专题34 等差数列与等比数列问题的精彩妙解-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

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专题34 等差数列与等比数列问题的精彩妙解-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

‎ 考纲要求:‎ ‎1.理解等差(比)数列的概念(定义、公差、等差中项).掌握等差(比)数列的通项公式与前n项和公式;‎ ‎2.能在具体的问题情境中识别数列的等差(比)关系,并能用有关知识解决相应的问题;‎ ‎3.了解等差数列与一次函数的关系.了解等比数列与指数函数的关系.‎ ‎4.掌握等差(比)数列的性质及其应用.‎ 基础知识回顾:‎ 一、等差(比)数列的定义通项公式及前n项和公式 ‎ 1.等差数列 ‎ (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.表示为an+1-an=d(n∈N*,d为常数).(提示:要注意定义中的“从第2项起”.如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起,每一项与它前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列).‎ ‎(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=,其中A叫作a,b的 等差中项 .‎ ‎(3)通项公式:an= a1+(n-1)d .4.前n项和公式:Sn= na1+d = .‎ ‎2等比数列 ‎(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.定义的表达式为=q.‎ ‎(2)等比中项:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒G2=ab.(提示:在等比数列中每项与公比都不为0).‎ ‎ (3)通项公式:an=a1qn-1. 前n项和公式:Sn= 二、等差(比)数列的性质 ‎ 1.数列{an}是等差数列,则其项的性质有:‎ ‎ (1)an=am+(n-m)d,an=An+B等形式,d= (其几何意义是点(n,an),(m,am)所在直线的斜率等于等差数列的公差).‎ ‎(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n,(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.‎ ‎(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.‎ ‎ 2.数列{an}是等差数列,则其和的性质有:‎ ‎(1)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列. ‎ ‎(2)前n项和公式Sn=n2+(a1-)n视为关于n的一元二次函数,开口方向由公差d的正负确定;Sn=中(a1+an)视为一个整体,常与等差数列性质结合利用“整体代换”思想解题.‎ ‎ (3)在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);②S2n-1=(2n-1)an.‎ ‎ (4)在等差数列{an}中,若项数为偶数2n的等差数列{an}:S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1).S偶-S奇=nd,=.若项数为奇数(2n+1)的等差数列{an}:S2n+1=(2n+1)an+1. =.(其中S奇、S偶分别表示数列{an}中所有奇数项、偶数项的和)‎ ‎ 3.数列{an}是等比数列,则其项的性质有:‎ ‎(1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=ap·aq=a;‎ ‎(2)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk;‎ ‎ 4.数列{an}是等比数列,则其和的性质有:‎ ‎(1)公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn,当公比为-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S4n不一定构成等比数列.‎ 应用举例:‎ 类型一、等差数列的基本运算 ‎【例1】【安徽省“五校”2018届高三上学期联考】‎ 已知是公差为的等差数列, 为的前项和,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【例2】【2017沈阳质量检测】设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-‎ Sn=36,则n=(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎【答案】D ‎【解析】法一:由题知Sn=na1+d=n+n(n-1)=n2,Sn+2=(n+2)2,由Sn+2-Sn=36得,(n+2)2-n2=4n+4=36,所以n=8.‎ 法二:Sn+2-Sn=an+1+an+2=‎2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.‎ ‎【例3】【2017河北衡水中学模拟】已知Sn是数列{an}的前n项和,a1=1,a2=2,a3=3,数列{an+an+1+an+2}是公差为2的等差数列,则S25=(  )‎ A.232 B.233 C.234 D.235‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题可得a4=3,所以a2+a3+a4=8,∴S25=a1+(a2+a5+…+a23)+(a3+a6+…+a24)+(a4+a7+…+a25)=1+++=23.‎ 点评:等差数列运算的解题思路及答题步骤 ‎(1)解题思路:由等差数列的前n项和公式及通项公式可知若已知a1,d,n,an,Sn中三个便可求出其余两个,即“知三求二”,“知三求二”的实质是方程思想,即建立方程组求解.如“题组练透”第4题易出现计算失误.‎ ‎(2)答题步骤:步骤一:结合所求结论,寻找已知与未知的关系;步骤二:根据已知条件列方程求出未知量;步骤三:利用前n项和公式求得结果。‎ 类型二、等差数列的性质及最值 ‎【例4】【宁夏育才中学2018届高三上学期第三次月考】已知无穷等差数列的公差, 的前项和为,若,则下列结论中正确的是( )‎ A. 是递增数列 B. 是递减数列 C. 有最小值 D. 有最大值 ‎【答案】C ‎【例5】【2017广东省珠海市高三摸底考试】已知{an}为等差数列,若a1+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,则a19+a20+a21=________.‎ ‎【答案】20. ‎ ‎【解析】法一:设数列的公差为d,则a7+a8+a9=a1+6d+a2+6d+a3+6d=5+18d=10,所以18d=5,故a19+a20+a21=a7+12d+a8+12d+a9+12d=10+36d=20.‎ 法二:由等差数列的性质,可知S3,S6-S3,S9-S6,…,S21-S18成等差数列,设此数列公差为D.‎ 所以5+2D=10,所以D=.所以a19+a20+a21=S21-S18=5+6D=5+15=20. ‎ ‎【例6】【2017湖北省襄阳市第四中学高三月考】在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.‎ ‎【答案】130.‎ 点评:求等差数列前n项和Sn最值的2种方法 ‎(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.‎ ‎(2)邻项变号法:①当a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm;‎ ‎②当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.‎ 类三、等比数列的基本运算 等比数列的基本运算是高考的常考内容,题型既有选择、填空题,也有解答题,难度适中,属中低档题.‎ 常见的命题角度有:(1)求首项a1,公比q或项数n;(2)求通项或特定项;(3)求前n项和.‎ 角度一:求首项a1,公比q或项数n ‎【例7】【2017江西省南昌高三一模】已知等比数列{an}的公比为正数,且a‎3a9=‎2a,a2=2,则a1=(  )‎ A.       B. C. D.2‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵等比数列{an}的公比为正数,且a‎3a9=‎2a,a2=2,∴由等比数列的性质得a=‎2a,∴a6=a5,公比q==,a1==.‎ ‎【例8】【2017河北省定州中学高三月考】在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】∵a1=2,an+1=2an,∴数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.又∵Sn=126,∴=126,∴n=6.‎ 角度二:求通项或特定项 ‎【例9】已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和,若a2·a4=16,S3=7,则a8=(  )‎ A. 32 B. 64 C. 128 D. 256‎ ‎【答案】C ‎【例10】设数列满足,且,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由,可得数列是以为首项, 为公比的等比数列,‎ ‎ 所以,故选D. ‎ 角度三:求前n项和 ‎【例11】【2017河北省沧州市高三月考】已知数列是递增的等比数列,a1+a4=9,a‎2a3=8,则数列的前n项和等于_______.‎ ‎【答案】Sn=2n-1.‎ ‎【解析】设等比数列的公比为q,则有解得或又为递增数列,∴∴Sn==2n-1.‎ ‎【例12】各项为正数的等比数列, ,则( )‎ A. 15 B. 10 C. 5 D. 20‎ ‎【答案】A 角度四:等比数列的性质 ‎【例13】【河北省衡水市安平中学2018届高三上学期第三次月考】在等比数列中, ,且前项和,则此数列的项数等于( )‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【例14】【2017江西吉安一中高三月考】数列{an}是等比数列,若a2=2,a5=,则a‎1a2+a‎2a3+…+anan+1=________.‎ ‎【答案】(1-4-n).‎ ‎【解析】设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的性质知a5=a2q3,求得q=,所以a1=4.a2a3==a1a2,anan+1==an-1an(n≥2).设bn=anan+1,可以得出数列{b n}是以8为首项,以为公比的等比数列,所以a‎1a2+a‎2a3+…+anan+1为数列{bn}的前n项和,由等比数列前n项和公式得a‎1a2+a‎2a3+…+anan+1==(1-4-n).‎ 点评:等比数列常见性质的应用 等比数列的性质可以分为三类:①通项公式的变形;②等比中项的变形;③前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.‎ 类型二、等差(比)数列的判断与证明 ‎【例15】【2017四川省成都市高三摸底】已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=.‎ ‎(1)求证:是等差数列; (2)求an的表达式.‎ ‎【答案】见解析 ‎【例16】关于等差数列和等比数列,有如下四个说法:‎ ‎①若数列的前项和为常数)则数列为等差数列;‎ ‎②若数列的前项和为常数)则数列为等差数列;‎ ‎③数列是等差数列, 为前项和,则仍为等差数列;‎ ‎④数列是等比数列, 为前项和,则仍为等比数列;‎ 其中正确命题的个数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】若数列的前项和为常数),若,则数列为等差数列,否则不是等差数列;①错误;②若数列的前项和为常数),, 是等比数列,②错误;③数列是等差数列, 为前项和,则仍为等差数列;③正确;④数列是等比数列, 为前项和,则仍为等比数列;④正确; 正确命题的个数为2个.选B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列与等比数列的性质,如等差数列的通项公式为与n的一次函数关系,常数数列为常数函数关系,前n 项和与n的关系为二次函数常数项为零等;等差数列等长片段和仍成等差数列;等比数列等长片段和仍成等比数列等;还有其他性质,在学习中要注意总结.‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1.求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 ‎(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.‎ ‎(2)邻项变号法:①a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm;‎ ‎ ②当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.‎ ‎2.等比数列的判定方法有:‎ ‎(1)定义法;(2)等比中项公式法;(3)通项公式法;(4)前n项和公式法.‎ 实战演练:‎ ‎1.由公差为的等差数列重新组成的数列是(  )‎ A. 公差为的等差数列 B. 公差为的等差数列 C. 公差为的等差数列 D. 非等差数列 ‎【答案】B ‎【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义、等差数列通项公式,属于难题.判定一个数列为等差数列的常见方法是:(1) 定义法: (是常数),则数列是等差数列(2) 等差中项法: (),则数列是等差数列;(3) 通项公式: (为常数), 则数列是等差数列;(4) 前n项和公式: (为常数) , 则数列是等差数列.本题先利用方法(1)判定出数列是等差数列后再进行解答的.‎ ‎2.【四川省德阳市2018届高三三校联合测试】在等差数列中, , ,则 A. 7B.10C.20D.30‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为, ,所以,则,故选C.‎ ‎3.【福建省永春一中、培元中学、季延中学、石光中学2017届高三第一次联合考试】‎ 设是等差数列的前n项和, ,则( )‎ A. 2 B. 3 C. 5 D. 7‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎4.【安徽省巢湖市柘皋中学2018届高三上学期第三次月考】已知数阵 中,每行的三个数依次成等差数列,每列的三个数也依次成等差数列,若,则所有九个数的和为( )‎ A. 18 B. 27 C. 45 D. 54‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎5.已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则等于(  )‎ A. -4 B. -6 C. -8 D. -10‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵成等比数列,‎ ‎∴,‎ ‎∴,解得。‎ ‎∴。选B。‎ ‎6.下列命题正确的是( )‎ A. 若数列的前项和为,则数列是等差数列.‎ B. 若数列的前项和为,则数列是等比数列.‎ C. 常数列既是等差数列,又是等比数列.‎ D. 等比数列的公比则是递增数列.‎ ‎【答案】B ‎【解析】项不正确,因为,从第二项起成等差数列,而第一项不适合。‎ 不正确,因为零数列是等差数列而不是等比数列。‎ 不正确,因为当时,数列是递减的。‎ 故答案选 点睛:等差数列的和形如的形式,不含常数项,等比数列的和 ‎,形如形式,在判定等差数列或者等比数列的和时可以根据结论做出结果。‎ ‎7.若是等差数列,且,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 8.设是等差数列的前项和,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】是等差数列的前项和, ,选D.‎ ‎9.【重庆市第一中学2018届高三11月月考】在等比数列中, 和是方程的两个根,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】和是方程的两个根,根据韦达定理得,在等比数列中, ,‎ 故选D ‎10.【安徽省蒙城县2018届高三上学期“五校”联考】已知正项等比数列满足 ‎,若存在两项使得,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎ ‎
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