分钟] ‎ ‎[A组　高考达标]‎ 一、选择题 ‎1．(2016·济南模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，则an＝(　　)‎ A．2n＋1　 B．2n C．2n－1 D．2n－2‎ A　[由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，两式相减可得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，所以数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，则an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A.]‎ ‎2．数列{an}满足a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则a5＝(　　)‎ A. B. C．5 D．6‎ A　[因为a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则＝，所以a5＝····a1，即a5＝××××1＝.故选A.]‎ ‎3.＋＋＋…＋的值为(　　)‎ A. B.－ C.－ D.－＋ C　[∵＝＝ ‎＝，‎ ‎∴＋＋＋…＋＝ ‎＝ ‎＝－.]‎ ‎4．在等差数列{an}中，a1＝－2 012，其前n项和为Sn，若－＝2 002，则S2 014的值等于(　　)‎ A．2 011 B．－2 012‎ C．2 014 D．－2 013‎ C　[等差数列中，Sn＝na1＋d，＝a1＋(n－1)，即数列是首项为a1＝－2 012，公差为的等差数列．因为－＝2 002，所以(2 012－10)＝2 002，＝1，所以S2 014‎ ‎＝2 014[(－2 012)＋(2 014－1)×1]‎ ‎＝2 014，选C.]‎ ‎5．数列{an}满足a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，则＋＋＋…＋等于(　　)‎ A. B. C. D. A　[令m＝1，得an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，上述n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n，‎ 所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝，‎ 因此＝＝2，‎ 所以＋＋＋…＋ ‎＝2 ‎＝2＝.故选A.]‎ 二、填空题 ‎6．(2016·西安模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，an＝4Sn－3，则S4＝__________. 【导学号：67722025】‎ 　[∵an＝4Sn－3，∴当n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1，当n≥2时，∵4Sn＝an＋3，∴4Sn－1＝an－1＋3，∴4an＝an－an－1，∴＝－，∴{an}是以1为首项，－为公比的等比数列，∴S4＝＝×＝.]‎ ‎7．(2016·广州二模)设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N*)，则数列的前n项和为__________．‎ 　[令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－1＝a1＋a2＝k－1＋12，解得k＝4，所以Sn＝4n2－1，＝＝＝，则数列的前n项和为＋＋…＋＝＝.]‎ ‎8．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋1(n∈N*)，且a1＝1，则通项公式an＝________.‎ n∈N*　[由Sn＝2an＋1(n∈N*)可得Sn－1＝2an(n≥2，n∈N*)两式相减得：‎ an＝2an＋1－2an，即＝(n≥2，n∈N*)．‎ 又由a1＝1及Sn＝2an＋1(n∈N*)可得a2＝，‎ 所以数列{an}从第二项开始成一个首项为a2＝，公比为的等比数列，‎ 故当n>1，n∈N*时有an＝·n－2，‎ 所以有an＝n∈N*.]‎ 三、解答题 ‎9．(2016·太原二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)数列{bn}满足bn＝(log2a2n＋1)×(log2a2n＋3)，求数列的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)∵，an，Sn成等差数列，∴2an＝Sn＋，1分 当n＝1时，2a1＝S1＋，∴a1＝，2分 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴＝2，4分 ‎∴数列{an}是首项为，公比为2的等比数列，an＝2n－2(n∈N*).6分 ‎(2)∵bn＝log2a2n＋1×log2a2n＋3＝log222n＋1－2×log222n＋3－2‎ ‎＝(2n－1)(2n＋1)，8分 ‎∴＝×＝，10分 ‎∴Tn＝1－＋－＋…＋－ ‎＝＝.12分 ‎10．已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.‎ ‎(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎[解]　(1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0(bn≠0，n∈N*)，‎ 所以－＝2，2分 即cn＋1－cn＝2.3分 又c1＝＝1，‎ 所以数列{cn}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故cn＝2n－1.5分 ‎(2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1，7分 于是数列{an}的前n项和 Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1，8分 ‎3Sn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n，9分 相减得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n，11分 所以Sn＝(n－1)3n＋1.12分 ‎[B组　名校冲刺]‎ 一、选择题 ‎1．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a>0，a≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10等于(　　)‎ A. B. C. D. B　[y＝loga(x－1)＋3恒过定点(2,3)，‎ 即a2＝2，a3＝3，又{an}为等差数列，‎ ‎∴an＝n，∴bn＝，‎ ‎∴T10＝1－＝，故选B.]‎ ‎2．已知数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于(　　)‎ A．445 B．765‎ C．1 080 D．3 105‎ B　[∵an＋1＝an＋3，∴an＋1－an＝3，∴{an}是以－60为首项，3为公差的等差数列，‎ ‎∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63.‎ 令an≤0，得n≤21，∴前20项都为负值．‎ ‎∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋a21＋…＋a30＝－2S20＋S30.‎ ‎∵Sn＝n＝×n，∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝765，故选B.]‎ ‎3．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝(　　)‎ A. B. C. D. B　[由题意知，Sn＋nan＝2，当n≥2时，(n＋1)an＝(n－1)an－1，‎ 从而···…·＝··…·，有an＝，当n＝1时上式成立，所以an＝.故选B.]‎ ‎4．(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　)‎ A．192里 B．96里 C．48里 D．24里 B　[由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．故选B.]‎ 二、填空题 ‎5．(2016·山西四校联考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 016＝__________.‎ ‎ 【导学号：67722026】‎ ‎3×21 008－3　[∵数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n①，∴n＝1时，a2＝2，n≥2时，an·an－1＝2n－1②，∵①÷②得＝2，∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2 016＝＋＝3×21 008－3.]‎ ‎6．设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝__________，S5＝__________.‎ ‎1　121　[∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，‎ ‎∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3，‎ ‎∴数列是公比为3的等比数列，‎ ‎∴＝3.‎ 又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，‎ ‎∴S5＋＝×34＝×34＝，‎ ‎∴S5＝121.]‎ 三、解答题 ‎7．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎[解]　(1)因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①‎ 所以当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，②2分 ‎①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2).4分 在①中，令n＝1，得a1＝，满足an＝，所以an＝(n∈N*).6分 ‎(2)由(1)知an＝，故bn＝＝n×3n.‎ 则Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，③‎ ‎3Sn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1，④8分 ‎③－④得－2Sn＝3＋32＋33＋34＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1，11分 所以Sn＝＋(n∈N*).12分 ‎8．(2016·烟台二模)已知函数f(x)＝，数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，Sn＋1＝f(Sn)(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设Tn＝S＋S＋…＋S，当n≥2时，求证：4Tn＜2－.‎ ‎[解]　(1)由题意可知，Sn＋1＝，两边取倒数得：＝＝＋2，‎ 即－＝2，又＝2，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列.3分 故＝2＋2(n－1)＝2n，所以Sn＝，5分 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.7分 所以an＝8分 ‎(2)证明：由(1)可知，S＝，当n≥2时，＜，10分 所以Tn＜，‎ 即4Tn＜2－.12分