重庆市开州中学2019-2020学年高一上学期期末复习数学试题

重庆市开州中学2019-2020学年高一上学期期末复习数学试题

www.ks5u.com ‎2019-2020学年度开州中学学校高一期末复习题3‎ 考试范围：必修一，必修四（第一、三章）；考试时间：120分钟； ‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题)‎ 一、单选题 ‎1.设函数 部分图象如图所示，直线 是它的一条对称轴，则函数的解析式为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象，直线是它的一条对称轴，结合零点可得出周期，求出，根据图象，便可解得，进而求出解析式.‎ ‎【详解】由题：‎ 直线是它的一条对称轴，结合图象，‎ 所以其周期，‎ 所以，，‎ ‎，，‎ ‎，所以，‎ 所以解析式：‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查三角函数图像性质，根据图象求解析式，需要对特殊点和周期关系进行处理，易错点在于求的时候容易出现取值错误，此题作为选择题还可用排除法求解.‎ ‎2.若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由于的对称轴为，而函数在上为减函数，故有判别式小于零，即，由于在上为减函数，故，综上所述有.‎ 考点：函数的单调性．‎ ‎3.设定义在R上的函数满足，且，当时， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合函数的周期性和奇偶性可得，代入解析式即可得解.‎ ‎【详解】由，可得.‎ ‎，所以.‎ 由，可得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性，着重考查了学生的转化和运算能力，属于中档题.‎ ‎4.已知是第二象限角，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由，得，解得.‎ 又是第二象限角，可得.‎ 则.‎ 故选C.‎ ‎5.已知，则有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵0＜x＜y＜a＜1∴logax＞logaa=1，logay＞logaa=1‎ ‎∴loga（xy）=logax+logay＞2‎ 故选D．‎ ‎6.函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数是偶函数，图象关于轴对称，当时，单调递减，时，单调递增，且图象过点，由此可得结论．‎ ‎【详解】由题意，函数是偶函数，图象关于轴对称，‎ 当时，为单调递减函数，‎ 时，为单调递增函数，‎ 再由函数的图象过点，应选A选项，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性，以及对数函数的单调性，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎7.已知：，（，且）恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对参数进行分类讨论，将恒成立问题转化为：和对恒成立，从而求得的取值范围.‎ ‎【详解】当时，对恒成立，‎ 所以对恒成立，‎ 所以无解.‎ 当时，对恒成立，‎ 所以，故.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，考查转化与化归思想的应用，求解时要注意是取函数的最大值或取函数的最小值，防止求解出错.‎ ‎8.已知函数.若，，，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的奇偶性结合单调性即可比较大小.‎ ‎【详解】根据题意，f（x）＝x2﹣2|x|+2019＝ f（﹣x），则函数f（x）为偶函数，‎ 则a＝f（﹣log25）＝f（log25），‎ 当x≥0，f（x）＝x2﹣2x+2019＝（x﹣1）2+2018，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数；‎ 又由1＜20.8＜2＜log25，则.‎ 则有b＜a＜c；‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及性质的应用，属于基础题.‎ ‎9.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】该题属于已知函数零点个数求参数范围的问题，解决该题的思路是转化为方程解的个数来完成，需要明确函数图象的走向，找出函数的极值，从而结合图象完成任务.‎ 详解：，即，结合函数解析式，可以求得方程的根为或，从而得到和一共有三个根，即共有三个根，当时，，，从而可以确定函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，且，此时两个值的差距小于2，所以该题等价于或或或或，解得或或，所以所求a的范围是，故选B.‎ 点睛：解决该题的关键是明确函数图象的走向，利用数形结合，对参数进行分类讨论，最后求得结果，利用导数研究函数的单调性显得尤为重要.‎ ‎10.已知，则下列结论中正确的是（ ）‎ A. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象 B. 函数图象关于点中心对称 C. 函数的图象关于对称 D. 函数在区间内单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】对于，将函数的图象向左平移个单位后得到函数，故 错；对于，函数 图象是轴对称图形，不是中心对称图形，故 错；对于 , 函数 ,时，函数不取最值，所以 错；‎ ‎ ， 单调递增，成立故选.‎ ‎【 方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查三角函数的图象变换以及函数的对称性与单调性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ ‎11.设正实数均不为且，则关于二次函数，下列说法中不正确的是（ ）‎ A. 三点中有两个点在第一象限 B. 函数有两个不相等的零点 C. ‎ D. 若,则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式,可分类讨论实数的大小关系.代入解析式即可判断A选项;将解析式化简,根据判别式可判断B;根据图像形状可判断C;根据,代入可判断D.‎ ‎【详解】正实数均不为且 则或 ‎ 对于A,, ,‎ 当时, ,,,则点在第一象限;‎ 当时, ,,,则点点在第一象限,所以A选项正确.‎ 对于B, ‎ 化简可得 ‎ 则 ‎ 当且仅当时取等号,因为正实数均不为 所以 即函数有两个不相等的零点,所以B正确;‎ 对于C,当时,二次函数图像开口向上,函数图像为”凹函数”,满足 当时,二次函数图像开口向上,函数图像为”凹函数”,满足成立,所以C正确;‎ 对于D, ,‎ 所以 因为,即 所以 即 所以,即,所以D错误.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质的综合应用,对数式比较大小,注意讨论对数底数的情况,函数值大小比较的方法,计算量大,属于难题.‎ ‎12.定义在上的偶函数满足，且当时，，若函数有个零点，则实数的取值范围为（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎,当时，,作出图形，由图可知直线过点时有六个交点，过点时有八个交点，过点时有六个交点，过点时有八个交点，因此要使函数有7个零点，需 ，选A. ‎ 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 ‎(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.‎ ‎(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.‎ ‎(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题 ‎13.若，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将的分子分母同除以可求得,然后将展开可求得答案.‎ ‎【详解】由题意得,则,解得,则.‎ ‎.‎ 故答案为:7.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.‎ ‎14.若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 此题将不等式看成关于变量不等式，整理成一个关于的函数讨论恒成立问题求参数的取值范围即可.‎ ‎【详解】原不等式变形为，令，‎ 则，解得：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查不等式恒成立求参数范围问题，关键在于根据题目给定条件确定“主元”，看成关于“主元”的函数，利用函数知识求解参数范围，对综合能力要求比较高.‎ ‎15.已知是定义在上的奇函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数奇偶性画出函数f(x)的图像，然后将题中的恒成立问题转为函数f(x)的图像始终在函数的图像的上方，观察图像即可得到答案.‎ ‎【详解】由已知条件画出函数f(x)的图像(图中实线)，若对任意的，不等式恒成立，即函数f(x)的图像始终在函数的图像的上方，‎ 当a<0时，将函数f(x)图像向左平移，不能满足题意，故a>0，‎ 将函数f(x)图像向右平移时的临界情况是当D点与B点重合，且临界情况不满足题意，由图可知向右平移的个单位应大于6即可，即解得a>,‎ 故答案为 ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查函数恒成立问题的解决方法，考查函数图像即数形结合的应用，属于中档题.‎ ‎16.关于函数,有下列结论:‎ ‎①的定义域为(-1, 1); ②的值域为(, );‎ ‎③的图象关于原点成中心对称; ④在其定义域上是减函数;‎ ‎⑤对的定义城中任意都有.‎ 其中正确的结论序号为__________.‎ ‎【答案】①③⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的定义求得函数的定义域，得到①正确，根据对数函数的奇偶性的定义，判定③正确，根据函数单调性的定义求得④不正确，根据对数函数的性质求得②不正确；根据对数的运算性质可判定⑤正确.‎ 详解】由题意，函数，所以，解得，‎ 所以函数的定义域为，所以①是正确的；‎ 由，令，则，‎ 令，解得，所以函数的值域为R，所以②是不正确；‎ 因为，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以③是正确的；‎ 设，且，‎ 则 因为，，所以，所以，‎ 即，所以函数定义域上的单调递增函数，所以④不正确；‎ 由，所以⑤是正确的；‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的定义域与值域，对数的运算性质，以及函数的的单调性与奇偶性的定义的判定与应用，其中熟记函数的定义域，以及对数函数的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17. 计算 ‎（1）已知，求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由已知可得，把给出的式子分子、分母同除以变成关于的代数式，即可求得其值；（2）把分子中的化成弦并通分，把化成， 根据二倍角公式和和角公式可得到原式等于，约分解得其值.‎ 试题解析：（1），即，‎ 原式；‎ ‎（2）原式.‎ 考点：三角函数的化简、求值.‎ ‎18.如图是函数的部分图像，是它与轴的两个不同交点，是之间的最高点且横坐标为，点是线段的中点. ‎ ‎（1）求函数的解析式及的单调增区间；‎ ‎（2）若时，函数的最小值为，求实数的值.‎ ‎【答案】（1），其增区间为；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由点是线段的中点，可得和的坐标，从而求得最值和周期，可得和，再代入顶点坐标可得，利用整体换元可求单调区间；‎ ‎（2）令得到，讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系求最值即可.‎ ‎【详解】（1）由题：函数 点是线段的中点，所以，‎ 周期，所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，‎ 令，得：‎ 所以的增区间为，又因为 所以其增区间为；‎ ‎（2）由题：，则，‎ 令得到，，对称轴为，‎ 当时，即，；‎ 当时，即，（舍去）；‎ 当时，即，（舍去）‎ 综上：‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式，求单调区间及二次函数轴动区间定的最值问题，考查了学生的分类讨论转化化归思想及计算能力，属于中档题.‎ ‎19.‎ ‎（1）求函数的中心对称点；‎ ‎（2）先将函数的图象上的点的横坐标缩小到原来的，纵坐标保持不变，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数，解关于的不等式.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将的表达式展开,化简可得,令,可求得函数的中心对称点;‎ ‎（2）先求得的表达式,再由,可得 ‎,求解即可.‎ ‎【详解】（1）‎ 令,则,‎ 故函数的中心对称点为.‎ ‎（2）,‎ 的图象上的点的横坐标缩小到原来的，纵坐标保持不变，得到,所得的图象向右平移个单位，得到,‎ 即.‎ 则,‎ 则,‎ 即.‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换,考查了三角函数的对称中心,考查了三角函数的平移变换,考查了不等式的解法,属于中档题.‎ ‎20.已知函数 ‎（1）求证：‎ ‎（2）若函数的图象与直线没有交点，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若函数，则是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，结合对数运算法则整理即可；‎ ‎（2）函数的图象与直线没有交点，可转化为方程无解，进而转为函数的图象与直线y=a无交点，即可求出结果；‎ ‎（3）先将化简整理，再由换元法处理即可.‎ ‎【详解】（1）证明：；‎ ‎（2）若函数的图象与直线没有交点，‎ 则方程无解，即方程无解．‎ 令，‎ 则在上单调减函数，又，所以，‎ 因为函数的图象与直线y=a无交点 ‎；‎ ‎（3）由题意函数，‎ 令，则，，‎ 函数的图象开口向上，对称轴为直线，‎ 故当，即时，当时，函数取最小值，解得：，‎ 当，即时，当时，函数取最小值，解得：（舍去），‎ 当，即时，当时，函数取最小值，解得：（舍去），‎ 综上所述，存在满足条件．‎ ‎【点睛】本题主要考查对数的运算法则，以及函数零点的应用，根据函数无交点，转化为方程无实根的问题来求解即可，属于常考题型.‎ ‎21.已知函数，．‎ ‎（1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；‎ ‎（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若存在实数使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）奇函数，（2），(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）函数为奇函数． ‎ 当时，，，∴‎ ‎∴函数为奇函数； ‎ ‎（2），当时，的对称轴为：；‎ 当时，的对称轴为：；∴当时，‎ 在R上是增函数，即时，函数在上是增函数； ‎ ‎（3）方程的解即为方程的解．‎ ‎①当时，函数在上是增函数，∴关于的方程不可能有三个不相等的实数根； ‎ ‎②当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，‎ ‎∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，∵∴．‎ 设，∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根， ‎ ‎∴，又可证在上单调增 ‎∴∴； ‎ ‎③当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，‎ ‎∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；‎ 即，∵∴，设 ‎∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，‎ ‎∴，又可证在上单调减∴‎ ‎∴； ‎ 综上：．‎ ‎22.设两实数不相等且均不为.若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”.已知函数 ‎.‎ ‎（1）求函数在内的“倒域区间”；‎ ‎（2）若函数在定义域内所有“倒域区间”的图象作为函数的图象，是否存在实数，使得与恰好有2个公共点?若存在，求出的取值范围：若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1） （2）存在, ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据倒域区间的定义,结合函数的单调性,解方程即可求得的值,可得函数在内的“倒域区间”.‎ ‎（2）结合倒域区间的定义,先求得函数的解析式.根据两个函数有两个交点,即可得关于的方程,分离参数得的表达式,根据打勾函数的图像及性质即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）‎ 由二次函数性质可知, 在时单调递减 设,则其值域为 所以,化简可得 因式分解可得 解得,‎ 因为 所以 即倒域区间 ‎（2）两实数不相等且均不为.且满足时,函数值的取值区间恰为 则,所以与符号相同,即同为正数或同为负数 因为定义域为 所以存在两种可能:与 当时,由二次函数的图像可知 ‎ ‎ 所以满足,即 所以.由（1）可知其倒域区间为 当时,由二次函数的图像可知 所以满足,即 所以,根据倒域区间的定义,同理可求得其倒域区间为 综上可知, ‎ 因为 当时, ‎ 令 则 画出与的图像 可知没有交点.‎ 若两个函数恰有2个公共点,则两个函数图像在有2个交点.‎ 即在上有两个不同交点.‎ 化简可得,即为打钩函数.‎ 画出函数图像如下图所示.‎ 则当,即时取得最小值,最小值为 ‎ 当时,,‎ 当时, ‎ 因为 所以为有两个交点,则的取值范围为 ‎【点睛】本题考查了函数性质的综合应用,新定义内容的理解和应用,函数图像的综合用法,利用分离参数法求参数的取值范围,综合性较强,属于难题.‎ ‎ ‎