【推荐】专题03 直线与方程(导学案)-2017-2018学年上学期期末复习备考高二数学(文)黄金讲练x

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【推荐】专题03 直线与方程(导学案)-2017-2018学年上学期期末复习备考高二数学(文)黄金讲练x

第三讲 直线与方程 一、 学习目标 ‎ 1.掌握直线的倾斜角的概念、斜率公式;掌握直线的方程的几种形式及其相互转化,以及 ‎ 直线方程知识的灵活运用;掌握两直线位置关系的判定,点到直线的距离公式及其公式的运用; ‎ ‎2.充分理解解析思想(坐标法),加强数形结合思想的培养和应用意识的培养;‎ ‎3.积极主动,认真研究,以极大的热情投入学习中去。‎ 二、知识梳理 ‎(1)直线的倾斜角 定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°。‎ ‎(2)直线的斜率 ‎①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。‎ 当时,; 当时,; 当时,不存在。‎ ‎②过两点的直线的斜率公式: ‎ 注意下面四点:(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;‎ ‎(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;‎ ‎(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。‎ ‎(3)直线方程 ‎①点斜式: 直线斜率k,且过点 注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1。‎ 当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。‎ ‎②斜截式:,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b ‎③两点式:()直线两点,‎ ‎④截矩式:‎ 其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。‎ ‎⑤一般式:(A,B不全为0)‎ 注意:各式的适用范围 特殊的方程如:‎ 平行于x轴的直线:(b为常数); 平行于y轴的直线:(a为常数); ‎ ‎(5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 ‎ ① 平行直线系 平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系:(C为常数)‎ ‎ ② 过定点的直线系 ‎(ⅰ)斜率为k的直线系:,直线过定点;‎ ‎(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为 ‎(为参数),其中直线不在直线系中。‎ ‎(6)两直线平行与垂直 当,时,‎ ‎;‎ 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。‎ ‎(7)两条直线的交点 ‎ 相交 交点坐标即方程组的一组解。‎ 方程组无解 ; 方程组有无数解与重合 ‎(8)两点间距离公式:设是平面直角坐标系中的两个点,‎ 则 ‎ ‎(9)点到直线距离公式:一点到直线的距离 ‎(10)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。‎ 三、典型例题 例1.过点A(-5,-4)作一直线l,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形的面积为5,求直线l的方程.‎ ‎【方法规律】求直线的方程,可先设方程,然后根据条件求系数。‎ 变式练习1.过点P(-1,0),Q(0,2)分别作两条互相平行的直线,使它们在x轴上截距之差的绝对值为1,求这两条直线的方程.‎ ‎【答案】x=-1,x=0,或x-y+1=0,x-y+2=0.‎ 例2.已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m的值,使得:‎ ‎(1)l1⊥l2;(2)l1∥l2.‎ ‎【解析】法一 当m=0或2时,两直线既不平行,也不垂直;‎ 当m≠0且m≠2时,直线l1,l2的斜率分别为:-,.‎ ‎(1)若l1⊥l2,则-·=-1,解得m=.‎ ‎(2)若l1∥l2,则由-=,得m=-1或m=3.‎ 又当m=3时,l1与l2重合,故m=3舍去.故l1∥l2时,m=-1.‎ 法二 (1)∵l1⊥l2,∴m-2+3m=0,∴m=.‎ (2) ‎∵l1∥l2,∴3-m(m-2)=0且2m≠6(m-2),故m=-1.‎ ‎【方法规律】 已知两直线的方程中都含有参数,求不同的位置关系时参数的取值,可以利用平行(或垂直)的条件列方程求解.‎ 变式练习2.已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.‎ ‎(1)求过点A,且和直线l平行的直线方程;‎ ‎(2)求过点A,且和直线l垂直的直线方程.‎ ‎【答案】(1). 3x+4y-14=0 (2).4x-3y-2=0‎ ‎【解析】(1)因为所求直线与l:3x+4y-20=0平行,所以设所求直线方程为3x+4y+m=0.‎ ‎ 又因为所求直线过点A(2,2),所以3×2+4×2+m=0,所以m=-14,所以所求直线方程为3x+4y-14=0.‎ ‎ (2)因为所求直线与直线l:3x+4y-20=0垂直,所以设所求直线方程为4x-3y+n=0.‎ 又因为所求直线过点A(2,2),所以4×2-3×2+n=0,所以n=-2,所以所求直线方程为4x-3y-2=0.‎ 例3.一条光线经过P(2,3)点,射在直线l:x+y+1=0上,反射后穿过点Q(1,1).‎ ‎(1)求入射光线的方程;‎ ‎(2)求这条光线从P到Q的长度.‎ ‎==. 即这条光线从P到Q的长度是.‎ ‎【方法规律】利用入射线与反射线的性质,转化为点关于直线l的对称问题,即求Q点关于直线l的对称点.‎ 变式练习3.求直线l1:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0的对称直线l2的方程.‎ ‎【答案】2x+11y+16=0.‎ ‎【解析】解方程组得 所以直线l1与l相交,且交点为E(3,-2),E也在直线l2上,在直线l1:2x+y-4=0上取点A(2,0),设点A关于直线l的对称点为B(x0,y0),‎ 于是有解得即B.‎ 故由两点式得直线l2的方程为2x+11y+16=0.‎ 例4.点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-5λ=0的距离为d,求d的最大值.‎ 变式练习4.直线l1过点P(-1,2),斜率为-,把l1绕点P按顺时针方向旋转30°得直线l2,求直线l1和l2的方程.‎ ‎【解析】设直线l1的斜率为k,倾斜角为α.由题意,知直线l1的方程是y-2=-(x+1),即x+3y-6+=0. ∵k1=-=tan α1,∴l1的倾斜角α1=150°.如图,l1绕点P按顺时针方向旋转30°,得到直线l2的倾斜角α2=150°-30°=120°,∴直线l2的斜率k2=tan 120°=-,∴l2的方程为y-2=-(x+1),即x+y-2+=0.‎ 四、课堂练习 ‎1.直线(1﹣2a)x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直,则实数a的值为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 【答案】B ‎ 【解析】∵直线(1﹣2a)x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直,∴3(1﹣2a)﹣2=0,∴,故选B.‎ ‎2.已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎ 【答案】A ‎ 【解析】设C(t,t2),由A(0,2),B(2,0)易求得直线AB的方程为y=-x+2.‎ ‎∴点C到直线AB的距离d=.‎ 又∵|AB|=2,∴S△ABC=×|AB|·d=|t2+t-2|.‎ 令|t2+t-2|=2,得t2+t-2=±2,∴t2+t=0或t2+t-4=0,符合题意的t值有4个,故满足题意的点C有4个.‎ ‎3.过点A(-2,)和B(,4)的直线与直线平行,则的值为 。‎ ‎【答案】-8‎ ‎【解析】因为直线平行,斜率相等,所以过点A(-2,)和B(,4)的直线斜率为,所以 ‎。‎ ‎4.已知两条直线与的交点,求:(1)过点且过原点的直线方程;(2)过点且垂直于直线的直线的方程。‎ ‎【答案】(1) (2)‎ 五、课后练习 ‎1.已知直线,则之间的距离为 ( )‎ ‎ A.1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题知,所以之间的距离.故选B.‎ ‎2.若A(-2,3),B(3,-2),C三点共线,则m的值为(  )‎ A. B.- C.-2 D.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由=,得m=.‎ ‎3.如图,在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是(  )‎ ‎【答案】C ‎【解析】当a>0时,A,B,C,D均不成立;当a<0时,只有C成立.‎ ‎4.直线过点 (-3,-2)且在两坐标轴上的截距相等,则这直线方程为 。‎ ‎【答案】或 ‎【解析】当直线过原点时满足截距相等,此时直线为,当不过原点时,设直线方程为,所以直线为,所以所求直线为或 ‎5.已知光线从点M(-1,0)射出,经直线x-y-1 =0反射,其反射光线通过点N(0,1),则入射光线所在直线方程为 。‎ ‎【答案】x+3y+1=0‎ ‎【解析】先求点N关于直线x-y-1 =0对称后的点N‘(2,-1),则连接点N’和M即为入射光线所在的直线方程,由两点式可得直线方程为x+3y+1=0。‎ ‎6.经过两条直线2x+y+2=0和3x+4y-2=0的交点,且垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程为________.‎ ‎【答案】2x+3y-2=0‎ ‎7. 已知直线,(1)求点关于对称的点;(2)求关于点对称的直线方程.‎ ‎【答案】 (1). (2).‎ ‎【解析】(1)设,由于,且中点在上,有 ‎,解得 ∴‎ ‎(2)在上任取一点,如,则关于点对称的点为.‎ ‎∵所求直线过点且与平行,∴方程为,即.‎ ‎8.已知直线 ‎(1)若直线的斜率等于2,求实数的值;‎ ‎(2)若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点,O是坐标原点,求△AOB面积的最大值及此时直线的方程.‎ ‎【答案】(1);(2).‎
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