山东省菏泽市2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

山东省菏泽市2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

‎2018—2019学年度第二学期期中考试 高二数学试题（A）‎ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚．‎ ‎2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．‎ 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.下列求导结果正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的求导法则求解即可.‎ ‎【详解】；；；‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了求函数的导数，属于基础题.‎ ‎2.，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据排列数公式即可得出答案.‎ ‎【详解】故选：A ‎【点睛】本题主要考查了排列数公式的应用，属于基础题.‎ ‎3.抛掷2颗骰子，所得点数之和是一个随机变量，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算出，即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了古典概型求概率问题，属于基础题.‎ ‎4.若，则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 4 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由导函数定义，，即可求出结果.‎ 详解：∵f′（x0）=2，‎ 则 ‎=　　‎ ‎=‎ ‎=‎2f′（x0）=4．‎ 故选C ．‎ 点睛：本题考查了导函数的概念，考查了转化的思想方法，考查了计算能力，属于中档题.‎ ‎5.给出下列结论：在回归分析中 ‎（1）可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；‎ ‎（2）可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；‎ ‎（3）可用相关系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；‎ ‎（4）可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高.‎ 以上结论中，不正确的是（ ）‎ A. （1）（3） B. （2）（3） C. （1）（4） D. （3）（4）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由越大，模型的拟合效果越好，越大，模型的拟合效果越好，相关系数越大，模型的拟合效果越好，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，作出判断即可.‎ ‎【详解】用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，故（1）正确；‎ 用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故（2）不正确；‎ 可用相关系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，故（3）不正确；‎ 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故（4）正确；‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了相关系数和相关指数的性质，属于中档题.‎ ‎6.校园科技节展览期间，安排小王、小李等4位志愿者到3个不同展区提供义务服务，每个展区至少有1人，则不同的安排方案的种数为（ ）‎ A. 36 B. ‎72 ‎C. 18 D. 81‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 每个展区至少一人，则4人中有2人去同一景区，另外2人各去一个景区，根据排列和组合，即可得出答案.‎ ‎【详解】每个展区至少一人，则4人中有2人去同一景区，另外2人各去一个景区 即不同的安排方案的种数为种 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了排列组合应用，属于中档题.‎ ‎7.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. 45‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，结合的展开式的通项，即可得出.‎ ‎【详解】，为的系数 的展开式的通项为 由得 则 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于中档题.‎ ‎8.设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰好有6个白球的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据古典概型的概率公式求解即可.‎ ‎【详解】从袋中任取10个球，共有种，其中恰好有6个白球有种 即其中恰好有6个白球的概率为 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了计算古典概型的概率，属于中档题.‎ ‎9.函数的导函数，满足关系式，则的值为（ ）‎ A. 6 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，令，即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，解得 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了求某点处的导数值，属于基础题.‎ ‎10.设X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是 (　　)‎ A. P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)‎ B. P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)‎ C. 对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)‎ D. 对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，直接利用正态分布曲线的特征，以及概率分析每个选项，判断出结果即可.‎ ‎【详解】A项，由正态分布密度曲线可知，x＝μ2为Y曲线的对称轴，μ1＜μ2，所以P(Y≥μ2)＝＜P(Y≥μ1)，故A错；B项，由正态分布密度曲线可知，0＜σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B错；‎ C项，对任意正数t，P(X＞t)＜P(Y＞t)，即有P(X≥t)＜P(Y≥t)，故C错；‎ D项，对任意正数t，P(X＞t)＜P(Y＞t)，因此有P(X≤t)≥P(Y≤t)．故D项正确．‎ 故选D ‎【点睛】本题考查正态分布及其密度曲线，熟悉正态分布曲线是解题关键，属于较为基础题.‎ ‎11.将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件“三个点数之和等于‎15”‎，“至少出现一个5点”，则概率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件概率的计算公式即可得出答案.‎ ‎【详解】，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.‎ ‎12.如图，将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）‎ ‎ ‎ A. 36 B. ‎48 ‎C. 72 D. 108‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对面与面同色和不同色进行分类，结合分步乘法计算原理，即可得出答案.‎ ‎【详解】当面与面同色时，面有4种方法，面有3种方法，面有2种方法，面有1种方法，面有2种方法，即种 当面与面不同色时，面有4种方法，面有3种方法，面有2种方法，面有1种方法，面有1种方法，即种 即不同的染色方法总数为种 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了计数原理的应用，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.若随机变量，且，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，求解即可.‎ ‎【详解】，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了由二项分布的期望和方差求参数，属于基础题.‎ ‎14.设函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据切点在切线上，得出，根据解析式即可得出答案.‎ ‎【详解】因为点在该切线上，所以 则，解得.‎ 故答案为:‎ 点睛】本题主要考查了根据切线方程求参数，属于基础题.‎ ‎15.下列说法中，正确的有_______．‎ ‎①回归直线恒过点，且至少过一个样本点；‎ ‎②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有99%的把握认为两个分类变量有关系；‎ ‎③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两个变量不相关；‎ ‎④某项测量结果服从正态分布，则，则．‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④.‎ ‎【详解】回归直线恒过点，但不一定要过样本点，故①错误；‎ 由，得有99%的把握认为两个分类变量有关系，故②正确；‎ 的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能说明两个变量不相关，故③错误；‎ ‎,，故④正确；‎ 故答案为：②④‎ ‎【点睛】本题主要考查了正态分布求指定区间的概率等，属于中等题.‎ ‎16.定义：在等式中，把叫做三项式的次系数列（如三项式的1次系数列是1，，1）．则三项式的2次系数列各项之和等于_______；________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，将展开，求出系数列各项之和，即可得出第一空；利用二项式定理求解即可.‎ ‎【详解】因为，所以系数列各项之和 由题意可知，是中的系数 展开式的通项为 展开式的通项为，‎ 令，由，得 当时，；当时，‎ 则中的系数 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题.‎ 三、解答题：共6小题，满分70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知（是正实数）的展开式中前3项的二项式系数之和等于37．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若展开式中含项的系数等于112，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，求解即可得出；‎ ‎（2）根据展开式的通项，即可得出的值．‎ ‎【详解】（1），，解得（舍）‎ ‎（2）的展开式的通项为 当时是含项，所以，解得 ‎【点睛】本题主要考查了已知指定项的系数求参数，属于中档题.‎ ‎18.已知函数．‎ ‎（1）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由导数的几何意义求解即可；‎ ‎（2）设为曲线上任一点，由（1）知过点的切线方程，求出切线与直线和直线的交点，根据三角形面积公式，即可得出答案.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，‎ 则曲线在处的切线方程为，即 ‎（2）设为曲线上任一点，由（1）知过点的切线方程为 即 令，得 令，得 从而切线与直线的交点为，切线与直线的交点为 点处的切线与直线，所围成的三角形的面积，为定值.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.‎ ‎19.实验中学从高二级部中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1个相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级6名选手，现从每个班级6名选手中随机抽取3人回答这个问题已知这6人中，甲班级有4人可以正确回答这道题目，而乙班级6人中能正确回答这道题目的概率每人均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的．‎ ‎（1）求甲、乙两个班级抽取的6人都能正确回答的概率；‎ ‎（2）分别求甲、乙两个班级能正确回答题目人数的期望和方差、，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好？‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据古典概型的概率公式以及事件的独立性的性质，即可得出答案；‎ ‎（2）根据超几何分布以及二项分布的性质得出对应的期望和方差，由，作出判断.‎ ‎【详解】（1）甲、乙两个班级抽取的6人都能正确回答的概率 ‎（2）甲班级能正确回答题目人数为，的取值分别为 则，‎ 乙班级能正确回答题目人数，取值分别为 ‎，‎ 由可得，由甲班级代表学校参加大赛更好.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用方差和期望解决决策型问题，属于中档题.‎ ‎20.随着我国经济的发展，居民收入逐年增长．某地区2014年至2018年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表：‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 年份代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 人均纯收入 ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎（1）求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测2019年该地区农村居民家庭人均纯收入为多少？‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．‎ ‎【答案】（1）（2）千元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用最小二乘法求回归方程即可；‎ ‎（2）将，代入回归方程，即可得出答案.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，‎ 则关于的线性回归方程为 ‎（2）当时，，则2019年该地区农村居民家庭人均纯收入为千元.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求线性回归方程及其应用，属于中档题.‎ ‎21.为迎接“五一”节到来，某单位举行“庆五一，展风采”的活动．现有6人参加其中的一个节目，该节目由两个环节可供参加者选择，为增加趣味性，该单位用电脑制作了一个选择方案：按下电脑键盘“Enter”键则会出现模拟抛两枚质地均匀骰子的画面，若干秒后在屏幕上出现两个点数和，并在屏幕的下方计算出的值．现规定：每个人去按“Enter”键，当显示出来的小于时则参加环节，否则参加环节．‎ ‎（1）求这6人中恰有2人参加该节目环节的概率；‎ ‎（2）用分别表示这6个人中去参加该节目两个环节的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用古典概型概率公式得出选择参加环节的概率，选择参加环节的概率，再利用独立重复实验概率公式，即可得出答案；‎ ‎（2）得出的可能取值以及对应概率，即可得出分布列以及期望.‎ ‎【详解】（1）依题意得，由屏幕出现的点数和形成的有序数对，一共有种等可能的基本事件 符合的有，‎ 共24种 所以选择参加环节的概率为，选择参加环节的概率为 所以这6人中恰有2人参加该节目环节的概率 ‎（2）依题意得的可能取值为 所以的分布列为 ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ 数学期望 ‎【点睛】本题主要考查了古典概型求概率，独立重复试验的应用，离散型随机变量的分布列及期望，属于中档题.‎ ‎22.某工厂有两台不同机器和生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：‎ 该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到的产品，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率．‎ ‎（1）完成下列列联表，以产品等级是否达到良好以上（含良好）为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为机器生产的产品比机器生产的产品好；‎ 生产的产品 生产的产品 合计 良好以上（含良好）‎ 合格 合计 ‎（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从两台不同机器和生产的产品中各随机抽取2件，求4件产品中机器生产的优等品的数量多于机器生产的优等品的数量的概率；‎ ‎（3）已知优秀等级产品的利润为12元/件，良好等级产品的利润为10元/件，合格等级产品的利润为5元/件，机器每生产10万件的成本为20万元，机器每生产10万件的成本为30万元；该工厂决定：按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，若收益之差达到5万元以上，则淘汰收益低的机器，若收益之差不超过5万元，则仍然保留原来的两台机器．你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗？‎ 附：独立性检验计算公式：.‎ 临界值表：‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题设条件，填写列联表，计算，即可得出结论；‎ ‎（2）分别计算出任取一件产品是机器和生产的优等品的概率，再计算4件产品中机器生产的优等品的数量多于机器生产的优等品的数量的概率；‎ ‎（3）计算出机器和机器每件产品的平均利润，然后得出机器和机器生产10万件对应的利润，根据题意，即可作出判断.‎ ‎【详解】（1）由已知可得，列联表为 生产的产品 生产的产品 合计 良好以上（含良好）‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ 合格 ‎14‎ ‎8‎ ‎22‎ 合计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 所以不能在误差不超过0.05的情况下，认为机器生产的产品比机器生产的产品好 ‎（2）由题意知，任取一件产品是机器生产的优等品的概率为 任取一件产品是机器生产的优等品的概率为 记“4件产品中机器生产的优等品的数量多于机器生产的优等品的数量”为事件 则 ‎（3）机器每生产10万件的利润为万元 机器每生产10万件的利润为万元 因为，所以该工厂不会仍然保留原来的两台机器.‎ ‎【点睛】本题主要考查了完善列联表以及独立性检验解决实际问题，属于中档题.‎