2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性
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多维层次练9
[A级 基础巩固]
1．(多选题)(2020·广东肇庆检测)下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是( )
A．y＝－ B．y＝2x－2－x
C．y＝sin x D．y＝x|x|
解析：C项在定义域上有增有减，A选项定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)不能写成并集，所以A选项错误．对于B选项，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)是奇函数，并且在定义域上为增函数．D项，当x≥0，y＝x2是增函数；x≤0时，y＝－x2也是增函数，且y＝x|x|是奇函数．
答案：BD
2．(2020·广东湛江模拟)已知函数g(x)＝f(2x)－x2为奇函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析：因为g(x)为奇函数，且f(2)＝1，所以g(－1)＝－g(1)，
所以f(－2)－1＝－f(2)＋1＝－1＋1＝0，所以f(－2)＝1.
答案：C
3．若函数y＝f(2x－1)是偶函数，则函数y＝f(2x＋1)的图象的对称轴是( )
A．x＝－1 B．x＝0 C．x＝ D．x＝－
解析：因为函数y＝f(2x－1)是偶函数，所以函数y＝f(2x－1)的图象关于y轴对称，因为函数y＝f(2x＋1)的图象是由函数y＝f(2x－1)的图象向左平移一个单位得到，故y＝f(2x＋1)的图象关于x＝－1
对称．
答案：A
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x∈时，f(x)＝log2(－3x＋1)，则f(2 021)等于( )
A．4 B．2 C．－2 D．log27
解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，所以f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝－f(－1)．
因为－1∈，且当x∈时，
f(x)＝log2(－3x＋1)，
所以f(－1)＝log2[－3×(－1)＋1]＝2，
所以f(2 021)＝－f(－1)＝－2.
答案：C
5．(一题多解)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.
法二(特殊化) 取f(x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log25.1>20.8，
从而可得c>a>b.
答案：C
6．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝，则实数a的取值范围为( )
A．(－1，4) B．(－2，0) C．(－1，0) D．(－1，2)
解析：因为f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，
所以f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，
因为f(1)＜1，f(5)＝，所以＜1，即＜0，
解得－1＜a＜4.
答案：A
7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(1)＝________，f(0)＋f(－1)＝________．
解析：当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(1)＝2，
又f(x)在R上是奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)＝－2，f(0)＝0，
故f(0)＋f(－1)＝－2.
答案：2 －2
8．(2017·山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．
解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，
所以f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，
所以f(x)是周期为6的周期函数，
所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．
又f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.
答案：6
9．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数．如果实数t满足f(ln t)＋f ≤2f(1)，那么t的取值范围是________．
解析：由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(ln t)＝f ，
由f(ln t)＋f ≤2f(1)，
得f(ln t)≤f(1)．
又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，
所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故≤t≤e.
答案：
10．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f ＝－f 成立．
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．
(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值．
(1)证明：由f ＝－f ，
且f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋3)＝－f(－x)＝f(x)，
因此函数y＝f(x)是以3为周期的函数．
(2)解：由f(x)是定义在R上的奇函数，知f(0)＝0，
所以f(3)＝f(0)＝0，
又f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
故f(2)＋f(3)＝－2＋0＝－2.
(3)解：因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，
且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数．
故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，
所以a＝0.
[B级 能力提升]
11．(2020·衡水中学质检)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－cos x，则下列结论正确的是( )
A．f 0，f(x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f(2 023)＝________．
解析：因为f(x)>0，f(x＋2)＝，
所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)，
则函数f(x)的周期为4，
所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)．
因为函数f(x)为偶函数，
所以f(2 023)＝f(－1)＝f(1)．
当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝.
由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(1)＝1.
答案：1
13．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，
则f(x)的图象如图所示．
当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S＝4S△OAB＝4×＝4.
[C级 素养提升]
14．(多选题)(2020·山东四校联考)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列结论中正确的是( )
A．函数f(x)是以2为周期的周期函数
B．函数f(x)是以4为周期的周期函数
C．函数f(x－1)为奇函数
D．函数f(x－3)为偶函数
解析：偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，
即有f(－x)＝f(x)＝－f(2－x)，
即为f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
可得f(x)的最小正周期为4，故A错，B正确．
由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋1)＝－f(x－1)．
又f(－x－1)＝f(x＋1)，则f(－x－1)＝－f(x－1)，
故f(x－1)为奇函数，C正确．
由f(－x－3)＝f(x＋3)，若f(x－3)为偶函数，即有f(－x－3)＝f(x－3)，
得f(x＋3)＝f(x－3)，所以f(x＋6)＝f(x)．
可得6为f(x)的周期，这与4为最小正周期矛盾，故D不正确．
答案：BC
素养培育数学运算——活用函数性质中“三个二级”结论(自主阅读)
1．奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
[典例1] 设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
解析：显然函数f(x)的定义域为R.
f(x)＝＝1＋.
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
所以M＋m＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
答案：2
2．抽象函数的周期性
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
[典例2] 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 023)＋f(2 024)＝( )
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(－2 023)＝－f(2 023)，
因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，
自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．
又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，
所以f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝2，
f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝3.
故f(－2 023)＋f(2 024)＝－f(2 023)＋3＝1.
答案：C
3．抽象函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数．
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)
，则f(x)的图象关于点(a，0)对称．
[典例3] 函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．[－3，1]
B．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
C．[－4，2]
D．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
解析：由于f(x＋1)是偶函数，
所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，
因此函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称．
由f(x)在[1，＋∞)上递减，知f(x)在(－∞，1]上递增．
又x∈[－1，0]，知x－1∈[－2，－1]，
若m＋2≤1时，f(m＋2)≥f(x－1)对x∈[－1，0]恒成立．
则m＋2≥x－1对x∈[－1，0]恒成立，
所以－3≤m≤－1；①
若m＋2>1时，f(m＋2)≥f(x－1)＝f(3－x)．
所以m＋2≤3－x对x∈[－1，0]恒成立，
则－1
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