数学·上海交大附中2016-2017学年高二上学期摸底数学试卷 Word版含解析x

数学·上海交大附中2016-2017学年高二上学期摸底数学试卷 Word版含解析x

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年上海交大附中高二（上）摸底数学试卷 ‎　‎ 一．填空题（满分56分）（本大题共14小题，每小题只要求直接填写结果，填对得4分否则一律得零分）‎ ‎1．若，则x+y=　　．‎ ‎2．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=　　．‎ ‎3．已知θ为象限角且cot（sinθ）＞0则θ是第　　象限的角．‎ ‎4．已知函数f（x）=（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3写出对任意的x∈R，f（x）＞0的一个充分非必要条件　　．‎ ‎5．把行列式按照第二列展开，则　　．‎ ‎6．已知||=3，||=5， =12，则向量与向量的夹角余弦为　　．‎ ‎7．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a=6102，b=2016时，输出的a=　　．‎ ‎8．若sinθ+cosθ=（0＜θ＜π），则tanθ=　　．‎ ‎9．M={x|2x2﹣5x﹣3=0}，N={x|mx=1}，若N⊆M，则实数m的取值集合是　　．‎ ‎10．实数x满足|x2﹣x﹣2|+||=|x2﹣x﹣2+|，则x的解集为　　．‎ ‎11．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是　　．‎ ‎12．幂函数f（x）=x（m∈Z）的图象与坐标轴无公共点，且关于y轴对称，则m的值为　　．‎ ‎13．已知函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R），给出下列四个命题：‎ ‎①当且仅当a=0时，f（x）是偶函数；‎ ‎②函数f（x）一定存在零点；‎ ‎③函数在区间（﹣∞，a]上单调递减；‎ ‎④当0＜a＜1时，函数f（x）的最小值为a﹣a2．‎ 那么所有真命题的序号是　　．‎ ‎14．已知命题：“若数列{an}为等差数列，且am=a，an=b（m＜n，m，n∈N*），则am+n=”．现已知数列{bn}（bn＞0，n∈N*）为等比数列，且bm=a，bn=b（m＜n，m，n∈N*），若类比上述结论，则可得到bm+n=　　．‎ ‎　‎ 二．选择题（满分20分）（本大题共4小题，每小题5分，均为单选题）‎ ‎15．若f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（　　）‎ A．[1，2） B．[1，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞）‎ ‎16．设a＞0，b＞0，则以下不等式中恒成立的是（　　）‎ A． B．a3+b3≥2ab C．a2+b2≥2a+2b D．≤‎ ‎17．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（　　）‎ A．关于点（，0）对称 B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到 C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到 D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到 ‎18．数列{an}满足a1=10，an+1=an+18n+10（n∈N*）记[x]表示不超过实数x的最大整数，则（﹣[]）=（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎　‎ 三．解答题（满分74分）（本大题共5题，写出必要的解题步骤和说明）‎ ‎19．解不等式ax2+（2﹣a）x﹣2＜0（a∈R）．‎ ‎20．已知数列{an}的前项和为Sn，Sn=1+tan（t≠1且t≠0，n∈N*）‎ ‎（1）求证：数列{an}是等比数列 ‎（2）若Sn=1，求实数t的取值范围．‎ ‎21．如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且∠PAQ=（其中点P、Q分别在 边BC、CD上），搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面．设∠PAB=θ，搜索区域的面积为S．‎ ‎（1）试建立S与tanθ的关系式，并指出θ的取值范围；‎ ‎（2）求S的最大值，并求此时θ的值．‎ ‎22．（理）定义区间（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的长度均为d﹣c，其中d＞c．‎ ‎（1）已知函数y=|2x﹣1|的定义域为[a，b]，值域为[0，]，写出区间[a，b]长度的最大值与最小值．‎ ‎（2）已知函数fM（x）的定义域为实数集D=[﹣2，2]，满足fM（x）=（M是D的非空真子集）．集合A=[1，2]，B=[﹣2，﹣1]，求F（x）=的值域所在区间长度的总和．‎ ‎（3）定义函数f（x）=+++﹣1，判断函数f（x）在区间（2，3）上是否有零点，并求不等式f（x）＞0解集区间的长度总和．‎ ‎23．在数列{an}中，an=（n∈N*）．从数列{an}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{bn}，并称{bn}为数列{an}的k项子列．例如数列，，，为{an}的一个4项子列．‎ ‎（Ⅰ）试写出数列{an}的一个3项子列，并使其为等差数列；‎ ‎（Ⅱ）如果{bn}为数列{an}的一个5项子列，且{bn}为等差数列，证明：{bn}的公差d满足﹣＜d＜0；‎ ‎（Ⅲ）如果{cn}为数列{an}的一个m（m≥3）项子列，且{cn}为等比数列，证明：c1+c2+c3+…+cm≤2﹣．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年上海交大附中高二（上）摸底数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．填空题（满分56分）（本大题共14小题，每小题只要求直接填写结果，填对得4分否则一律得零分）‎ ‎1．若，则x+y=　1　．‎ ‎【考点】几种特殊的矩阵变换．‎ ‎【分析】先根据矩阵的乘法化简成二元一次方程组，然后解方程组即可求出x和y的值，从而求出x+y的值．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴解得 即x+y=1‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ ‎2．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=　1　．‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【分析】根据题意，若B⊆A，必有m2=2m﹣1，而m2=﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．‎ ‎【解答】解：由B⊆A，m2≠﹣1，‎ ‎∴m2=2m﹣1．解得m=1．‎ 验证可得符合集合元素的互异性，‎ 此时B={3，1}，A={﹣1，3，1}，B⊆A满足题意．‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ ‎3．已知θ为象限角且cot（sinθ）＞0则θ是第　一、二　象限的角．‎ ‎【考点】三角函数值的符号．‎ ‎【分析】由正弦函数的值域结合cot（sinθ）＞0可得0＜sinθ≤1，进一步得到象限角θ的范围．‎ ‎【解答】解：∵﹣1≤sinθ≤1，且cot（sinθ）＞0，‎ ‎∴0＜sinθ≤1，‎ ‎∴θ为第一或第二象限角．‎ 故答案为：一、二．‎ ‎　‎ ‎4．已知函数f（x）=（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3写出对任意的x∈R，f（x）＞0的一个充分非必要条件　a=1　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】取a=1结合充分必要条件的定义，验证即可．‎ ‎【解答】解：a=1时，f（x）=3＞0，成立，‎ 而f（x）＞0时，a不一定是1，‎ 故答案为：a=1．‎ ‎　‎ ‎5．把行列式按照第二列展开，则　﹣3×+2×+2×　．‎ ‎【考点】三阶矩阵．‎ ‎【分析】利用行列式展开的方法，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：把行列式按照第二列展开得到﹣3×+2×+2×．‎ 故答案为：﹣3×+2×+2×．‎ ‎　‎ ‎6．已知||=3，||=5， =12，则向量与向量的夹角余弦为　　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】可直接由夹角余弦公式求出向量与向量的夹角余弦 ‎【解答】解：∵||=3，||=5， =12，‎ ‎∴向量与向量的夹角余弦为==．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎7．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a=6102，b=2016时，输出的a=　18　．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．‎ ‎【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；‎ a=6102，b=2016，‎ 执行循环体，r=54，a=2016，b=54，‎ 不满足退出循环的条件，执行循环体，r=18，a=54，b=18，‎ 不满足退出循环的条件，执行循环体，r=0，a=18，b=0，‎ 满足退出循环的条件r=0，退出循环，输出a的值为18．‎ 故答案为：18．‎ ‎　‎ ‎8．若sinθ+cosθ=（0＜θ＜π），则tanθ=　﹣2　．‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用．‎ ‎【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinθ﹣cosθ的值，进而求出sinθ与cosθ的值，即可求出tanθ的值．‎ ‎【解答】解：已知等式sinθ+cosθ=①，‎ 两边平方得：（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，‎ ‎∵0＜θ＜π，‎ ‎∴cosθ＜0，sinθ＞0，即sinθ﹣cosθ＞0，‎ ‎∴（sinθ﹣cosθ）2=1﹣2sinθcosθ==，即sinθ﹣cosθ=②，‎ 联立①②，解得：sinθ=，cosθ=﹣，‎ 则tanθ=﹣2，‎ 故答案为：﹣2‎ ‎　‎ ‎9．M={x|2x2﹣5x﹣3=0}，N={x|mx=1}，若N⊆M，则实数m的取值集合是　{0，﹣2， }　．‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【分析】分N=∅和N≠∅两种情况进行讨论，根据集合包含关系的判断和应用，分别求出满足条件的m值，并写成集合的形式即可得到答案．‎ ‎【解答】解：解：∵M={x|2x2﹣5x﹣3=0}={﹣，3}‎ 又∵N⊆M，‎ 若N=∅，则m=0；‎ 若N≠∅，则N={﹣}，或N={3}，‎ 即m=﹣2或m=‎ 故满足条件的实数m∈{0，﹣2， }．‎ 故答案为：{0，﹣2， }．‎ ‎　‎ ‎10．实数x满足|x2﹣x﹣2|+||=|x2﹣x﹣2+|，则x的解集为　{x|﹣1≤x＜0或x≥2}　．‎ ‎【考点】绝对值三角不等式．‎ ‎【分析】由已知条件得到x2﹣x﹣2与同号或均为0，列出关于x的不等式组，求出不等式组的解集，同时考虑分母不为0得到x不等于0，即可得到x的范围．‎ ‎【解答】解：由已知条件得到x2﹣x﹣2与同号或均为0，‎ ‎∴‎ ‎∴﹣1≤x＜0或x≥2．‎ ‎∴解集为{x|﹣1≤x＜0或x≥2}．‎ 故答案为：{x|﹣1≤x＜0或x≥2}．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是　（﹣1，0）　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】令y=k，画出f（x）和y=k的图象，通过读图一目了然．‎ ‎【解答】解：画出函数f（x）的图象（红色曲线），‎ 如图示：‎ ‎，‎ 令y=k，由图象可以读出：﹣1＜k＜0时，‎ y=k和f（x）有3个交点，‎ 即方程f（x）=k有三个不同的实根，‎ 故答案为：（﹣1，0）．‎ ‎　‎ ‎12．幂函数f（x）=x（m∈Z）的图象与坐标轴无公共点，且关于y轴对称，则m的值为　1　．‎ ‎【考点】指数函数的图象与性质．‎ ‎【分析】利用幂函数的图象及性质求解．‎ ‎【解答】解：由题意：坐标轴无公共点，且关于y轴对称，图象只能在一二象限，且是单调减函数．‎ ‎∴m2﹣2m﹣3＜0，且m2﹣2m﹣3是偶数，m∈Z．‎ 解得：m=1，‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎13．已知函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R），给出下列四个命题：‎ ‎①当且仅当a=0时，f（x）是偶函数；‎ ‎②函数f（x）一定存在零点；‎ ‎③函数在区间（﹣∞，a]上单调递减；‎ ‎④当0＜a＜1时，函数f（x）的最小值为a﹣a2．‎ 那么所有真命题的序号是　①④　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；函数奇偶性的性质；函数的零点．‎ ‎【分析】（1）当f（x）是偶函数时，函数解析式中不能含有奇数次项；‎ ‎（2）二次函数的零点是函数与X轴交点的横坐标，举个反例即可；‎ ‎（3）分段函数单调性要根据每段函数解析式来求，举个反例即可；‎ ‎（4）当0＜a＜1时，函数f（x）=|x2﹣2ax+a|=x2﹣2ax+a＞0恒成立，此时函数f（x）的最小值为a﹣a2．‎ ‎【解答】解：由于函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R），‎ ‎①当a=0时，f（x）=x2，则f（x）是偶函数；‎ 当f（x）是偶函数时，函数解析式中不能含有奇数次项，则﹣2a=0，即a=0．‎ 故①为真命题．‎ ‎②∵△=4a2﹣4a=4a（a﹣1），当0＜a＜1时，△＜0，函数f（x）=|x2﹣2ax+a|=x2﹣2ax+a＞0恒成立，‎ 此时函数f（x）不存在零点，∴②是假命题．‎ ‎③由于函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，a]上单调递减，‎ 但函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R）是由函数f（x）=x2﹣2ax+a把X轴下方图象沿X轴旋转180度得到的，‎ 则函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R）在区间（﹣∞，a]上单调递减不一定成立．‎ 故③是假命题．‎ ‎④当0＜a＜1时，函数f（x）=|x2﹣2ax+a|=x2﹣2ax+a＞0恒成立，此时函数f（x）的最小值为a﹣a2．‎ 故④是真命题．‎ 故答案为①④．‎ ‎　‎ ‎14．已知命题：“若数列{an}为等差数列，且am=a，an=b（m＜n，m，n∈N*），则am+n=”．现已知数列{bn}（bn＞0，n∈N*）为等比数列，且bm=a，bn=b（m＜n，m，n∈N*），若类比上述结论，则可得到bm+n=　　．‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】首先根据等差数列和等比数列的性质进行类比，等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的，很快就能得到答案．‎ ‎【解答】解：等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，‎ 等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的，‎ 等差数列中的可以类比等比数列中的．‎ 故bm+n=，‎ 故答案为 ‎　‎ 二．选择题（满分20分）（本大题共4小题，每小题5分，均为单选题）‎ ‎15．若f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（　　）‎ A．[1，2） B．[1，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞）‎ ‎【考点】复合函数的单调性．‎ ‎【分析】由题意，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．‎ ‎【解答】解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，‎ 配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：‎ 由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，‎ 又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，‎ 故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，‎ 则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，‎ 代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎16．设a＞0，b＞0，则以下不等式中恒成立的是（　　）‎ A． B．a3+b3≥2ab C．a2+b2≥2a+2b D．≤‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用基本不等式的性质依次进行判断即可得出．‎ ‎【解答】解：对于A： ，当且仅当a=b时取等号．故A对．‎ 对于B：a3+b3=≥=2，当且仅当a=b时取等号．故B不对．‎ 对于C：a2+b2﹣2a﹣2b=（a﹣1）2+（b﹣1）2﹣2，即a2+b2≥2a+2b﹣2，故C不对，‎ 对于D：，‎ 那么： =a﹣b﹣a﹣b+2=﹣2b+2=2≥0，∴D不对．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎17．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（　　）‎ A．关于点（，0）对称 B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到 C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到 D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到 ‎【考点】余弦函数的对称性．‎ ‎【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），∴φ=，‎ ‎∴f（x）=2sinxsin（x+）=sin2x=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），‎ 则函数g（x）=cos（2x﹣φ）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣） 的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到的，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎18．数列{an}满足a1=10，an+1=an+18n+10（n∈N*）记[x]表示不超过实数x的最大整数，则（﹣[]）=（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】数列的极限．‎ ‎【分析】由已知变形，利用累加法求得数列通项公式，然后代入（﹣[]）求得答案．‎ ‎【解答】解：由an+1=an+18n+10，得a1=10，‎ 又a1=10，‎ ‎∴a2﹣a1=18×1+10，‎ a3﹣a2=18×2+10，‎ ‎…‎ an﹣an﹣1=18（n﹣1）+10，‎ 累加得：an=a1+18[1+2+…+（n﹣1）]+10（n﹣1）=．‎ ‎∴﹣[]===．‎ 则（﹣[]）=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 三．解答题（满分74分）（本大题共5题，写出必要的解题步骤和说明）‎ ‎19．解不等式ax2+（2﹣a）x﹣2＜0（a∈R）．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】将原不等式化为（ax+2）（x﹣1）＜0分a=0，a＞0，a＜0三种情况进行讨论．a=0、a＞0易解不等式；当a＜0时，按照对应方程的两根大小分三种情况讨论即可．‎ ‎【解答】解：将原不等式化为（ax+2）（x﹣1）＜0，‎ ‎（1）当a=0时，有x＜1；‎ ‎（2）当a＞0时，有（x+）（x﹣1）＜0，解得﹣＜x＜1，‎ ‎（3）当a＜0时，有（x+）（x﹣1）＞0，‎ 若﹣＞1时，即﹣2＜a＜0，解得x＜1或x＞﹣，‎ 若﹣=1时，即a=﹣2，解得x≠1，‎ 若﹣＜1时，即a＜﹣2，解得x＜﹣，或x＞1，‎ 综上，a=0时，不等式的解集为{x|x＜1}；﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞﹣}；‎ 当a=﹣2时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；‎ 当a＜﹣2时，不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞1}；‎ 当a＞0时，不等式的解集为{x|﹣＜x＜1}．‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}的前项和为Sn，Sn=1+tan（t≠1且t≠0，n∈N*）‎ ‎（1）求证：数列{an}是等比数列 ‎（2）若Sn=1，求实数t的取值范围．‎ ‎【考点】数列的极限；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）利用条件，再写一式，两式相减，即可证明数列{an}是等比数列 ‎（2）若Sn=1， [1﹣]=1，可得0＜||＜1，即可求实数t的取值范围．‎ ‎【解答】（1）证明：∵Sn=1+tan，‎ ‎∴n≥2时，Sn﹣1=1+tan﹣1，‎ 两式相减可得an=tan﹣tan﹣1，‎ ‎∴=，‎ ‎∴数列{an}是等比数列；‎ ‎（2）解：由题意，S1=1+ta1，∴a1=，∴an=，‎ 若Sn=1，则 [1﹣]=1，‎ ‎∴0＜||＜1，‎ ‎∴，‎ ‎∵t≠1且t≠0，‎ ‎∴，且t≠0．‎ ‎　‎ ‎21．如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且∠PAQ=（其中点P、Q分别在边BC、CD上），搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面．设∠PAB=θ，搜索区域的面积为S．‎ ‎（1）试建立S与tanθ的关系式，并指出θ的取值范围；‎ ‎（2）求S的最大值，并求此时θ的值．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】（1）利用S=SABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ，可得S与tanθ的关系式；‎ ‎（2）令t=1+tanθ，t∈（1，2），利用基本不等式，可求S的最大值，并求此时θ的值．‎ ‎【解答】解：（1）S=SABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ…2分 ‎=…4分 ‎=…6分 ‎（2）令t=1+tanθ，t∈（1，2）…8分 ‎…10分 ‎∵，（当且仅当时，即，等号成立）…12分 ‎∴当时，搜索区域面积S的最大值为（平方海里）‎ 此时，…14分．‎ ‎　‎ ‎22．（理）定义区间（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的长度均为d﹣c，其中d＞c．‎ ‎（1）已知函数y=|2x﹣1|的定义域为[a，b]，值域为[0，]，写出区间[a，b]长度的最大值与最小值．‎ ‎（2）已知函数fM（x）的定义域为实数集D=[﹣2，2]，满足fM（x）=（M是D的非空真子集）．集合A=[1，2]，B=[﹣2，﹣1]，求F（x）=的值域所在区间长度的总和．‎ ‎（3）定义函数f（x）=+++﹣1，判断函数f（x）在区间（2，3）上是否有零点，并求不等式f（x）＞0解集区间的长度总和．‎ ‎【考点】函数零点的判定定理；分段函数的应用．‎ ‎【分析】（1）利用数形结合求出即可；（2）中求出两区间长度作和即可；（3）找出①②③三个关系式，比较得出结论．‎ ‎【解答】解：（1），‎ 解得x=﹣1或，‎ ‎|2x﹣1|=0，解得x=0，‎ 画图可得：区间[a，b]长度的最大值为log23，‎ 最小值为．‎ ‎（2）‎ 当x∈A∪B，，‎ 当x∈（﹣1，1），，‎ 所以x∈[﹣2，2]时，‎ 所以值域区间长度总和为． ‎ ‎（3）由于当2＜x＜3时，取x=2.001，f（2.001）＞0，‎ 取x=2.999，f（2.999）＜0，‎ 所以方程f（x）=0在区间（2，3）内有一个解 ‎ 考虑函数f（x）=+++﹣1，‎ 由于当x＜1时，f（x）＜0，‎ 故在区间（﹣∞，1）内，不存在使f（x）＞0的实数x；‎ 对于集合{1，2，3，4}中的任一个k，由于当k﹣1＜x＜k时，‎ 取x=k+0.001，f（x）＞0，取x=k+1﹣0.001，f（x）＜0‎ 又因为函数y=f（x）在区间（1，2），（2，3），（3，4），（4，+∞）内单调递减，‎ 所以方程f（x）=0在区间（1，2），（2，3），（3，4），（4，+∞）内各有一个解；‎ 依次记这4个解为x1，x2，x3，x4，‎ 从而不等式f（x）＞0的解集是E=（1，x1）∪（2，x2）∪（3，x3）∪（4，x4），‎ 故得所有区间长度的总和为S=（x1﹣1）+（x2﹣2）+（x3﹣3）+（x4﹣4）=x1+x2+x3+x4﹣10…①‎ 对f（x）＞0进行通分处理，分子记为p（x），‎ p（x）‎ ‎=（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）+2（x﹣1）（x﹣3）（x﹣4）+3（x﹣1）（x﹣2）（x﹣4）+4（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）﹣（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）‎ 如将p（x）展开，其最高项系数为﹣1，‎ 设p（x）=﹣x4+a3x3+a2x2+a1x+a0…②‎ 又有p（x）=﹣（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）（x﹣x4）…③‎ 对比②③中p（x）的x3系数，（x1+x2+x3+x4）=1+2+3+4+（1+2+3+4）=20‎ 可得：S=x1+x2+x3+x4﹣10=10．‎ ‎　‎ ‎23．在数列{an}中，an=（n∈N*）．从数列{an}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{bn}，并称{bn}为数列{an}的k项子列．例如数列，，，为{an}的一个4项子列．‎ ‎（Ⅰ）试写出数列{an}的一个3项子列，并使其为等差数列；‎ ‎（Ⅱ）如果{bn}为数列{an}的一个5项子列，且{bn}为等差数列，证明：{bn}的公差d满足﹣＜d＜0；‎ ‎（Ⅲ）如果{cn}为数列{an}的一个m（m≥3）项子列，且{cn}为等比数列，证明：c1+c2+c3+…+cm≤2﹣．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合；等差关系的确定；等差数列的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据新定义的规定，从原数列中找出符合条件的一个数列，注意本题答案不唯一；‎ ‎（Ⅱ）先利用反证法推出新数列的第一项不等于1，再利用等差数列中项与项的关系，得到公差的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）对于新数列，先研究其首项，再利用公比是有理数，对公比进行分类研究，得到本题的结论．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：答案不唯一．如3项子列，，；‎ ‎（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1＞b2＞b3＞b4＞b5＞0，‎ 所以d=b2﹣b1＜0．‎ 假设b1=1，‎ 由{bn}为{an}的一个5项子列，得，‎ 所以．‎ 因为b5=b1+4d，b5＞0，‎ 所以4d=b5﹣b1=b5﹣1＞﹣1，即．‎ 这与矛盾．‎ 所以假设不成立，即b1≠1．‎ 所以，‎ 因为b5=b1+4d，b5＞0，‎ 所以，即，‎ 综上，得．‎ ‎（Ⅲ）证明：由题意，设{cn}的公比为q，‎ 则．‎ 因为{cn}为{an}的一个m项子列，‎ 所以q为正有理数，且q＜1，．‎ 设，且K，L互质，L≥2）．‎ 当K=1时，‎ 因为，‎ 所以=，‎ 所以．‎ 当K≠1时，‎ 因为是{an}中的项，且K，L互质，‎ 所以a=Km﹣1×M（M∈N*），‎ 所以=．‎ 因为L≥2，K，M∈N*，‎ 所以．‎ 综上，．‎ ‎　‎ ‎2016年11月2日