2020版高中数学 第三章 柯西不等式与排序不等式 3

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2020版高中数学 第三章 柯西不等式与排序不等式 3

三　排序不等式 课后篇巩固探究 A组 ‎1.顺序和S、反序和S'、乱序和S″的大小关系是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.S≤S'≤S″ B.S≥S'≥S″‎ C.S≥S″≥S' D.S≤S″≤S'‎ 解析由排序不等式可得反序和≤乱序和≤顺序和.‎ 答案C ‎2.设x,y,z均为正数,P=x3+y3+z3,Q=x2y+y2z+z2x,则P与Q的大小关系是(　　)‎ A.P≥Q B.P>Q C.P≤Q D.P0,则x2≥y2≥z2,则由排序不等式可得顺序和为P,乱序和为Q,则P≥Q.‎ 答案A ‎3.若a0,‎ ‎∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.‎ 且a1b1+a2b2>>a1b2+a2b1.‎ 又1=a1+a2≥2,∴a‎1a2≤.‎ ‎∵0>a‎1a2+b1b2,‎ ‎∴a1b1+a2b2最大.‎ 答案A ‎5.已知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)(　　)‎ A.大于零 B.大于或等于零 C.小于零 D.小于或等于零 解析设a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,根据排序原理,‎ 得a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b‎3c+c‎3a.‎ 因为ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,‎ 6‎ 所以a3b+b‎3c+c‎3a≥a2bc+b2ca+c2ab.‎ 所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,‎ 即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.‎ 答案B ‎6.设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排序,则a1+‎2a2+‎3a3+‎4a4的取值范围是　　　　　　　　. ‎ 解析a1+‎2a2+‎3a3+‎4a4的最大值为顺序和12+22+32+42=30,最小值为反序和1×4+2×3+3×2+4×1=20.‎ 答案[20,30]‎ ‎7.如图所示,在矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,若阴影部分的面积为S1,空白部分的面积之和为S2,则S1与S2的大小关系是　　　　　　　　. ‎ 解析由题图可知,S1=a1b1+a2b2,而S2=a1b2+a2b1,根据顺序和≥反序和,得S1≥S2.‎ 答案S1≥S2‎ ‎8.若a,b,c为正数,求证a3+b3+c3≥3abc.‎ 证明不妨设a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2>0,‎ 由排序不等式,得a3+b3≥a2b+ab2,c3+b3≥c2b+cb2,a3+c3≥a‎2c+ac2,‎ 三式相加,得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2).‎ 因为a2+b2≥2ab,c2+b2≥2cb,a2+c2≥‎2ac,‎ 所以2(a3+b3+c3)≥6abc,‎ 即a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立).‎ ‎9.设a,b均为正数,求证.‎ 证明不妨设a≥b>0,则a2≥b2>0,>0,‎ 6‎ 由不等式性质,得>0.‎ 则由排序不等式,可得,即.‎ ‎10.设a,b,c都是正数,求证a+b+c≤.‎ 证明由题意不妨设a≥b≥c>0.‎ 由不等式的性质,知a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.‎ 根据排序原理,得a2bc+ab‎2c+abc2≤a‎3c+b‎3a+c3b. ①‎ 又由不等式的性质,知a3≥b3≥c3,且a≥b≥c.‎ 再根据排序原理,得a‎3c+b‎3a+c3b≤a4+b4+c4. ②‎ 由①②及不等式的传递性,得a2bc+ab‎2c+abc2≤a4+b4+c4.‎ 两边同除以abc,得a+b+c≤(当且仅当a=b=c时,等号成立).‎ B组 ‎1.设a,b,c>0,则式子M=a5+b5+c5-a3bc-b‎3ac-c3ab与0的大小关系是(　　)‎ A.M≥0‎ B.M≤0‎ C.M与0的大小关系与a,b,c的大小有关 D.不能确定 解析不妨设a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,且a4≥b4≥c4,则a5+b5+c5=a·a4+b·b4+c·c4≥a·c4+b·a4+c·b4.‎ 又a3≥b3≥c3,且ab≥ac≥bc,‎ ‎∴a4b+b‎4c+c‎4a=a3·ab+b3·bc+c3·ca 6‎ ‎≥a3bc+b‎3ac+c3ab.‎ ‎∴a5+b5+c5≥a3bc+b‎3ac+c3ab.∴M≥0.‎ 答案A ‎2.若0<α<β<γ<,F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin 2α+sin 2β+sin 2γ),则(　　)‎ A.F>0 B.F≥0‎ C.F≤0 D.F<0‎ 解析因为0<α<β<γ<,‎ 所以0sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ,‎ 而F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin 2α+sin 2β+sin 2γ)‎ ‎=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ)>0.‎ 答案A ‎3.导学号26394057车间里有5台机床同时出了故障,从第1台到第5台的修复时间依次为4 min、8 min、6 min、10 min、5 min,每台机床停产1 min损失5元,经合理安排损失最少为(　　)‎ A.420元 B.400元 ‎ C.450元 D.570元 解析设从第1台到第5台的修复时间依次为t1,t2,t3,t4,t5,若按照从第1台到第5台的顺序修复,则修复第一台需要t1分钟,则停产总时间为5t1,修复第2台需要t2分钟,则停产总时间为4t2,…,修复第5台需要t5分钟,则停产总时间为t5,因此修复5台机床一共需要停产的时间为5t1+4t2+3t3+2t4+t5,要使损失最小,应使停产时间最少,亦即使5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值.由排序不等式可知,当t10,求证1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.‎ 证明当x≥1时,因为1≤x≤x2≤…≤xn,‎ 所以由排序原理得1·1+x·x+x2·x2+…+xn·xn≥1·xn+x·xn-1+…+·x+xn·1,‎ 即1+x2+x4+…+≥(n+1)xn. ①‎ 又x,x2,…,xn,1为序列1,x,x2,…,xn的一个排列,‎ 所以1·x+x·x2+…+xn-1xn+xn·1≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1,‎ 因此x+x3+…++xn≥(n+1)xn, ②‎ ‎①+②,得1+x+x2+…+≥(2n+1)xn. ③‎ 当0x≥x2≥…≥xn,①②仍成立,‎ 故③也成立.综上,原不等式成立.‎ 6‎
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