数学卷·2019届江苏省清江中学高二12月月考(2017-12)

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数学卷·2019届江苏省清江中学高二12月月考(2017-12)

江苏省清江中学2017-2018学年高二12月月考 数学试题 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分.‎ ‎1.命题“”的否定是 . ‎ ‎2.抛物线上一点到焦点的距离是2,则点坐标为 .‎ ‎3.如图,函数的图象在点处的切线方程是,则 .‎ ‎4.已知正四棱锥中,底面面积为16,一条侧棱的长为3,则该棱锥的高为 .‎ ‎5.若条件:,条件:,且是的充分不必要条件,则的取值范围是 .‎ ‎6.以双曲线的右焦点为圆心,且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 .‎ ‎7.已知互不重合的直线,互不重合的平面,给出下列四个命题,其中错误的命题是 .‎ ‎①若,,则 ②若,,则 ‎③若,,则 ④若,,则 ‎8.若椭圆的离心率,则 .‎ ‎9.已知,函数在上是单调递增函数,则的取值范围是 .‎ ‎10.已知圆锥底面半径为,母线长是底面半径的3倍,底面圆周上有一点,则一个小虫自点出发在侧面上绕一周回到点的最短路程为 .‎ ‎11.设函数,若对任意的,都有,则实数 的取值范围是 .‎ ‎12.已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行,若在区间上单调递减,则实数的取值范围是 .‎ ‎13.已知椭圆的一个顶点为,离心率,直线交椭圆于两点,如果的重心恰好为椭圆的右焦点,直线方程为 .‎ ‎14.设是定义在上的可导函数,且满足,则不等式的解集为 . ‎ 二、解答题 (本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎15.(理)已知在平面直角坐标系中,直线的参数方程是(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标,曲线的极坐标方程.‎ ‎(1)判断直线与曲线的位置关系;‎ ‎(2)设为曲线上任意一点,求的取值范围.‎ ‎(文)已知:,:,若是的成分而不必邀条件,求实数的取值范围.‎ ‎16.如图,在四棱锥中,,,,.‎ ‎(1)在平面内找一点,使得直线平面,并说明理由;‎ ‎(2)证明:平面平面.‎ ‎17.(理)如图,在三棱柱中,是边长为4的正方形,平面平面,,.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎(文)已知椭圆:的离心率为,其中左焦点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若直线与椭圆交于不同的两点,且线段的中点在圆上,求的值.‎ ‎18.某企业拟建造如图所示的容器(不计算厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为立方米,且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为()千元,设该容器的建造费用为千元.‎ ‎(1)写出关于的函数表达式,并求该函数丶定义域;‎ ‎(2)求该容器的建造费用最小时的.‎ ‎19.如图,在平面直角坐标系中,椭圆:的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)已知点,设是椭圆上关于轴对称的不同两点,直线与相交于点,求证:点在椭圆上.‎ ‎20.设,函数.‎ ‎(1)求的单调递增区间;‎ ‎(2)设,问是否存在极值,若存在,请求出极值,若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)设是函数图象上任意不同的两点,线段的中点为,直线的斜率为,证明:.‎ 试卷答案 一、填空题 ‎1. 2. 3.2 4.1‎ ‎5. 6. 7.④ 8.3或 ‎9. 10. 11. 12.‎ ‎13. 14. ‎ 二、解答题 ‎15.(理)解:(1)由,消去得:‎ 由,得,即.‎ ‎∴,即.‎ 化为标准方程得:.‎ 圆心坐标为,半径为1,圆心到直线的距离 ‎,∴直线与曲线相离.‎ ‎(2)由为曲线上任意一点,可设,‎ 则,∴的取值范围是.‎ ‎(文)由题意得,:,∴.‎ ‎∴:或。‎ ‎:,∴:或 又∵是的成分而不必邀条件,‎ ‎∴或,解得或,∴.‎ ‎16.(1)取棱的中点,点即为所求的一个点,理由如下:‎ 连接,因为,,‎ 所以,且 所以四边形是平行四边形,从而 又平面,平面,‎ 所以平面.‎ ‎(2)证明:由已知,,‎ 因为,,所以直线与相交,‎ 所以平面,从而.‎ 因为,,所以,且,‎ 连接,则四边形是平行四边形.‎ 所以,所以,又,‎ 所以平面平面.‎ ‎17、(理)(1)证明:因为为正方形,所以.‎ 因为平面平面,且垂直于这两个平面的交线,所以平面.‎ ‎(2)由(1)知,,由题知,所以.‎ 如图,以为原点建立空间直角坐标系,则,.‎ 设平面的法向量为,则 即 令,则,,所以 同理可得,平面的法向量为 所以.‎ 由题知二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.‎ ‎(文)解:(1)由题意,得解得 ‎∴椭圆的方程为 线段的中点为,‎ 由消去得 ‎,∴,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∵点在圆上,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎18.解:(1)设容器为,则由题意,得 又,故,‎ 由于,所以 所以建造费用 因此,.‎ ‎(2)由(1)得,‎ 由于,所以,故当,即时,‎ 令,则,‎ 所以 ‎①当即时,‎ 若,则,若,则 所以是函数的极小值点,也是最小值点.‎ ‎②当即时,若时,,函数单调减,所以是函数的最小值点.‎ 综上所述,当时,建造费用最小时;‎ 当时,建造费用最小时.‎ ‎19.(1)解:由题意知,因为离心率,所以,‎ 所以,所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)证明:由题意可设的坐标分别为,,则直线的方程为 ‎①‎ 直线的方程为②‎ 设,联立①②解得 因为,‎ 所以 整理得 所以,即 所以点坐标满足椭圆的方程,即点在椭圆上.‎ ‎20、(1)解:在区间上,‎ ‎(1)当时,∵,∴恒成立,的单调递增区间为;‎ ‎(2)当时,令,即,得 ‎∴的单调递增区间为 综上所述,当时,的单调递增区间为;当时,的单调递增区间为 ‎(2)由 得 当时,恒有 ‎∴在上无极值;‎ 当时,令,得 ‎,,单调递增,‎ ‎,,单调递减.‎ ‎∴极大值,无极小值 综上所述,时,无极值;,有极大值,无极小值.‎ ‎(3)证明:‎ 又 ‎∴‎ 要证,即证 不妨设,即证,即证 设,即证 也就是要证,其中 事实上,设,‎ 则 ‎∴在上单调递增,因此,即结论成立.‎
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