2018-2019学年湖南省桃江县第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年湖南省桃江县第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

湖南省桃江县第一中学 2018-2019 学年高二下学期期中考 试(数学理)试卷 命题人 龙伟华 审题人 詹洪波 时量：120 分钟 总分：150 分 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，且每小题只有一项是符合题目要求 的。) 1.已知复数 ，则 的虚部为（ ） A. B. C. D. 2.已知随机变量 服从二项分布 ，则 （ ） 3． （ ） A． B． C． D． 4.有 6 个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，不同的排法种数为（ ） A．24 B．72 C. 144 D．288 5.函数 的部分图象大致为（ ） 6.有下列说法，正确的个数是______ ①回归直线过样本点的中心 ; ②相关指数 来刻画回归的效果， 值越大，说明模型的拟合效果越好； ③在正态分布 的密度曲线中， 越大曲线越廋高； ④对于分类变量 X 与 Y,随机变量 的观测值越大，则判断“X 与 Y 有关系”的把握程度越小。 A．1 B．2 C.3 D．4 7．若 ， 则 P，Q 的大小关系是（　　） =z i i −3 10 z 1− 3 i− i3 X 18, 2B     ( )13 +XD = 2.A 3.B 12.C 18.D 1 1(2 )e x dxx + =∫ 22 −e 1−e 2e 1+e ( ) 3 xef x x = ( , )x y 2R 2R 2( , )N µ σ σ 2k 5++= aaP ( )032 ≥+++= aaaQ A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．由 a 的取值确定 8.已知曲线 C: 直线 为曲线 C 在点 A(1,1)处的切线，直线 与曲线 C 以及 轴 所围成的图形的面积为（ ） A． B． C． D．1 9. 设 ,则 的值为( ) A. B. C. D. 10.已知定义域为 的奇函数 的导函数 ，当 时， ，若 ， ， ，则下列关于 的大小关系正确的是 （ ） A. B. C. D. 11.在二项式 的展开式中，二项式系数的和为 256，把展开式中所有的项重新 排成一列，有理项都互不相邻的概率为( ) A． B． C． D． 12 ． 已 知 函 数 ， 对 任 意 ， 存 在 ， 使 得 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.） 13．若随机变量 且 则 =______________ 14.函数 f(x)＝2 的单调递减区间是_____________ 15 一口袋里有大小形状完全相同的 10 个小球，其中红球与白球各 2 个，黑球与黄球各 3 个， 从中随机取 3 次，每次取 3 个小球，且每次取完后就放回，则这 3 次取球中，恰有 2 次所取 的 3 个小球颜色各不相同的概率为_________ R )(xf )(xf ′ 0≠x 0)()( >+′ x xfxf )1(sin1sin fa ⋅= )3(3 −−= fb )3(ln3ln fc = cba ,, acb >> abc >> cab >> ( ) ( ) 1, ln 2 2 x xf x e g x= = + a R∈ ( )0,b∈ +∞ ( ) ( )f a g b= b a− 2 1e − 2 1 2e − 2 ln2+ 2 ln2− ( )，02 ≥= xxy l l x 1 12 1 6 1 3 ( )10 2 10 0 1 2 101 2x a a x a x a x− = + + +⋅⋅⋅+ 3 102 1 2 9...2 2 2 a aaa + + + + 2 2046 2043 2− bca >> 6 1 2 n x x  +   1 6 1 4 1 3 5 12 ( )2~ 3,X N σ ， ( )5 0.2P X ≥ = ， ( )1 5P X< < xx ln2 − 16.如图，在平面直角坐标系 中，将直线 与直线 及 轴所围成的图形绕 轴旋 转一周得到一个圆锥，圆锥的体积 据此类比：将曲线 与直线 及 轴所围成的图形绕 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体 的体积 . 三．解答题（本大题共六个小题，共 70 分） 17.(本题满分 10 分)设 为坐标原点，已知复数 分别对应向量 ， 为复数 的共轭复数， ， 其中 ，且 为纯虚 数． （Ⅰ）判断复数 在复平面上对应的点在第几象限； （Ⅱ）求 . 18. （本题满分 12 分）已知 的展开式中所有系数之和比 的展开式中所 有二项式系数之和大 240. (1)求 的展开式中的常数项(用数字作答)； (2)求 的展开式中系数最大的项． 19. （本题满分 12 分）数列 满足 前 n 项和 （1）求 的值； O 21,zz 21,OZOZ 1z 1z Ra∈ { }na xoy 2 xy = 1x = x x 1 2 0 ( )2 xV dx= ∫ π圆锥 3 1 0 .12 12x= =π π 2 ( 0)y x x= ≥ 2y = y y ______V = )5 1,10( 2 1 +−= aaOZ )2,52(2 aaOZ −−= 12 zz − 1z ( ) 2218 zzz ⋅− 21 n x x  +   3(3 )nx x− 212 n x x  +   212 + n x x      1 1 ,6a = ( 1) 2n n n nS a += 2 3 4, ,a a a 第 16 题图 y= 2 x x=1 y x xO y y=2 y= 2x O （2）猜想 的表达式，并用数学归纳法证明 20.（本题满分 12 分）现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加 2022 年杭州亚运会志愿者服 务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排（结果用数字作答）： （1）每人都安排一项工作，有多少种不同的方法？ （2）如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这 5 名同学全部被安排有多少种 不同的方法？ （3）每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜 任四项工作，则这 5 名同学全部被安排有多少种不同的方法？ 21. （本小题满分 12 分）2017 年 5 月，来自“一带一路”沿线的 20 国青年评选出了中国的 “新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购。为拓展市场，某调研组对甲、乙两个 品牌的共享单车在 5 个城市的用户人数进行统计，得到如下数据：[] 城市 品牌 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 甲品牌（百万） 4 3 8 6 12 乙品牌（百万） 5 7[] 9 4 3 （Ⅰ）如果共享单车用户人数超过 5 百万的城市称为“优质潜力城市”，否则“非优”，请据 此判断是否有 85%的把握认为“优质潜力城市”与共享单车品牌有关？ （Ⅱ）如果不考虑其它因素，为拓展市场，甲品牌要从这 5 个城市中选出 3 个城市进行大规 模宣传． ①在城市Ⅰ被选中的条件下，求城市Ⅱ也被选中的概率； ②以 表示选中的城市中用户人数超过 5 百万的个数，求随机变量 的分布列及数学期望 ． 下面临界值表供参考： 错误！未找到 引用源。 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3. 841 5.024 6.635[] 7.879 10.828 参考公式： { }na X X ( )E X 2 2 ( ) ,( )( )( )( ) n ad bck n a b c da b c d a c b d −= = + + ++ + + + 22.（本小题满分 12 分）已知函数 ( 为实常数) ． （1）当 时，求函数 在 上的最大值及相应的 值； （2）当 时，讨论方程 根的个数． （3）若 ，且对任意的 ，都有 ，求实数 a 的取 值范围． 2ln)( xxaxf += a 4−=a )(xf [ ]1,e x [ ]ex ,1∈ ( ) 0=xf 0>a [ ]1 2, 1,x x e∈ ( ) ( )1 2 1 2 1 1f x f x x x − ≤ − 2019 年上学期高二期中考试(数学理)参答 一、BDCCA BCADA DC 二、13.0.6 14. 15. 16. 17.解：（Ⅰ）由题意，得 ， [] 则 .........................1 分 因为 为纯虚数， 所以 ， ..............................2 分 解得 或 ...............................3 分 又因为 ，所以 ，.......................4 分 所以 在复平面上对应的点在第四象限 ................5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ， 所以 ...........................6 分 .........................8 分 .....................10 分 18．(1) 1120 (2) T4=1792x2 19．(1) （2） ，证明略 5−=a 3=a 05 ≠+a 3=a 10 2 （ ，） 3 8 2π iaaz 5 110 2 1 ++−= iaaz )2(522 −+−= iaaaazz )25 1()152( 2 12 −+++−+=− 12 zz −    ≠−++ =−+ 025 1 01522 aa aa 1z iz 8 111 += iz −=12 ( ) iiizz 27188 21 +=−−+=− ( ) ( ) ( ) iiizzz 591278 221 −=−⋅+=⋅−∴ ( ) ( ) 10659598 22 221 =−+=−=⋅−∴ izzz 2 3 4 1 1 1, , ,12 20 30a a a= = = 1 ( 1)( 2)na n n = + + 20. （1）45=1024； （2） ； （3） =126（种） 21.【解析】（Ⅰ）根据题意列出 列联表如下： 优 质 城 市 单车品牌 优质城市 非优质城 市 合计 甲品牌（个） 3 2 5 乙品牌（个） 2 3 5 合计 5 5 10 ， …………3 分 所以没有 85%的理由认为“优质潜力城市”与“共享单车”品牌有 关．……4 分 （Ⅱ）①令事件 为“城市 I 被选中”；事件 为“城市 II 被选 中”， 则 , 所以 ． …………7 分 ② 随 机 变 量 的 所 有 可 能 取 值 为 , ； ； ．故 的分布列为 2 2 3 3 35 3 5 3 3 150(2! C AN C A A= + = 种） 3 3 2 3 3 3 2 4 1 3 ACACC + 2 2× ( )2 2 10 4 9 10 25 0.4 2.0725 5 5 5 25 25K − ×= = = <× × × × C D 12 34 3 3 5 5 3 3( ) , ( )5 10 CCP C P CDC C = = = = ( ) 1( ) ( ) 2 P CDP D C P C = = X 1,2,3 ( ) 1 2 3 2 3 5 31 10 C CP X C ⋅= = = ( ) 1 2 2 3 3 5 32 5 C CP X C = = = ( ) 3 3 3 5 13 10 CP X C = = = X 1 2 3 ………………10 分 ………………12 分 22.（1） ，当 时， ．当 时， 又 ，故 ，当 时，取等 号……3 分 （2）易知 ，故 ，方程 根的个数等价于 时， 方程 根的个数。 设 = ， 当 时， ，函数 递减，当 时， ， 函数 递增。又 ， ，作出 与直线 的 图像，由图像知： 当 时，即 时，方程 有 2 个相异的根； 当 或 时，方程 有 1 个根； 当 时，方程 有 0 个根；……………8 分 （3）当 时， 在 时是增函数，又函数 是减函数， 不妨设 ，则 等价于 即 ，故原题等价于函数 在 时是 减函数, 恒成立，即 在 时恒 成立。 X P 3 10 3 5 1 10 ( ) 3 3 11 2 3 1.810 5 10E X∴ = × + × + × = )0(42)( 2 >−=′ xx xxf )2,1[∈x 0)( <′ xf ( ]ex ,2∈ 0)( >′ xf 014)1()( 2 >−+−=− efef 4)()( 2 max −== eefxf ex = 1≠x [ ]ex ,1∈ ( ) 0=xf ( ]ex ,1∈ x xa ln 2 =− ( )xg x x ln 2 x xx x xxxx xg 22 2 ln )1ln2( ln 1ln2 )( −= − =′ ( )ex ,1∈ 0)( <′ xg )(xg ]eex ,(∈ 0)( >′ xg )(xg 2)( eeg = eeg 2)( = )(xgy = ay −= 22 eae ≤−< eae 22 −<≤− ( ) 0=xf 2ea −< ea 2−= ( ) 0=xf ea 2−> ( ) 0=xf 0>a )(xf ],1[ ex∈ xy 1= exx ≤≤≤ 211 ( ) ( ) 21 21 11 xxxfxf −≤− 21 12 11)()( xxxfxf −≤− 1 1 2 2 1)(1)( xxfxxf +≤+ ( ) xxfxh 1)( += ],1[ ex∈ 012)( 2 ≤−+=′∴ xxx axh 221 xxa −≤ ],1[ ex∈ 在 时是减函数 ……………11 分 又 a>0 所以 a 不存在……12 分 221 xxy −= ],1[ ex∈ 221 eea −≤∴ 